选修4-5不等式选讲知识点详解+例题+习题

1、最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)| a+ b| | a| + |b|(a,b R).| a-b| | a-c| + |c - b|( a,b R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：| ax+ b| c, |x-c| +1 x-b| . 了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明4通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合 法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.1 含有绝对值的不等式的解法(1) 1 f(x)| a(a0)? f(x)a或 f(x)v a；(2) | f(x)|0)? -af (

2、x)a；(3) 对形如|x a| +1 x b| w c, | x a| +1 x b|c的不等式，可利用绝对 值不等式的几何意义求解.2 含有绝对值的不等式的性质I a| | b| 0 且|a| | b|.3 基本不等式2 2定理1:设a, b R,则a + b 2ab.当且仅当a= b时，等号成立.a + b 定理2：如果a、b为正数，则 ab,当且仅当ab时，等号成立.定理3：如果a、b、c为正数，则a+ b+ c 3 abc,当且仅当a= b = c时，等号成立.定理4：(一般形式的算术一几何平均值不等式)如果ai、an为n个正数，则ai + a2 + + annaan,当且仅当ai

3、= & = a时，等号成立.4. 柯西不等式 柯西不等式的代数形式：设a,b,c,d为实数，则(a(3)柯西不等式的向量形式：设a , B为平面上的两个向量，则| a |aB |，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.1.判断正误(在括号内打“V”或“ X”)(1) 对| a+ b| |a| - |b|当且仅当ab0时等号成立.()对| a-b| |a| + |b|当且仅当ab0时等号成立.()(3)| ax+ b| 0)的解等价于c ax+ b c.() 不等式|x 1| + |x+ 2|1, x + y 2,则x0, y0.()答案(1) x V (3) V V (5) V .不等式|2

4、x 1| x1的解集是()A. x|0x2B. x|1x2C. x|0x1D. x|1x3解析解法一：x二1时，满足不等关系，排除 C、D B,故选A.解析利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3,所以a的取值范围为一2 a 4.2 a( ab)2，当且仅当bu0(ii = 1i = 1i = 1=1,2，n)或存在一个数 k，使得ai = kbi(i = 1,2，n)时，等号成立.1则 f(x)1 的解集为x|0vx2, 解法二：令f(x)=11 3x, x2.答案A3. 设| a|1 , | b|2B. | a+ b| +1 a b|2C. | a+ b| +1 a b|

5、= 2D.不能比较大小解析| a+ b| +1 a b| |2 a|2.答案B4. 若 a,b, c (0 , +x)，且 a+ b+ c= 1,则，a+ b+ , c的最大值为()A. 1B.2D. 2解析(.a+ b+ c)2 = (1 x a+ 1x b+ 1x c)2w (1 2+ 12+ 12)( a + b+ c) = 3.1当且仅当a= b= c = 3时，等号成立.(*Ja+ , b +c) w3.故a+ , b+ c的最大值为，3.故应选C.答案C5. 若存在实数 x使|x a| + |x 1| c(或w c)型不等式，其一般步骤是：(1) 令每个绝对值符号里的代数式为零，并

6、求出相应的根.(2) 把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间.(3) 在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求 出它们的解集.(4) 这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号.(1) (2015 山东卷)不等式|x 1| |x 5|2的解集是()A. ( X，4)B. ( X，1)C. (1,4)D. (1,5)51(2) (2014 湖南卷)若关于x的不等式|ax 2|3的解集为x x3，贝 U a =.解题指导切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进 行分类讨论.解析 当x1时，不等式可化为一(x 1)

7、 + (x 5)2，即一42,显然成立，所以此时不等式的解集为(一X, 1)；当 K x5时，不等式可化为x 1 + (x 5)2，即2x 62,解得x5时，不等式可化为(x 1) (x 5)2，即42,显然不成立，所以此 时不等式无解.综上，不等式的解集为(一x, 4).故选A.(2) v | ax 2|3 , 1ax0时，一-vxv-，与已知条件不符；a a当a= 0时，x R,与已知条件不符；5151当a0时，vxv，又不等式的解集为 x -x3的解集；(2) 若f(x) |x 4|的解集包含1,2，求a的取值范围.2x + 5，x2，解当 a= 3 时，f(x) = 1, 2x3.当

8、x3 得一2x + 53，解得 x 1；当 2x3 无解；当 x3 时，由 f (x) 3 得 2x 53，解得 x4；所以f (x) 3的解集为x| x4.(2) f (x) |x + a|.当 x 1,2时，|x 4| |x 2| |x+ a|? 4 x (2 x) | x + a| ? 2 ax 2 a.由条件得一2 a2，即一3 ac或| x a| + | x b|vc的不等式，利用绝对值的 几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现 了数形结合思想方法的优越性.| x a| +1 x b|的几何意义是数轴上表示x的点与点a和点b的距离之和， 应注意x的系数

9、为1.2 1(1)(2014 重庆卷)若不等式| x 1| + |x + 2| a + qa+ 2对任意实数x恒 成立，则实数a的取值范围是. 不等式|x + 1| |x 2|k的解集为 R，则实数 k的取值范 围是解题指导切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题.解析(1) V |x 1| + |x + 2| |( x 1) (x 2)| = 3, a2+ 2a + 2 3,解得士卫 ak恒成立.v AB= 3,即|x + 1| | x 2| 3.故当k 3时，原不等式恒成立.解法二：令 y=|x + 1| | x 2| ,3, xw 1,则 y= 2x 1， 1x2,要

10、使|x + 1| |x 2| k恒成立，从图象中可以看出，只要kf(x)max，f(x)a恒成立 ? af ( x) min.对点训练(2015 唐山一模)已知函数 f(x) = |2x a| + a，a R, g(x) = |2x 1|.(1) 若当g(x) 5时，恒有f(x) 3，求a的取值范围.解(1) g(x) 5? |2x 1| 5? 52x 15? 2 x3; f(x) 6? |2 x a| 6 a? a 62 x a 6 a? a 3 x 3.依题意有，a 3 2， a |2 x a 2x + 1| + a= | a 1| + a， 当且仅当(2x a)(2 x 1) 3,得a的

11、取值范围是2，).考点三不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题 目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到 正确的解题途径.应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件.(2015 新课标全国卷U )设a, b, c, d均为正数，且a+ b= c + d,证明:若 abcd，贝U a+ b c+ d；(2) a+ b c + d是| a b|2ab, b2+ c22bc, c2+ a22ca 得 a2 + b2 + c2ab+ bc + ca.= a+ b + 2 ab, ( c + d)2= c + d + 2 cd

12、,由题设 a+ b= c + d, abcd 得(a+ b)2( c+ d)2.因此 a+ b c + d.(2)若| a b|v| c d|，则(a b) cd.由(1)得.a+ , b c + d.若 a+ b c + d,则(a+ b)2( c + d)2,g卩a+ b + 2 abc+ d + 2 cd.因为 a+ b= c+ d,所以 abcd.于是(a b) = (a+ b) 4ab(c + d) 4cd = (c d)2.因此 | a b|：-Jc + d是| a b|v| c d| 的充要条件.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不 等式、基本不等式

13、没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.对点训练(2014 新课标全国卷U )设a、b、c均为正数，且a+ b+ c = 1.证明：1(1) ab+ bc+ ac 3；由题设得(a+ b+ c)2= 1, 即卩 a2 + b2 + c2+ 2ab+ 2bc+ 2ca = 1.1 所以 3(ab+ bc+ ca) 2c,bca2 - 2 2a b c故b + c + 石 +(a+ b+ c) 2( a+ b+ c),2 - 2 2阳abc即匸+ 一 + 一a+ b+ c.bca2 2 2abc所以 + + 1.bca方法

14、规律总结方法技巧1. 绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号.2 绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还 要注意等号成立的条件.3.在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧.如在 使用柯西不等式时，要注意右边为常数.易错点睛1. 对含有参数的不等式求解时，分类要完整.2. 应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件.课时跟踪训练（七十）一、填空题1 .不等式|2x 1|3的解集为.解析|2x 1|3? 32x 13? 1xv2.答案(1,2)2. 若不等式|kx 4| 2的解集为x|1 wxw3，则实数k =解析/ | kx 4| 2,：一

15、2 kx 4 2,二 2 kx 6.不等式的解集为x|1 x3，二k = 2.答案23. 不等式|2x + 1| + |x 1|2的解集为.1解析当x 时，原不等式等价为(2x + 1) (x 1)2，即3x 3，此时一3xw 2.当2x1 时，原不等式等价为(2x + 1) (x 1)2 ,1即x0，此时一2x1时，原不等式等价为(2x + 1) + (x 1)2，即3x2,2 2x3,此时不等式无解，综上，原不等式的解为-3x| x 1 x| = 1,A 当 k1 时，不等式 |x 1| +| x| w k 无解，故 k1.答案(%, 1)5. (2015 西安统考)若关于实数x的不等式|

16、x 5| + |x + 3| |( x 5) (x + 3)| = 8,故 aw 8.答案(%, 86. (2015 重庆卷)若函数f (x) = |x+ 1| + 2|x a|的最小值为5,则实数a解析当a= 1时，f(x) = 3|x+ 1| 0,不满足题意；当a 1时,f(x)3x 1 + 2a, x w a,=x 1 2a, a 1,3x 1 + 2a, x w 1,当 a 1 时，f(x) = x + 1 + 2a, 1a,=5,解得 a= 4.答案6或47. 若关于x的不等式|a| |x + 1| + |x 2|存在实数解，贝U实数a的取值范围是.解析 f(x) = |x + 1|

17、 + |x 2| =2x + 1 xw 1,3 1x3.要使 | a| | x + 1| + |x 2| 有解，| a| 3,即 aw 3 或 a 3.答案(%, 3 U 3 ,+*)8 .已知关于x的不等式| x a| + 1 x0的解集为R,则实数a的取值范围 是.解析 若 x 10,则(x a)2(x 1)2对任意的 x 1 ,+x)恒成立，即(a 1)( a+ 1) 2x0 对任意的 x 1 , +)恒成立，a 10,a12x,a+ 12x,得a1.综上，a(an+ bn),即 5(m+ n2) 25, m+ n2 5,当且仅当an = bm时，等号成立. . m+ n2的最小值为，5

18、.答案一 511. 对任意 x ,y R, |x 1| + |x| + | y 1| + | y+ 1| 的最小值为.解析t |x 1| + |x| + |y 1| + |y + 1|二(|1 x| + |x|) + (|1 y| +11 + y|) |(1 x) + x| + 1(1 y) + (1 + y)| = 1 + 2= 3,当且仅当(1 x) - x 0, (1 y) - (1 + y) 0,即 0w x 1, K ya+，对任意的x R恒成立，则实数a的a取值范围是.4解析只要函数f(x) = |x + 1| | x 4|的最小值不小于a +-即可.由于a| x+ 1| |x 4

19、| |( x + 1) (x 4)| = 5,所以一5|x + 1| |x 4| a + -即可当a0时，将不等式5a+-整理，得a2+ 5a+ 40,无 aa42解；当a a+ 整理，得a2+ 5a+ 40,则有a 4或一K a0. a综上可知，实数a的取值范围是(一, 4 U 1,0).答案(%， 4 U 1,0)二、解答题13. 已知不等式 2| x 3| + | x 4|2 a.(1) 若a= 1,求不等式的解集；(2) 若已知不等式的解集不是空集，求 a的取值范围.解 当a= 1时，不等式即为2|x 3| + |x 4|4,贝U 3x 102, XV4,：舍去；若 3x4，贝U x

20、22,二 3x4;8若 x 3,贝U 10 3x2,.3x 3.38综上，不等式的解集为x 3x4,f (x) = x 2, 3x4,10 3x, x 1,1 1 2a1, a2，即a的取值范围为?,+ .14. (2015 新课标全国卷I )已知函数 f(x) = |x + 1| 2|x a| , a0.(1) 当a= 1时，求不等式f(x)1的解集；(2) 若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解当 a= 1 时，f(x)l 化为|x+ 1| 2|x 1| 10.当x0,无解；2当一1x0,解得3x1时，不等式化为一x + 20,解得Kx1的解集为x 3x2.x 1 2a，x 1， 由题设可得，f(x) = 3x + 1 2a， K xa.2a 1象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为 A亍，0，B(2a+ 1,0)，C(a，a+2 21)， ABC的面积为 3(a+ 1).由题设得3( a+ 1)26,故a2.所以a的取值范围为(2，+*).15. 设函数 f(x) = |x 1| + |x a|.(1)若a= 1,解不等式f(x) 3;如果？x R, f(x) 2,求a的取值范围.解当 a= 1 时，f(x) = |x 1| + |x + 1| ,2x, x 1,f