电路分析基础第2章电路的等效变换.ppt

1、第2章电路的等效变换,2.1单口电路等效的概念 2.2实际电源的两种模型及其等效互换 2.3不含独立源单口电路的等效 2.4含独立源单口电路的等效 *2.5电阻Y形连接与形连接的等效变换 2.6理想电源的等效转移 习题2,2.1单口电路等效的概念对外只有两个端钮的电路称为二端电路或单口电路，进出这两个端钮的电流为同一电流。图2.1-1所示为两个单口电路N1和N2,图2.1-1单口电路等效概念说明图,先讨论电阻的串联等效。设有两个单口电路N1和N2，如图2.1-2所示，N1由两个电阻R1、R2串联而成，N2仅由一个电阻Req构成。显然，N1和N2的内部结构完全不同。在图2.1-2所示的电压、电流

2、关联参考方向下，由KVL及欧姆定律，对图(a)有u=u1+u2=R1i+R2i=(R1+R2)i(2.1-1)对图(b)有u=Reqi(2.1-2) 根据单口电路等效的定义，如果Req=R1+R2(2.1-3,图2.1-2两个电阻串联等效,电阻串联有分压关系。若已知串联电阻电路两端的总电压，则各电阻上分有的电压为式(2.1-4)为两串联电阻的分压公式。该式表明：串联电阻的电压与其电阻值成正比，即电阻越大，分得的电压越大,2.1-4,以上是两个电阻串联导出的公式，可将其推广到n个电阻串联的一般情况，如图2.1-3所示，则串联电阻电路的总电压等效电阻分压公式,2.1-5,2.1-6,2.1-7,图

3、2.1-3n个电阻串联等效,图2.1-4(a)是两个电阻并联构成的单口电路N1，图2.1-4 (b)是仅由一个电阻构成的单口电路N2。在图2.1-4所示的电压、电流关联参考方向下，由KCL和欧姆定律，对图(a)有对图(b)有,2.1-8,2.1-9,图2.1-4两个电阻并联等效,根据单口电路等效的定义，如果即 Geq=G1+G2 (2.1-11,2.1-10,由式(2.1-9)可得到两个电阻并联时的等效电阻公式为此式在电路分析中经常用到，应当记住。为了书写方便，我们常用符号“”表示电阻的并联。如图2.1-4(a)所示，并联等效电阻可写为Req=R1R2 (2.1-13,2.1-12,电阻并联有

4、分流关系。若已知并联电阻电路的总电流，则两并联电阻支路上的电流分别为或,2.1-14,2.1-15,以上是两个电阻并联导出的公式，同样也可推广到n个电阻并联的一般情况，如图2.1-5所示，则并联电阻电路的总电流等效电阻,2.1-16,2.1-17,图2.1-5n个电阻并联等效,亦可写为 或等效电导分流公式,2.1-18,2.1-19,2.1-20,2.2实际电源的两种模型及其等效互换为了测试其外特性(伏安特性)，我们将一个实际电源外接一负载电阻R，见图2.2-1(a)。调节电阻R，随着R的不同，端电压u和电流i也不同，测得实际电源的外特性(即u-i关系曲线)如图2.1-1(b)所示。根据此特性

5、曲线，可作出实际电源的两种电路模型,图2.2-1实际电源的外特性测试,2.2.1实际电源的两种模型1 实际电源的电压源模型由图2.2-1(b)所示的实际电源的外特性可看出，实际电流的端电压u随着输出电流i的增大而逐渐下降。为了表征这一特性，可用一个理想电压源和一个电阻串联组合来作为实际电源的电路模型，如图2.2-2(a)所示，称为实际电源的电压源模型。根据KVL，得端口伏安关系为u=usRsi (2.2-1)由式(2.2-1)绘出其伏安特性曲线如图2.2-2(b)所示。该特性曲线为一条直线，直线的斜率为Rs。实际电源的内电阻Rs越小，其特性越接近于理想电压源,图2.2-2实际电源的电压源模型及

6、其伏安特性,由式(2.2-1)和图2.2-2可看出，当电压源模型端口开路时，输出电流i=0，端电压u=uoc=us (2.2-2)这种情况在图2.2-2(b)中对应于特性曲线与纵坐标轴的交点A当电压源模型端口短路时，端电压u=0，输出电流比较式(2.2-2)与式(2.2-3)，可得,2.2-3,2.2-4,2 实际电源的电流源模型 实际电源还可用一个理想电流源is和一个电阻Rs的并联组合作为其电路模型，如图2.2-3(a)所示，称为实际电源的电流源模型。图中，is称为源电流，为电源产生的定值电流；Rs为实际电源的内电阻，也可用电导Gs表示，称为内电导。根据KCL，得端口的伏安关系为由式(2.2

7、-5)绘出其伏安特性曲线如图2.2-3(b)所示。该特性曲线也是一条直线，直线的斜率为。显然，实际电源的内电阻Rs越大，其特性越接近于理想电流源,2.2-5,图2.2-3实际电源的电流源模型及其伏安特性,由式(2.2-5)和图2.2-3可看出，当电流源模型端口开路时，输出电流i=0，端电压 u=uoc=isRs (2.2-6)这就是特性曲线与横坐标轴的交点。当电流源模型端口短路时，端电压u=0，输出电流i=isc=is (2.2-7)这就是特性曲线与纵坐标轴的交点,2.2.2两种电源模型的等效互换为了便于讨论两种电源模型等效互换的条件，我们把它们一起表示在图2.2-4中，并将电流源模型中的内阻

8、暂记为Rs。根据KVL，由图2.2-4(a)得电压源模型端口的VAR为 u=usRsi (2.2-8)根据KCL，由图2.2-4(b)得电流源模型端口的VAR为将上式改写为u=RsisRsi (2.2-10,2.2-9,图2.2-4两种电源模型的等效互换,如果两种电源模型等效，则它们端口的伏安关系应该完全相同。比较式(2.2-8)和式(2.2-10)，可得到两种电源模型的等效条件为由式(2.2-11)，可方便地由一个电压源模型得到其等效电流源模型, 反之亦然。两种电源模型的等效互换关系如图2.2-5所示,2.2-11,图2.2-5两种电源模型的等效互换,上述两种电源模型的等效互换方法也适用于受

9、控源，即受控电压源和电阻的串联组合与受控电流源和电阻的并联组合可以等效互换。但应注意，在变换过程中，控制量必须保留。例如，图2.2-6(a)所示的受控电流源与电阻的并联组合可等效为图2.2-6(b)所示的受控电压源与电阻的串联组合,图2.2-6受控源的等效互换,例2.2-1】试求图2.2-7(a)所示电源的等效电流源模型和图2.2-7(b)所示电源的等效电压源模型,图2.2-7例2.2-1用图,解由图2.2-5(a)所示的电压源模型等效为电流源模型可知，对图2.2-7(a)所示的电压源模型，其等效电流源的电流为，并联电阻Rs=5 W，故得等效电流源如图2.2-7(c)所示。由图2.2-5(b)

10、所示的电流源模型等效为电压源模型可知，对图2.2-7(b)所示的电流源模型，其等效电压源的电压为Rsis=34=12 V，串联电阻Rs=3 W，故得等效电压源如图2.2-7(d)所示,2.3不含独立源单口电路的等效1. 纯电阻无源单口电路的等效我们把只含电阻的无源单口电路称为纯电阻无源单口电路。在纯电阻无源单口电路中，电阻的连接方式既有串联，又有并联，称为电阻混联。其等效电阻的计算可用前面介绍的串、并联等效化简方法逐步完成。由于这种电阻混联单口电路中各电阻的串、并联关系不易分辨出，所以往往要对原电路进行改画,例2.3-1】如图2.3-1(a)所示的单口电路，求ab端的等效电阻,图2.3-1例2

11、.3-1用图,解该单口电路是由电阻混联组成的，为了能更清楚地判别出电阻的串、并联关系，我们将电路适当改画。先选一条路径，从端钮a点经c点至端钮b点，然后将剩余的电阻6 W和8 W连接到相应的节点之间，改画后的电路如图2.3-1(b)所示。对图(b)，应用串、并联电阻等效公式，可方便地求得ab端的等效电阻,例2.3-2】求图2.3-2(a)所示电路ab端和cd端的等效电阻,图2.3-2例2.3-2用图,解(1) 求图2.3-2(a)中ab端的等效电阻。相应电路如图2.3-2(b)所示。由图(b)得Rab=1.5+3(2+4)=3.5 W (2) 求图2.3-2(a)中cd端的等效电阻。相应电路如

12、图2.3-2(c)所示。由图(c)得,例2.3-3】求图2.3-3(a)所示电路ab端的等效电阻,图2.3-3例2.3-3用图,解为了判断电阻的串、并联关系，我们对电路进行改画。先把原电路图2.3-3(a)中的节点标上字母，接着选一条主路径，从端钮a点经c、d点至端钮b点，然后将剩余的电阻连接到相应的节点之间，改画后的电路如图2.3-3(b)所示。将图(b)中能看出串、并联关系的电阻用其等效电阻代替，得图2.3-3(c)。由图(c)可方便地求得Rab=(2+2)4+24=2,2. 含受控源无源单口电路的等效我们把仅含受控源和电阻的单口电路称为含受控源无源单口电路。含受控源无源单口电路与纯电阻无

13、源单口电路一样，可以等效为一电阻。例如，图2.3-4(a)所示的电路仅含有受控源和电阻，不含独立源，为含受控源无源单口电路,图2.3-4含受控源无源单口电路的等效,例 2.3-4】求图2.3-5(a)所示的无源单口电路的等效电阻,图2.3-5例2.3-4用图,解本题电路为含受控源无源单口电路，其等效电阻的求取采用外加激励法。在ab端外加电压u0，产生端电流i0，u0与i0对单口电路来说参考方向关联，利用电源等效变换将受控电压源串联电阻组合等效为受控电流源并联电阻组合，如图2.3-5(b)所示,例2.3-5】无源单口电路如图2.3-6(a)所示，求其等效电阻,图2.3-6例2.3-5用图,解本题

14、无源单口电路含受控源，应采用外加激励法求其等效电阻。在ab端外加电压U，产生电流I，如图2.3-6(b)所示。为便于写出ab端口的伏安关系式，利用电阻并联电流关系和电源等效变换，将图(a)变换为图(b)。这里应注意，在对含受控源电路进行等效变换时，控制量始终要保留在电路中,2.4含独立源单口电路的等效1. 理想电压源串联等效图2.4-1(a)所示是n个理想电压源串联组成的单口电路。根据KVL，很容易证明在任何外接电路下，这一电压源串联组合可等效为一个电压源，如图2.4-1(b)所示，等效电压源的电压,2.4-1,图2.4-1理想电压源串联等效,2. 理想电流源并联等效图2.4-2(a)所示是n

15、个理想电流源并联组成的单口电路。根据KCL，在任何外接电路下，可等效为一个电流源，如图2.4-2(b)所示，等效电流源的电流,2.4-2,图2.4-2理想电流源并联等效,3. 任意二端电路与理想电压源并联等效 图2.4-3(a)所示是任意二端电路N1与理想电压源并联组成的单口电路。N1可由电阻、独立源和受控源等元件构成。图(a)所示的单口电路的VAR是u=us (对任意端电流i) (2.4-3)显然，式(2.4-3)与理想电压源的VAR相同。因此，根据等效的定义，图2.4-3(a)所示的单口电路可等效为图(b)所示的电路，即图(a)的等效电路就是理想电压源本身,图2.4-3理想电压源与任意二端

16、电路并联等效,4. 任意二端电路与理想电流源串联等效图2.4-4(a)所示是任意二端电路N1与理想电流源串联组成的单口电路。N1可由电阻、独立源和受控源构成。图(a)所示的单口电路的VAR是i=is (对任意端电压u) (2.4-4)显然，式(2.4-4)与理想电流源的VAR相同。根据等效的定义，图2.4-4所示的单口电路可等效为图(b)所示的电路，即图(a)的等效电路就是理想电流源本身,图2.4-4理想电流源与任意二端电路串联等效,例2.4-1】图2.4-5(a)所示为含源单口电路，试用等效变换方法求其最简等效电路,图2.4-5例2.4-1用图,解图(a)中，8 V理想电压源与6 A理想电流

17、源串联，由图2.4-4所示的二端电路与理想电流源串联等效可知，8 V理想电压源是多余的，可以短接，于是得到图(b)。再将图(b)中10 V理想电压源串联5 电阻组合等效为2 A理想电流源并联5 电阻组合，得到图(c)。最后将图(c)中两理想电流源并联等效，得到图(d)，即该单口电路的最简等效电路。也就是说，图(a)所示的含源单口电路经逐步等效化简，最后等效为图(d)所示的实际电流源模型,例2.4-2】利用电路的等效变换，求图2.4-6(a)所示的含源单口电路的最简等效电路,图2.4-6例2.4-2用图,解应用任意二端电路与理想电流源串联等效，图(a)中与2 A理想电流源串联的1 电阻是多余的，

18、可予以短接；应用任意二端电路与理想电压源并联等效，图(a)中与9 V理想电压源并联的支路(2 电阻和4 V理想电压源串联支路)是多余的，可予以断开，得到图(b)。将图(b)中2 A理想电流源并联6 电阻组合等效为12 V理想电压源串联6 电阻组合，得到图(c)。应用理想电压源串联等效，将图(c)等效为图(d)。图(d)中，为了使6 电阻与3 电阻并联，将3 V理想电压源串联6 电阻组合等效为0.5 A理想电流源并联6 电阻组合，得到图(e)。最后将图(e)中两并联电阻等效，得到图(f)。这就是说，图(a)所示的含源单口电路可等效化简为图(f)所示的实际电流源模型或图(g)所示的实际电压源模型,

19、例2.4-3】求图2.4-7(a)所示的含源单口电路的最简等效电路,图2.4-7例2.4-3用图,解将图(a)中受控电流源并联电阻组合等效为受控电压源串联电阻组合，得到图(b)。根据KVL，对图(b)列写端口伏安关系得U=10+(4+2)I4U整理得U=2+1.2I 由此伏安关系可作出相应的等效电路，如图(c)所示。图(c)就是图(a)的最简等效电路，亦为一实际电压源模型,例2.4-4】电路如图2.4-8(a)所示，试等效化简ab以左的单口电路，并求3 电阻的电压和1 电阻的电流,图2.4-8例2.4-4用图,解首先等效化简ab以左的单口电路。将图(a)中3 电阻支路移去，余下电路为ab以左的

20、单口电路。把图中两个理想电流源并联电阻组合等效为两个理想电压源串联电阻组合，得到图(b)。将图(b)进一步等效为图(c)，即ab以左的单口电路的最简等效电路,2.5电阻Y形连接与形连接的等效变换前面几节详细介绍了常用的典型二端电路(单口电路)的等效变换方法，如电阻的串并联等效、电压源模型与电流源模型的等效互换、无源单口电路的等效和含源单口电路的等效。这些等效变换方法在电路分析中很重要，应该熟练掌握。但有时我们会遇到一些电路，不能用上述方法进行等效化简，例如图2.5-1(a)所示的电路，电阻间的连接方式既非串联，又非并联，无法用电阻的串并联等效来计算ab端的等效电阻。如果能设法将图(a)中虚线框

21、部分等效变换为图(b)中虚线框部分，那么对图(b)就可用电阻的串并联等效方法求得ab端的等效电阻。本节介绍的电阻Y形连接和形连接的等效变换可解决这类问题,图2.5-1电阻Y-连接电路,将三个电阻的一端连接于一个节点上，而它们的另一端分别连接到三个不同的端钮上，这样就构成了如图2.5-2(a)所示的Y形(星形)连接电阻电路，也称T形电路。如果将三个电阻分别接在每两个端钮之间，使三个电阻构成一个回路，如图2.5-2(b)所示，这样就构成了形(三角形)连接的电阻电路，也称形电路,图2.5-2Y形和形连接电路,对于Y形电路，由图2.5-2(a)得各端口的等效电阻,2.5-1,对于形电路，由图 2.5-

22、2(b)得各端口的等效电阻,2.5-2,两电路等效的条件是对应端口的等效电阻相等，于是有,2.5-3,由式 (2.5-3 )解得由形电路等效变换为Y形电路各电阻间的关系为,2.5-4,同样，由式(2.5-3)也可解得由Y形电路等效变换为形电路各电阻间的关系为,2.5-5,如果Y形电路或形电路为对称三端电阻电路，即三个电阻相等，则由式(2.5-4)或式(2.5-5)可得如下变换关系这里，RY、R分别表示Y形和形电路中的每个电阻。在某些电路中，利用电阻Y-等效变换可以把非串并联的电阻电路等效为串并联电阻电路，使电路得以简化。【例2.5-1】电路如图2.5-3(a)所示，求ab端口的等效电阻,2.5

23、-6,图2.5-3例2.5-1用图,解图(a)中电阻间的连接方式不是串并联，因此，先利用电阻Y-电路等效变换，将图(a)虚线框部分的Y形连接等效为形连接，得图(b)。其中,再应用电阻串并联等效公式，由图(b)得ab端口的等效电阻Rab=(37+3.51.5)142.57 【例2.5-2】电路如图2.5-4(a)所示，求电流I,图2.5-4例2.5-2用图,解利用电阻Y-等效变换，将图(a)等效为图(b)，再应用电阻并联公式，得到图(c)。对图(c)，根据电阻分流公式，得回到图(b)，又由电阻分流公式计算得最后回到原电路图(a)，对节点2应用KCL，得,2.6理想电源的等效转移1. 理想电压源的

24、等效转移图2.6-1(a)所示的电路中，有一理想电压源连接于节点a与节点b之间，可通过节点a或节点b将理想电压源转移到与该节点相连接的支路中，使这些支路组成实际电压源模型。这里，我们通过节点a将理想电压源转移到与之相连接的支路中，如图2.6-1(b)所示。图(b)与图(a)的等效性是显然的，因为图(b)中节点a的电位与图(a)中节点a的电位是相等的。若将图(b)中两个极性相同且等值的理想电压源并联，则恢复为原电路图(a,图2.6-1理想电压源的转移,2. 理想电流源的等效转移图2.6-2(a)所示的电路中，含有一理想电流源支路，可将理想电流源沿着它所在的回路转移到该回路的其他各个支路中，使这些

25、支路组成实际电流源模型。这里，我们沿着理想电流源所在的回路A将其转移到该回路中的da支路和ac支路中，如图2.6-2(b)所示，原理想电流源支路已不存在，可按前述的等效变换方法对电路进行化简。图(b)与图(a)也是等效的，因为理想电流源转移前后，电路中相应节点的KCL方程是相同的,图2.6-2理想电流源的转移,例2.6-1】试将图2.6-3(a)所示的单口电路等效化简为最简形式的电压源模型和电流源模型。解首先根据理想电压源的等效转移，将图(a)中连接于节点c与节点d之间的6 V理想电压源通过节点c转移到与之相连接的ca支路和cb支路中，如图(b)所示。然后将图(b)中的电压源模型等效变换为电流

26、源模型，得到图(c)。对图(c)，应用电阻的并联公式，得到图(d)。由图(d)，再经电源的等效变换，得到图(e)，最后得到图(f)和图(g)，即图(a)所示含源单口电路最简形式的等效电压源模型和电流源模型,图2.6-3例2.6-1用图,例2.6-2】图2.6-4(a)所示为电子电路中共基放大电路的交流等效电路，试求电压增益和输入电阻Ri,图2.6-4例2.6-2用图,解根据理想电流源的等效转移，将受控电流源沿着它所在的回路转移到该回路中的cb支路和be支路中，如图2.6-4(b)所示。对图(b)，有uo=(RCRL)gmubeui=ube 故电压增益,习题22-1求题2-1图所示两电路中的电流i1和i2,题2-1图,2-2电路如题2-2图所示，求电流i,题2-2图,2-3电路如题2-3图所示，求电压uab,题2-3图,2-