2012届高考数学文科一轮复习精选课件（新人教A版）：8.6 椭圆

1、考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,返回目录,考 纲 解 读,考 向 预 测,返回目录,从近两年的高考试题来看，椭圆的定义、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、求椭圆的标准方程是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中等偏高，但试题难度较前几年大大降低，不再作为“压轴”题目；客观题主要考查对椭圆的基本概念与性质的理解及应用；主观题考查较为全面，在考查对椭圆基本概念与性质的理解及应用的同时，又考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力、运算能力以及数形结合思想. 预测2012年高考仍将以椭圆的定义、性质和直线与椭圆的位置关系为主要考点，重点考查运算能力与

2、逻辑推理能力,返回目录,1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的,两个定点,焦距,返回目录,2.椭圆的标准方程和几何性质,a,a,b b,b b,a,a,x轴,y轴,原点,返回目录,a,0,a,0,0,-b,0,b,0,-a,0,a,b,0,b,0,2a,2b,0,1,返回目录,一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2： （x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程,分析】两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件,考点1 椭圆的定义,返

3、回目录,解析】 两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），r1=1；O2（3，0），r2=9.设动圆圆心为M（x，y），半径为R， 则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R. |MO1|+|MO2|=10. 由椭圆的定义知，M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3. b2=a2-c2=25-9=16. 故动圆圆心的轨迹方程为,返回目录,平面内一动点与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a，当2a|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，轨迹不存在,已知ABC中，A（-1，0），C（1，0），且边a， b，c

4、成等差数列，求顶点B的轨迹方程,返回目录,设B（x，y），a+c=2b， |BC|+|BA|=4. 又A，C为定点，由椭圆定义知，动点B的轨迹是 以A，C为焦点的椭圆，设其方程为 ， c=1，a=2，b2=3， 椭圆方程为 . 又A，B，C不共线，y0,即x2. 所求B点的轨迹方程为 (x2,返回目录,返回目录,分析】利用待定系数法求椭圆方程,考点2 椭圆的标准方程,1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3 倍，并且过点p(3,0),求椭圆的方程. （2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且 经过两点P1（ ，1） P2（- ,- ）,求椭圆的方程,解析】（1）若焦点在x轴上，设方

5、程为 （ab0）. 椭圆过P（3，0）， . 又2a=32b,a=3,b=1,方程为 . 若焦点在y轴上，设方程为 （ab0）. 椭圆过点P（3，0）， 又2a=32b,a=9,b=3. 方程为 . 所求椭圆的方程为 或,返回目录,返回目录,2）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m0,n0且mn）. 椭圆经过P1，P2点，P1，P2点坐标适合椭圆方程， 6m+n=1， 3m+2n=1， m= , n= . 所求椭圆方程为,则,两式联立，解得,返回目录,运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+

6、ny2=1（m0,n0,mn），由题目所给条件求出m，n即可,返回目录,1）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程； （2）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为 ，长 轴长为8,返回目录,解析】（1）设所求的椭圆方程为 (ab0)或 (ab0), 由已知条件得 2a=5+3 (2c)2=52-32，解得a=4,c=2,b2=12, 故所求方程为 或 . (2)由已知得 = a=4 2a=8 c=2, b2=16-4=12. 焦点可在x轴上,也可在y轴上, 所求椭圆方程为 或,返回目录,考点3 椭圆的几何性质,已

7、知椭圆 (ab0)的左、右焦点分别为F1（- c，0），F2（c，0）.若椭圆上存在点P使 ,则该椭圆的离心率的取值范围为,返回目录,分析】利用正弦定理得|PF1|，|PF2|的关系，结合定义可得|PF2|，再根据焦点弦长的最大、最小值建立不等关系,解析】在PF1F2中，由正弦定理知 ,即|PF1|=e|PF2| 又P在椭圆上，|PF1|+|PF2|=2a，将代入得|PF2|= (a-c,a+c),同除以a得1-e 1+e,得 -1e1,返回目录,1)求椭圆离心率的题目大致分为两类：一类利用椭圆定义及性质直接得出离心率e的式子（或与椭圆的统一定义有关）；另一类利用条件（题设条件）获得关于a,b

8、,c的关系式，最后化归为关于a,c（或e）的关系式（关于a,c的齐次方程），再依e= 化成关于e的方程，利用方程思想求离心率. (2)椭圆性质的挖掘 设椭圆 =1(ab0) 上任意一点P(x,y),则当x=0时,|OP|有最小值b,这时,P在短轴端点处;当x=a时,|OP|有最大值a,这时P在长轴端点处,返回目录,椭圆上任意一点P(x,y)(y0)与两焦点F1(-c,0),F2(c,0)构成的PF1F2称为焦点三角形,其周长为2(a+c). 椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2=b2+c2. 过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a. (3)离心率e= ，在

9、求法中要有整体求值思想或变形为,返回目录,已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关,设椭圆方程为 （ab0）, |PF1|=m,|PF2|=n. 在PF1F2中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos60.m+n=2a, m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, 4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2. 又mn =a2(当且仅当m=n时取等号), 4a2-4c23a2, ,即e . e的取值范围是 ,1,返回目录,解析,返回目录,2)证明:由(1)知mn= b

10、2, = mnsin60= b2, 即PF1F2的面积只与短轴长有关,返回目录,考点4 直线与椭圆关系的应用,2010年高考课标全国卷设F1,F2分别是椭圆E:工程 (0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线l的斜率为1,求b的值,分析】根据椭圆定义求|AB|;将直线l的方程代入椭圆方程,由|AB|求b,返回目录,解析】(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . (2)设直线l的方程为y=x+c,其中c= . 设A(x1,y1)

11、,B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组 y=x+c x2+ =1,返回目录,化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0, 则x1+x2= , x1x2= . 因为直线AB的斜率为1,所以|AB|= |x2-x1|, 即 = |x2-x1|, 则 =(x1+x2)2-4x1x2 = . 解得b= b=- 不合题意,故舍去,返回目录,1）直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离. （2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础. （3）直线y=kx+b(

12、k0)与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则|AB|= |x1-x2|= |y1-y2| =,返回目录,2010年高考辽宁卷设椭圆C: (ab0)的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，AF=2FB. (1)求椭圆C的离心率； (2)如果|AB|= ，求椭圆C的方程,返回目录,解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l的倾斜角为60及AF=2FB知y10. (1)直线l的方程为y=3(x-c), 其中 . 联立y= (x-c) 得(3a2+b2)y2+2 b2cy-3b4=0. 解得,返回目录,因为AF=2FB,所以-y1=2y2

13、, 即 得离心率e= . (2)因为|AB|= |y2-y1|, 所以 . 由 得b= a. 所以 a= ,得a=3,b= . 所以椭圆C的方程为,返回目录,考点5 椭圆方程与性质的综合应用,2009年高考广东卷已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(kR)的圆心为点Ak. （1）求椭圆G的方程； （2）求AkF1F2的面积； （3）问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由,返回目录,分析】由e= ，2a=12，求a,b，方程可求；AkF1F2的面积代入S= ah;只要椭

14、圆的长轴端点在圆Ck内，则圆Ck包围椭圆G,解析】（1）设椭圆G的方程为 (ab0)，半焦距为c,则 2a=12 ，解得 c=3 , 所以b2=a2-c2=36-27=9. 所以所求椭圆G的方程为,a=6,返回目录,2)点Ak的坐标为(-k,2). = |F1F2|2= 6 2= . (3)若k0，由62+02+12k-0-21=15+12k0，可知右端点（6，0）在圆Ck外; 若k0,可知左端(-6,0)在圆Ck外. 所以不论k为何值,圆Ck都不能包围椭圆G,返回目录,探索性问题主要考查学生探索解题途径,解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成

15、的,要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识的方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神，因此越来越受到高考命题者的青睐,返回目录,已知F1，F2是椭圆 （ab0）的左、右焦点，P是椭圆上一点，且F1PF2=90,求椭圆离心率的最小值,返回目录,解析】解法一：如图所示， F1PF2=90, F1BF290, OBF245. e= =sinOBF2sin45= , 椭圆离心率的最小值为,返回目录,解法二：利用余弦定理.F1BF290, cosF1BF2= 0, 即a22c2,e= ， 则椭圆离心率的最小值为 . 解法三：利用基本不等式. 设|PF1|=m，|PF2|=n，m2+n2=4c2. 又2a=m+n，4a2=m2+n2+2mn2(m2+n2)=8c2,即a22c2,e= . 则椭圆离心率的最小值为,返回目录,1.椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c. 2.过