中考数学 第二部分 专题突破四 作图与证明

1、专题四作图与证明,尺规作图与证明是每年中考必考内容，一般考查学生对基 本作图的掌握情况和实践操作能力，并且在作图的基础上进一 步证明结论的成立.此类题目属于基础题，难度不大，一般与特 殊三角形、特殊四边形和圆有着密切联系.所以掌握 5 种基本作 图的方法至关重要,在基本作图的基础上，掌握较复杂的尺规作图，即利用基 本作图作三角形、作三角形的外接圆、内切圆等是中考常考的 内容.难度稍有提高，需要结合其他几何图形的性质灵活运用尺 规作图.另外，注意在作图过程中，保留作图痕迹,基本作图与证明,例 1：(2014 年广西来宾)如图 Z4-1，BD 是矩形 ABCD 的,一条对角线,1)作 BD 的垂直

2、平分线 EF，分别交 AD，BC 于点 E，F， 垂足为点 O.(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法,2)求证：DEBF,图 Z4-1,解：(1)答题如图Z4-2. (2)证明：四边形 ABCD 为矩形， ADBC.ADBCBD,图 Z4-2,EF 垂直平分线段 BD，BODO. 在DEO 和BFO 中,DEOBFO(ASA).DEBF,解题技巧尺规作图需要进一步证明结论时，一般需要运 用尺规作图中的结论，结合已知图形的性质进行推理、证明即 可,基本作图与求值,例2：(2015 年广东广州)如图 Z4-3，AC 是O 的直径，点,B 在O 上，ACB30,1)利用尺规作ABC 的平分线

3、 BD，交 AC 于点 E，交O,于点 D，连接 CD；(保留作图痕迹，不写作法,2)在(1)所作的图形中，求ABE 与CDE 的面积之比,图 Z4-3,解：(1)如图 Z4-4,图 Z4-4,图 Z4-5,2)如图 Z4-5，连接 OD，设O 的半径为r. BAECDE，AEBDEC， ABEDCE. 在 RtACB 中，ABC90，ACB30,名师点评将尺规作图与几何图形有机结合起来是中考最 常见的题型.本题考查了直角三角形和圆的基本性质、相似三角 形的性质，其中角平分线的作图是关键步骤，知识点兼容性好， 难度中等,较复杂的作图,例3：(2015 年浙江杭州)如图 Z4-6，已知O 的直径

4、为 10,点 C 是圆内一点，且 OC3,1)请利用尺规作图，找出圆心 O,2)经过点 C 的所有弦当中，长度为整数的有几条？长度分,别是多少,图 Z4-6,思路分析(1)利用垂径定理得出圆心的位置进而得出答案. (2)利用过圆内一点最长弦以及最短弦的性质求出其长度,进而得出答案,解：(1)尺规作出两条弦中垂线，取交点， 如图 Z4-7 点 O 就是所求圆心,图 Z4-7,2)过点 C 最长的弦是直径，长度为 10. OC3，r5,过点 C 最短的弦长是以 OC 为弦心距的弦，长度为 8. 过点 C 的弦长大于等于 8 小于等于 10. 过点 C 弦有 3 条，长度分别为 8,9,10,解题技巧不平行的两个弦的垂直平分线交点即为所求圆 的圆心，所以本题问题转化为作线段的垂直平分线.较为复杂的 作图一般是基本作图的灵活运用,尺规作图与应用,例 4：(2015 年甘肃兰州)如图 Z4-8，在图中求作P，使 P 满足以线段 MN 为弦且圆心 P 到AOB 两边的距离相等. (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用 黑色签字笔加黑,图 Z4-8,思路分析作AOB 的角平分线，作 MN 的垂直平分线， 以角平分线与垂直平分线的交点为圆心，以圆心到点M(或点N) 的距离为半径作圆