相似三角形分类整理(超全)

1、第一节：相似形与相似三角形基本概念：1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。I 2一1 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形1 几个重要概念与性质(平行线分线段成比例定理)(1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例DEBC EF BC或或DF AB DF AC丟或DE云等.已知 a / b / c,AB DE AB或可得BC EF AC(2) 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边AD EBC(或两边的延长线)所得的对应线段成比例AEAC .此推论较原定理应用更加广泛AD AE 十 BD EC 十 AD或

2、或由 DE/ BC可得：DB EC AD EA AB条件是平行(3) 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比 例.那么这条直线平行于三角形的第三边 此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线.(4) 定理:平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线 ，所截的三角形的三边与原三角 形三边对应成比例(5 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。比例线段：四条线段a, b, c,d中,如果a与b的比等于c与d的比，即-=cbd那么这四条线段a, b,c, d叫做成比,例线段,简称比例线段。2 比例的有关性质比例的基本

3、性质：如果旦_c.，那么ad=bc。如果 ad=bc (a, b, c, d都不等于0),b d那么旦-。b d合比性质：如果a，那么a bc d。bdbdacm 等比性质：如果=?= (b+d+?+ nz 0)，那么b dn b是线段a、d的比例中项，贝U b2 = ad.a c ? m b d ? n典例剖析例1:在比例尺是1: 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm,则它的实际长度约为Km. 若a=2则a一b=.b 3 b 若 a= 9 贝H a: b=.2a b 53相似三角形的判定(1) 如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。(2)

4、两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。(3 )三边对应成比例的两个三角形相似。补充：相似三角形的识别方法(1) 定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。(2) 平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)(3) 三边对应成比例的两个三角形相似。(4) 两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。(5) 两角对应相等的两个三角形相似。(6) 一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。(7) 被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。【基础练习】

5、(1)如图 1,当时， AB3 ADE小结：以上三类归为基本图形：母子型或A型(3) 如图4,如图1,当AB/ ED时，则 s。_(4) 如图5,当时，则 。BE小结：此类图开为基本图开：兄弟型或X型典例剖析例1 :判断 所有的等腰三角形都相似. 所有的直角三角形都相似. 所有的等边三角形都相似. 所有的等腰直角三角形都相似.()例2：如图， ABC中，AD是/ BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于求证： ABI CAF.A例 3:如图：在 Rt ABC 中， / ABC=90 , BD丄 AC 于 D,若 AB=6 ; AD=2 则AC=; BD=; BC=例3：如图

6、：在Rt ABC中,/ ABC=90 , BD丄 AC于 D ,若 E是 BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F,求证：AB : AC=DF : BFD第二节：相似三角形的判定（一）相似三角形：定义1对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.温馨提示： 当且仅当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等， 且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形， 即定义中的两个条件， 缺一不可; 相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； 对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。 两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。2、相似

7、三角形对应边的比叫做相似比.温馨提示： 全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例. 相似比具有顺序性.例如 AB3A A B C的对应边的比，即相似比为心则厶r = lA B Cs ABC的相似比亠，当且仅当它们全等时，才有 k=k =1. 相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或 缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似 多边形.4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，

8、且这条直线与原三角形 的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似.温馨提示： 定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：DE/ BC, ABCA ADE 这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”； 有了预备定理后， 在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”.（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理（1）:两角对应相等，两三角形相似.判定定理（2）:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理（3）:三边对应成比例，两三

9、角形相似.温馨提示： 有平行线时，用上节学习的预备定理； 已有一对对应角相等（包括隐含的公共角或对顶角）时，可考虑利用判定定理1或判定 定理2； 已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3.但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.例1.如图三角形 ABC中，点E为BC的中点，过点 E作一条直线交 AB于D点，与AC的延长线将于 F点，且FD=3ED求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似. 温馨提示： 由于直角三角形有一个角为直角， 因此，在判定两个直角三角形相似时， 只需再找一 对对应角相等，用判

10、定定理 1，或两条直角边对应成比例，用判定定理 2，一般不用判定定 理3判定两个直角三角形相似； 如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛. 如图，可简单记为：在 Rt ABC中，CDL AB,则 AB3A CBBA ACD2 2 2直角三角形的身射影定理：AC=AD*AB CD =AD*BD BC =BD*AB总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功.通常有以下几种方法：（1）相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角（或最小的角）

11、一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角， 对应角所 对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；（2）相似三角形中，一对最长的边 （或最短的边）一定是对应边；对应边所对的角是对应 角；对应边所夹的角是对应角.2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定， 要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形， 要善于归纳和记忆； 对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法.如：A(1) “平行线型”相似三角形，基本图形见上节图“见平行，想相似”是解这类题的 基本思路；(2) “相交线型”相似三角形，如上图其中各图中都有

12、一个公共角或对顶角“见一 对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3) “旋转型”相似三角形，如图.若图中/仁/2，/ B=Z D(或/ C=Z E)，则 AD0 ABC该图可看成把第一个图中的ADE绕点A旋转某一角度而形成的.第三节 相似三角形中的辅助线、作平行线例1.如图， ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E,且使AD= AE, DE延长线与BC延长线相交于F,求证:BFCFBDCE例2.如图， ABC中，ABAC在AB AC上分别截取 BD=CE DE BC的延长线相交于点 F, 证明：AB- DF=AC- EF。二、作垂线例3.如图从ABCD顶点C向AB

13、和AD的延长线引垂线 CE和 CF,垂足分别为E、F,求证:AB AE AD AF AC2。B E三、作延长线 例4.如图，在梯形 ABCD中, AD/ BC,若/ BCD的平分线 CHLAB于点H, BH=3AH且四边形AHCD勺面积为21,求厶HBC的面积。例5.如图，Rt ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交 BC于 F,2FG AB于 G 求证：FG =CF? BF四、作中线例 6 如图， ABC 中，AB丄 AC, AEL BC于 E, D在 AC边上，若 BD=DC=EC=,求 AG五、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵

14、活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明.1等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例1如图3,AABC中，AD平分/ BAC AD的垂直平分线 FE交BC的延长线于 E.求证： DE = BE- CE2、等比过渡法（等比代

15、换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法， 即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分 析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定 三角形。例2:如图4,在厶ABC中，/ BAC=90 , ADL BC E是AC的中点，ED交AB的延长线于点 F.求AB DFAC AF3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比 代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上

16、三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。例3 :如图5,在厶ABC中，/ ACB=90 , CD是斜边 AB上的高，G是DC延长线上一点，过 B作BEL AG 垂足为E,交CD于点F. 求证：CD= DF- DG六、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”（必要时需添辅助线），使其分别构成两个相似三角形来证明.例2 AN AB的值;例1如图5在厶ABC中, AD BE分别是BC AC边上的高，DFL AB于 F,交AC的延长 线于H,交BE于G,求证：FG/ FA=

17、FB/ FH （2） FD是FG与FH的比例中项.AB于E N.求:如图在 ABC中, AD是 BC边上的中线，M是 AD的中点，CM的延长线交；F gHA例3如图过 ABC的顶点C任作一直线与边 AB及中线AD分别交于点F和E.过点D作DMF FC交AB于点M 若Saef： S 四边形MDEI= 2 : 3, 求 AE ED（2）求证：AEX FB= 2AFX EDC第四节相似三角形难题集一、分类讨论：例1如图在正方形 ABC啲边长为1, P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时， ADP QCP相似？ADP例 2 如图在梯形 ABCDK AD/ BC / A= 90, AB= 7,

18、 AD= 2,CBC= 3试在边 AB上确定点P的位置，使得以 P、A D为顶点的 三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似.:相似三角形中的动点问题:1.如图，在 Rt ABC中，/ ACB=9 , AC=3 BC=4,过点B作射线 BB1/ AC 动点 D从点 A 出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3 个单位的速度运动. 过点D作DHL AB于H,过点E作EF丄AC交射线BB1于F，G是EF中点， 连接DG设点D运动的时间为t秒.(1 )当t为何值时，AD=AB并求出此时 DE的长度；(2)当厶DEG与厶ACB相似时，求t的值.2.如图，在 AB

19、C中，三ABC= 90, AB=6m BC=8m动点P以2m/s的速度从 A点出发，沿AC向点C移动.同时，动点 Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点 B移动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为 t秒.(1)当t=2.5s时，求 CPQ的面积；求 CPQ的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函数解析式；(2)在P, Q移动的过程中，当 CPQ为等腰三角形时，求出t的值.3.如图 1 ,在 Rt ABC中，二 ACB= 90, AC= 6, BC= 8,点 D在边 AB上运动，DE平分二 CDB 交边BC于点E, EML BD 垂足为 M ENL CD垂足为 N.(1

20、)当 AD= CD时，求证：DE/ AC(2)探究：AD为何值时， BME与厶CNE相似？ 4.如图所示，在 ABC中，BA= BC= 20cm, AC= 30cm,点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm 的速度向B点运动；同时点 Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到 达B点时，Q点随之停止运动设运动的时间为 x.(1 )当x为何值时，PQ/ BC?(2 ) APQ与厶CQB能否相似？若能，求出 AP的长；若不能说明理 由.5.如图，在矩形 ABCD中, AB=12cm BC=6cm点P沿AB边从A开 始向点B以2cm/s的速度移动；点 Q沿DA边从点D开始向点A以 1cm/s的速度移动.如果 P、Q同时出发，用t (s)表示移动的时 间(0v t v 6 )。(1 )当t为何值时， QAP为等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点 Q A、P为顶点的三角形与 ABC相似? 三、构造相似辅助线一一双垂直模型6.在平面直角坐标系 xOy中，点A的坐标为（2 , 1）,正比例函数y=kx的图象与线段 0A的夹 角是45，求这个正比例函数的表达式.7.在厶ABC中，AB=2,AC=4, BC=