线性代数A-向量组的线性相关性- 答案

1、.第三章 向量组的线性相关性作业1一、判断题1. 如果当时，则线性无关.（ ）2. 若只有当全为0时，等式才成立，则线性无关，线性无关.（ ）二、填空题1. 设其中则= . 2. n维零向量一定线性 相 关.3. 设，若线性相关，则= .4.已知向量组线性相关，则= . 5. 设向量组线性无关，则必满足关系式 .6.设则向量组的线性相关性是 线性相关 .三、选择题1向量组和向量组等价的定义是向量组（ A ）.A. 和可互相线性表示 B. 和中有一组可由另一组线性表示C. 和中所含向量的个数相等 D. 和的秩相等2. 向量组线性无关的充要条件是（ D ）.A. 均不为零向量 B. 中有一部分向量

2、线性无关C. 中任意两个向量的分量不成比例D. 中每个向量都不能由其余向量线性表示3设向量，则向量组1,2,3线性无关的充分必要条件是（ D ） A. 全不为0 B. 不全为0 C. 不全相等 D. 互不相等4. 在下列向量组中， D 是线性无关的. A,B,C,D,四、计算与证明题1. 给定向量组试判断是否为的线性组合；若是，则求出组合系数.解：设，若此方程组有解，则可写成的线性组合，否则，不可以. 即从而.2. 讨论下列向量组的线性相关性.（1）；（2）解：（1）因为，所以，线性相关.（2）所以，线性相关.3. 证明：若向量组线性无关，则任一向量必可由线性表示.证：设有数，使，则；. （1

3、）因线性无关，所以，由cramer法则（1）有唯一解. 则必可由线性表示.4. 向量组线性无关，证明：向量组， 也线性无关.证： 设有一组数使于是有.又因为线性无关，所以即，方程组只有零解. . 从而， 线性无关.5. 已知向量组线性无关，且,，证明：向量组线性相关.证：设有一组数使于是，又因为向量组线性无关，所以有由Cramer法则知上述方程组有非零解，因此向量组线性相关.6. 设向量组线性无关, 向量组,线性相关, 证明可由线性表示且表法唯一.证：因为,线性相关，所以存在不全为零的一组数，使得这里，否则存在不全为零的数，使得，这与线性无关相矛盾. 于是即可由线性表示.下证唯一性. 设（1）

4、-（2）有因线性无关，故，所以唯一性得证.作业2一、判断题1. 若，则中任意5个向量都线性无关.（ ）2已知，则能由,线性表示.（ ）3. 已知，则不能由,线性表示.（ ）4. 两个向量组等价当且仅当两个向量组的秩相等. （ ）5. 向量组线性无关当且仅当. （ ）二、填空题1. 设向量组可由向量组线性表出，且，则向量组的线性相关性是 线性相关 .2. 设mn矩阵A的m个行向量线性无关，则矩阵的秩为 m .3. 向量组的秩为 1 .4. 向量组，的秩为 ，最大无关组为 .三、选择题1. 若向量组可由向量组线性表示，则必有（A）.A秩秩 B秩秩 Crs Drs2. 若向量组线性无关，线性相关，则

5、（ C ）.A. 必可由线性表示 B. 必可由线性表示C. 必可由线性表示 D. 必不可由线性表示3. 设向量组（I）可由向量组（II）线性表示，则（ D ）.A. 当时，向量组（II）必线性相关 B. 当时，向量组（I）必线性相关C. 当时，向量组（II）必线性相关 D. 当时，向量组（I）必线性相关4. 已知，其中为非零向量，则向量组的秩( B ).A. 3 B. 3 C. =3 D. =05. 若向量组的秩为，则（ D ）.A必定 B向量组中任意小于个向量的部分组必线性无关 C向量组中任意个向量必线性无关 D向量组中任意个向量必线性相关6. 设向量组有两个极大无关组(I)：；(II)：，

6、则有（ C ）成立A. r与s不一定相等 B. r+s = m C. (I)中向量可由(II)表示 ，(II)中向量可由(I)表示 ，且r =s D. r+s m 四、计算与证明题1. 求下列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组表示出来.（1）.解：所以，向量组的秩为3，最大无关组为，且，.（2），.解：所以，向量组的秩为3，最大无关组为，且.（3）.解：所以，向量组的秩为4，最大无关组为. 2. 设，对讨论向量组的秩.解：，因此，当，向量组的秩为2，当时，向量组的秩为3. 3. 设向量组，试确定为何值时，向量组线性相关，并在线性相关时求它的一个最大线性无关组.解：当时，向量组

7、的秩为34，从而向量组线性相关，此时最大线性无关组为. 4. 设向量组是一组维向量，证明它们线性无关的充要条件是任一维向量都能由它们线性表示.证：必要性. 设线性无关，任取为一维向量，则线性相关（n+1个n维向量线性相关），所以可以由线性表示.充分性. 设任意n维向量都可由线性表示，则可由线性表示. 反之， 可由线性表示，从而与等价. 于是与秩相等，即线性无关.补充题1. 设A是n阶方阵，则下列结论中错误的是（C）.A秩(A)n BA有一个行向量是其余n-1个行向量的线性组合CA的n个列向量线性相关 DA有两行元素成比例2. 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是（ A ）.A. B. C

8、. D. 3. 设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组（I）线性表示，记向量组（II），则（ B ）.A. 不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示B. 不能由（I）线性表示，但可由（II）线性表示C. 可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示D. 可由（I）线性表示，但不可由（II）线性表示4. 设是一个4维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法唯一，则向量组的秩为（C）.A1 B2 C3D45. 若矩阵经过行初等变换化为，那么向量组的一个极大无关组是 ，其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为 .6. 若线性无关，而线性相关，则向量组的一个最大线性无关组为_.7. 设为三阶矩阵，是的第个列向量，且，则= -12 .8. 设四阶矩阵其中均为四维列向量，且已知行列式则行列式=