2020版高考数学新增分大一轮江苏专用名师精编讲义习题：第八章立体几何微专题三Word版含解析

1、名校名 推荐微专题三立体几何中的实际应用问题例 1 (2018 南通、泰州模拟)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知正六棱柱的底面边长、高都为 4 cm，圆柱的底面积为93 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_ cm.(不计损耗 )答案210解析由题意知，铜质六角螺帽毛坯的体积v 612 42 sin 60 93 4 603(cm3)设正三棱柱的底面边长为a cm，则 1 a2 sin 60 6 603，2解得 a 210，所以正三棱柱的底面边长为210 cm.例 2 如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，

2、在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切将球取出后，容器内的水深是多少？解 铁球取出后，容器内水的体积不变，设球被取出后容器内水深为h， abc 为正三角形， o 为 abc 的中心， ao1 3om 3r ，注水后圆锥的底面半径o1c3 3r，33 球取出后的水深为h，则此时圆锥底面半径为3 h. 球的体积与球被取出后圆锥的体积之和等于注水后圆锥的体积，即4r31 321 323r，333 hh 3 3 3r解得 h 3 15r . 球取出后，容器内的水深为3 15r.1名校名 推荐例 3 现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥p a1b

3、1c1d1，下部的形状是正四棱柱abcd a1b1c1d 1(如图所示 )，并要求正四棱柱的高o1o 是正四棱锥的高 po1 的 4 倍(1)若 ab 6 m， po1 2 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当 po1 为多少时，仓库的容积最大？解 (1) 由 po1 2 知， o1 o 4po1 8.因为 a1b1 ab 6，所以正四棱锥p a1b1c1d 1 的体积v 锥 1a1 b21po1 1 62 2 24(m3)；33正四棱柱abcd a1b1c1d 1 的体积v 柱 ab2o1o 62 8 288(m3)所以仓库的容积v v v 24288 312(m3

4、锥柱)(2)设 a1b1 a m，po1h m，则 0h6， o1o 4h.连结 o1b1.因为在 rt po1b1 中， o1b21 po21 pb21 ，所以2a 2 h2 36，即 a2 2(36 h2)，2于是仓库的容积vv 柱 v 锥 a24h13a2h 133a2h2633 (36h h )，0h6，从而 v 26223 (36 3h ) 26(12 h )令 v 0，得 h 2 3或 h 2 3(舍 )当 0h0， v 是单调增函数；当 2 3h6 时， v 0，h 5 108 r2 0，得 0r6 3， 4r5108r r3所以 v(r) ，其定义域为 r |0r 6 3 45

5、108r r3， 0r 63， 因为 v(r) 42所以 v (r) 5108 3r.4令 v (r) 5108 3r2 0，解得 r 6， 4又 0r 6 3，所以 r 6.当 0r 0，所以 v(r)在 (0,6)上单调递增；当 6r 6 3时， v (r )0，所以 v(r) 在 (6,63)上单调递减3名校名 推荐因此当 r 6 时， v(r)取得最大值，故当 r 为 6 时，该粮仓下部分(圆柱 )的体积最大(2)(2018 南京、盐城模拟)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计 )，一边ab 长为 6 分米，另一边足够长现从中截取矩形abcd (如图甲所示 )，再剪去图中阴影部分，用剩下的

6、部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中 oemf 是以o 为圆心、 eof 120 的扇形，且弧ef ， gh 分别与边 bc， ad 相切于点 m， n.当 be 长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积；当 be 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？解在图甲中，连结mo 交 ef 于点 t.设 oeof om r，在 rt oet 中，1因为 eot eof 60，所以 otr2，则 mt om ot r2.r从而 bemt ，即 r 2be2.故所得柱体的底面积ss 扇形 oef soef121 243r r sin 120 3.23又所得柱体的高eg 4，所以 v s eg163. 43答当 be 长为 1 分米时，折卷成的包装盒的容积为163 立方分米43 设 bex，则 r2x，1 21 242所以所得柱体的底面积s s扇形 3oef s oef3r2r sin 1203x .又所得柱体的高eg 6 2x，4名校名 推荐所以 v s eg8 2 3 ( x3 3x2)，其中 0x3.3令 f(x) x3 3x2， x (0,3)，则由 f (x) 3x2 6x 3x(x 2) 0，解得 x2.当 x