量子力学 第三章3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系

1、3.7 算符的对易关系,两力学量同时有确定值的条件,测不准关系,一、算符的对易关系,1. 坐标算符 和动量算符 的对易关系,将 作用在任意波函数 上，即,而 是任意的,该式称为 和 的对易关系，等式右边不等于0，即 和 不对易,同样可得,以上可总结为基本对易关系,即动量分量和它所对应的坐标分量是不对易的，而和不对应的坐标分量是对易的；动量各分量和坐标各分量是对易的,a. 称为 与 的对易关系，等于0称二算符对易；否则称二算符不对易,b.以上 和 的对易关系是量子力学算符的基本对易关系，由它们可以推出其他的一些算符（有经典对应的）对易关系,说明,2. 角动量算符的对易关系,满足轮换对称性,同理可

2、证,即,b. 利用 可以证明：,3. 算符对易关系的运算法则,证明：等式右边=,等式左边= ，等式成立,说明：利用算符对易关系的运算法则可以大大简化算符对易关系的证明，例如,二、两个力学量同时具有确定值的条件,1.定理,定理1：如果两个算符 和 有一组共同本征函数 ，而且 组成完全系，则算符 和 对易,证明：设有两力学量 和 有一组共同的本征函数 ，即,而 是任意的波函数,所以,即： =0，定理得证,于是,而,则,说明：若 和 有一组共同本征函数 ，并不一定能够得到 =0的结论，除非 组成完全系,例,但,定理2（定理1的逆定理）：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数,证明：

3、设 是 的完全本征函数系，且本征值 非简并,则,即 也是 属于 的本征函数,而 和 对易，则,而 非简并,则 与 最多只能差一常数因子，记为 ，即,这样 也是 的本征函数，本征值为,所以 和 有组成完全系的共同的本征函数,在 简并时， 的本征函数不一定都是 的本征函数，但总可以通过线性迭加证明它们会有共同的本征函数且组成完全系,结论：（总结以上两定理,推广：（两个以上的算符,即：如果一组算符（ ）有共同本征函数，而且这些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余的算符对易。这个定理的逆定理也成立,2. 不同力学量取确定值的条件,若 等可对易，由以上定理知，这些函数有完全的共同的本征函

4、数系 ，按本征函数与本征值的意义可知，当体系处于它们的本征态 时，力学量 有确定值 ， 有确定值 ，（按3.6节讲的基本假设）。于是会存在这样的态，在这些态中， ， 代表的力学量可同时取确定值,例如,动量算符 ， ， 对易，则它们有完全共同的本征函数系 ， = = ，在这些态中，力学量 同时都具有确定值,解释：前面已证： =0,而,所以： ,说明： =0不一定是不同力学量同时具有确定值的条件,实际上两个力学量算符对易与它们所代表的力学量可同时取确定值是两回事,例如： =0，则由定理知它们有完全的共同的本征函数系 ，由上面得的结论：在它们的本征态中， 同时具有确定值 。但在一般的态中，如 = +

5、 ( )， 有确定值，而 无确定值。 是 度简并的， 的本征态不一定都是 的本征态,三、力学量的完全集合,为完全描述一个体系的状态所必须的力学量的集合叫力学量的完全集合。（广义,在经典力学中用 完全描述质点三维运动状态， 实际上为6个量，即： 。一般说来，有 个自由度的体系的态需有2 个力学量来完全描述,例如：自由粒子(自由度为3)的运动状态用 （ ）描述,氢原子中电子的自由度是3，完全描述它需要3个力学量 或三个量子数,说明：一般说来，有 个自由度的体系的力学量完全集合恰含 个相互对易的力学量。力学量的个数比经典中减少一半的原因在于微粒具有波动性。例如知 的分布，即可得到 的分布，,四、测不

6、准关系（又叫不确定关系Uncertainty）(1927年,海森堡（Heseiberg 19011976），德国人，提出微观世界的测不准原理，与波恩共创矩阵力学，获1932年诺贝尔物理学奖,若两算符不对易，则一般它们没有共同的本征态，即不可能同时具有确定值,一个确定（如自由粒子 ），另一个不确定（如 ），形成一种按可能值的统计分布；或二者均无定值，都形成按自己的可能值的一种统计分布（如谐振子原子中的电子的 ）。下面确定两个不对易的力学量的统计分布范围之间的一般关系测不准关系（不确定关系,1.一般数学推导关系,设 是代表两力学量的厄米算符，且它们的对易关系为,其中 是厄米算符或普通的数。再设 为

7、归一化的波函数，则 在 态的平均值分别为,定义偏差算符,其中 ， 都是厄米的,考虑这样一个积分,是实参数，积分区域是变量变化的整个空间,则,而根据代数二次式理论可知，要使不等式,于是(4)可写为,又因为,即,成立，系数必须满足条件,此即为 的测不准关系,即,即,可见：若 ，则 的均方偏差不会同时为0，其乘积要大于一正数,此即为坐标和动量的测不准关系，又叫海森伯测不准关系,同理,若取 ，则： ，代入,例如,若用于角动量之间，则有,于是在 的本征态 中， 的测不准关系为,2. 物理意义,两个不可对易的力学量一般不可能同时具有确定值（极个别的态除外，如在 的态中， 这三个不可对易的力学量均有确定值0

8、,例如 和 ，若在某态中测量， 完全确定，即 ，则 ，即 完全不确定；总之，微观粒子的位置和动量不可能同时具有确定值。故此得出结论，即经典力学中应用的轨道概念对微观粒子是不适用的,事实上，测不准关系不是由测量过程决定的，这个关系的存在源于微粒的波动性。我们把经典力学中沿用的纯属粒子性的力学量，坐标和动量用于有波动性的微粒，不会完全适用。测不准关系揭示了用经典理论描述微观粒子的局限性,说明,当测不准关系给出的 ， 不能忽略时，必须用量子力学,例如氢原子中电子速度是 米/秒,而由于电子坐标的不准确度是原子的线度，即米 ，按测不准关系 可以得到电子速度的不准确度为,即电子速度的不准确度与电子的速度

9、米/秒几乎是同一个量级。因此对原子问题，经典力学已不适用了，必须采用量子力学,例如阴极射线管中电子束，电子的速度是 米/秒,设电子其沿z方向运动，若中途穿过孔径为 米的圆孔，按测不准关系可得出电子穿过狭缝后的横向速度,于是可以认为电子具有确定的轨道，经典力学可用,标志着微观规律性和宏观规律性之间的差异，若 ，即可略（与其有同量纲的量级比较），则坐标和动量以及角动量之间都对易，在其共同的本征态中同时具有确定值，量子力学过渡到经典力学,因此说，测不准关系正确反映了微观世界的规律，是人们对于宏观世界认识的进一步深化,3.应用,应用测不准关系一方面可以定性的说明许多微观现象的量子特征，另一方面也可以定量估算量子效应的强度,解释“在势垒内部粒子动能为负值”的说法不成立（参阅2.8粒子进入“经典禁区”，隧道效应,a.定性说明,因 ， 不对易， 和 也就不对易，因而对微粒来说， 和 不可能同时具有确定值，再像经典力学那样把总能量 严格分为 与 的和已不可能了。它们只是在 态平均的意义上成立，即 ，所以说某点或某一区域粒子的总能量等于动能与势能之和就没有意义了，即“在势垒内部粒子动能为负值”的说法不成立,b.定量估算,于是粒子动能不确定范围,有,所