上海市七宝中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题及答案

1、2018-2019上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题）1.与圆相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是( )A. 2B. 4C. 6D. 以上说法都不对【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，分2种情况讨论，直线过原点，设直线的方程为，直线不过原点，设其方程为，由直线与圆的位置关系分析直线的条数，综合2种情况即可得答案。【详解】解：根据题意，圆的圆心为，半径，分2种情况讨论，直线过原点，设直线的方程为，即，则有，解可得，此时直线的方程为：，直线不过原点，由于直线横截距与纵截距相等，设其方程为，即，则有，解可得，此时直线的方程为，故一共有4条符合条

2、件的直线；故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线在坐标轴上的截距，注意直线过原点的情况，属于基础题。2.直线：与直线：的夹角为( )A. B. C. D. 以上说法都不对【答案】B【解析】【分析】先求出两条直线的倾斜角和斜率，可得两条直线的夹角。【详解】解：直线：的斜率为，倾斜角为，直线：的斜率不存在，倾斜角为，故直线：与直线：的夹角为，故选：B【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角，属于基础题。3.下列说法正确的是（ ）A. 平面中两个定点A，B，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线B. 定圆C上有一定点A和一动点不与A重合，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹

3、是椭圆C. 斜率为定值的动直线与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，则动点P的轨迹是直线D. 以上说法都不对【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义可判断A错误；由P为AB的中点，可得P的轨迹为圆，可判断B错误；由抛物线的方程，可设，运用直线的斜率公式和中点坐标公式，即可判断C正确，进而可得到答案。【详解】解：设A，B是两个定点，k为非零常数，若，则轨迹为两条射线；若，则轨迹不存在，若,则轨迹为双曲线，故A错误；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点若，则P为AB的中点，即恒为直角，则动点P的轨迹为以AC为直径的圆，故B错误；斜率为定值t的动直线与抛物线相交于A，B两点，设，可得P为

4、AB的中点，即有，则动点P的轨迹是直线，故C正确故选：C【点睛】本题考查双曲线的定义，考查动点的轨迹，考查中点坐标公式和直线的斜率公式，以及运算能力和推理能力，属于中档题。4.点A为椭圆C：的右顶点，P为椭圆C上一点(不与A重合)，若(是坐标原点)，则（c为半焦距）的取值范围是（ ）A. B. C. D. 以上说法都不对【答案】B【解析】【分析】设，由，可知点在以为直径的圆上，可得到，或，可得到，求解即可。【详解】解：设，（是坐标原点），则点在以为直径的圆上，或，故，即，则的取值范围是故选：B【点睛】本题考查椭圆离心率的取值范围的求法，考查椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考

5、查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题。二、填空题（本大题共12小题）5.抛物线的准线方程为_【答案】【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程6.直线的倾斜角范围是_【答案】【解析】【分析】根据直线倾斜角的定义即可得到答案。【详解】解：直线的倾斜角的范围是，故答案为：【点睛】本题考查了直线的倾斜角的范围，考查基础知识的掌握，属于基础题。7.直线：，直线：，若，则_【答案】【解析】【分析】利用直线与直线垂直的性质求解即可。【详解】解：直线：，直线：，解得故答案为：【点睛】本题考查直线与直线垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题。8.直线被圆所截得的弦长等于_【答案

6、】2【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离既得弦心距，求出圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，即可求得弦长.【详解】将圆x2+y22x4y4=0化为标准方程（x1）2+（y2）2=9，得圆心坐标为（1，2），半径为3，圆心到直线xy+5=0的距离是=2，有勾股定理得弦长的一半是=1，所以弦长为2.故答案为：2【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，解题的关键是了解直线与圆相交的性质，半径，弦心距，弦长的一半构成一个直角三角形，掌握点到直线的公式，会用它求点直线的距离9.是双曲线上的一点，为焦点，若，则_【答案】13【解析】【分析】由双曲线的标准方程分析可得a、c的值，结合双曲线的定义可得，计算可

7、得的值。【详解】解：双曲线，其中，又由是双曲线上一点，则有，又由，解得或，因为，所以只有满足题意。故答案为：13【点睛】本题考查双曲线的定义，注意由双曲线的标准方程求出a的值，属于基础题。10.过点且与原点距离为2的直线方程是_【答案】或【解析】【分析】分直线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，利用点到直线的距离公式即可得到答案。【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线时满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，化为，解得直线的方程为：，化为综上可得：直线的方程为：；故答案为：或【点睛】本题考查了直线的斜率，直线的方程，点到直线的距离公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础

8、题。11.已知p：曲线C上的点的坐标都是方程的解，q：曲线C是方程的曲线，则p成立是q成立的_条件【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可。【详解】解：若曲线C是方程的曲线，则曲线C上的点的坐标都是方程的解，即必要性成立，若曲线C上的点的坐标都是方程的解，则曲线不一定是方程的曲线，即充分性不成立，比如：曲线上的点的坐标都满足方程，而方程对应的曲线为直线，则p成立是q成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件。【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合曲线的方程和方程的曲线的关系是解决本题的关键，属于基础题。12.已知是椭圆上的一点，为焦点，若，则椭

9、圆的焦距与长轴的比值为_【答案】【解析】【分析】设，由，可得，结合和勾股定理，可得到的关系，从而可得到答案。【详解】解：设，则，可得，则椭圆的焦距与长轴的比值为故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的性质，向量垂直的性质，勾股定理的应用，转化思想，属于基础题。13.直线与双曲线有且仅有一个公共点，则_【答案】或【解析】【分析】联立直线与双曲线方程，化为，分类讨论：当时，此时直线双曲线的渐近线，满足题意；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解出即可。【详解】解：联立，可得当时，可得，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有且只有一个交点，满足题意；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，

10、可得，解得，满足条件综上可得：，故答案为：，【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程的解与判别式的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题和易错题14.若x，y满足约束条件，则的取值范围是_【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再结合目标函数中z的几何意义，从而可以确定出目标函数在哪个点处取得最小值，之后由于可行域是开放区域，向上动的过程中，目标函数在逐渐的增大，能到正无穷，从而求得最后的结果.详解：根据题中所给的约束条件，画出对应的可行域，其为直线的上方，直线的上方，y轴的右侧的开放区域，且直线与直线交于点A，由得，由的几何意义可知该

11、目标函数在点A处取得最小值，往上平移可到，由解得，所以的取值范围是.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，正确画出可行域是非常关键的，并且是一个开放的区域，这就决定了其没有最大值，并且会到正无穷，一定要分析清楚在哪个点处取得最小值，要明确对应的点是哪两条直线的交点，从而求得结果.15.已知曲线的参数方程为（为参数），则以下曲线的说法中：关于原点对称；在直线下方；关于轴对称；是封闭图形，正确的有_【答案】【解析】【分析】由曲线的参数方程推导出，且，对选项逐个分析即可得到答案。【详解】 解：曲线的参数方程为(t为参数)，则，且，即，则，即，假设点在图形上，则，若曲线的图形关于原点对

12、称，则点也在图形上，即，且，解得，显然不符合题意，故错误；若曲线的图形关于轴对称，则点也在图形上，即，显然成立，故正确；由于，故正确；因为，所以不可能为封闭图形。故答案为【点睛】本题考查命题真假的判断，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题。16.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线的右支分别交于A，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线l的斜率为_【答案】【解析】【分析】充分利用平面几何图形的性质解题，由同一点出发的切线长相等，可得，再结合双曲线的定义得，从而可求得的内心的横坐标，即有轴，在，中，运用解直角三角形知识，及正切函数的

13、定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率。【详解】解：记的内切圆圆心为C，边、上的切点分别为M、N、E，易见C、E横坐标相等，则，由，即，得，即，记C的横坐标为，则，于是，得，同样内心D的横坐标也为a，则有轴，设直线的倾斜角为，则，在中，在中，由，可得，解得，则直线的斜率为，由对称性可得直线l的斜率为故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题。三、解答题（本大题共5小题）17.已知两点，（1）求直线AB的方程；（2）若A，B到直线l的距离都是2，求直线l的方程【答案】(1) (2)，或，或，或【解析】【分析

14、】利用两点式方程能求出直线AB的方程；由两点，A，B到直线l的距离都是2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为；当直线l的斜率k存在时，设直线l为，由A，B的到直线l的距离都是2，能求出直线l的方程。【详解】解：两点，直线AB的方程为：，整理，得两点，B到直线l的距离都是2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，成立；当直线l的斜率k存在时，设直线l为，即，B的到直线l的距离都是2，解得，或，或，直线l的方程为或或，整理，得：，或，或综上，直线l的方程为，或，或，或【点睛】本题考查直线方程的求法，考查直线的两点式方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18.双曲线M：

15、过点，且它的渐近线方程是（1）求双曲线M的方程；（2）设椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，且椭圆N中斜率为的弦的中点轨迹恰好是M的一条渐近线截在椭圆N内的部分，试求椭圆N的方程【答案】(1) (2)【解析】【分析】根据双曲线的简单性质即可求出方程；设椭圆N中斜率为的弦所在直线方程为，两端点分别为，AB的中点为，根据韦达定理求出点P的坐标，再将点P的坐标代入双曲线M渐近线上，即可求出，问题得以解决。【详解】解：双曲线M：过点，且它的渐近线方程是，解得，双曲线M的方程为，椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，则设椭圆的方程为：，设椭圆N中斜率为的弦所在直线方程为，两端点分别为，

16、AB的中点为，联立方程组，消y可得，则，点P在双曲线M渐近线上，解得，椭圆N的方程为【点睛】本题考查了双曲线和椭圆的方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题。19.已知椭圆的两个焦点为，且椭圆过点（1）求椭圆的方程（2）已知斜率为的直线过，与椭圆分别交于P，Q；直线过，与直线垂直，与椭圆分别交于M，N，求四边形PMQN面积的函数解析式【答案】(1) (2)，【解析】【分析】设椭圆的方程为，由题意可得，解得即可；设直线的方程为，则直线的方程为，设，根据弦长公式，分别求出，即可表示四边形的面积【详解】解：设椭圆的方程为，由题意可得，解得，.方程为：.设直线的方

17、程为，则直线的方程为设，联立方程，化简得则， ，同理，得，【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用。20.设直线l：与抛物线相交于不同的两点A，B，M为线段AB中点，（1）若，且，求线段AB的长；（2）若直线l与圆C：相切于点M，求直线l的方程；（3）若直线l与圆C：相切于点M，写出符合条件的直线l的条数直接写出结论即可【答案】(1)8(2)或(3)见解析【解析】【分析】将直线l的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出线段AB的中点的纵坐标，从而求出k的值，再利用弦长公式结合韦达定理可求出线段AB的长度；对k是否为零进行分类讨论

18、，当时，得出点A、B关于x轴对称，得知，点M为圆与x轴的交点，求出b的值，可得出直线l的方程；当时，将直线l的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出点M的坐标，然后利用，转化为这两条直线的斜率之积为-1，以及点M在圆上，求出k和b的值，但同时还需满足结合这两种情况求出直线l的方程结合图形充分利用对称性可写出相应的结论【详解】解：当时，直线l的方程为，设点、，将直线l的方程与抛物线的方程联立得，消去x得，由韦达定理可得，由于点是线段AB的中点，则，则，所以，由弦长公式可得；设点、，将直线l的方程与抛物线的方程联立，消去x得，由韦达定理可得，设点M的坐标为，则，所以，点M的坐标为，若，则直线l的方程为，则点A、B关于x轴对称，而圆与x轴的交点为和，点M的坐标为，则或，此时，直线l的方程为或，符合题意。若，由可知，即，则有，所以，另一方面，点M在圆上，则有，所以，则，此时，不合乎题意，综上所述，直线l的方程为或；当或时，2条；当时，4条【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在抛物线综合问题中的应用，同时也考查了对称性思想的应用，属于难题。21.在平面直坐标系xOy中有曲线：（1）如图1，点B为曲线上的动点，点，求线段AB的中点的轨迹方程；（2）