《经济数学》-第三章中值定理及导数的应用

1、结束,第3章 中值定理、导数应用,定理1 设函数 满足下列条件,(3),(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导;,则在内至少存在一点 ，,3.1.1 罗尔定理,a,b,使得,则在区间 内至少存在,(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导；,定理2 设函数 满足下列条件,一点 ，,使得,3.1.2 拉格朗日中值定理,例： 设,在,处连续，,，且,，则,= 2,2.在开区间 内可导，,1.在闭区间 上连续；,定理3 Cauchy中值定理,则在区间 内定有点,使得,3.1.3 柯西中值定理,设函数 与 满足如下条件：,如果在某极限过程下,函数f ( x)与g(x)同时趋于零

2、或者同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。 一般分为三种类型讨论：,3.2 洛必达法则,定理1 设函数与在的某空心邻域内有定义，且满足如下条件：,1 型未定式,解,例2 求,解,例3 求,解,此定理的结论对于 时 型未定式同样适用。,例4 求,解,2型不定式,的某空心邻域内有定义，且满足如下条件,则,3其它型不定式,未定式除,和,型外，还有,型、,型、,等五种类型。,型、,型、,型、,型或者 型,型：,变为,例8 求,解,型:,通分相减变为 型,例9 求,（ 型）,解,3.3 函数的单调性与极值,定理1 设函数f (x)在闭区间a,b上连续，在开区,

3、间(a,b)内可导，则：,1.若在(a,b)内 ,则f (x)在区间(a,b)内单调增加,2.若在(a,b)内 ,则f (x)在区间(a,b)内单调减少。,a,b,a,b,3.3.1 函数的单调性及判别法,例2 确定函数 的单调区间.,可导， 且等号只在 x=0 成立.,解 因为所给函数在区间 上连续，在 内,例1 判定函数 在区间 上的单调性.,解,所以当 x = -1, x = 1 时,反之，如果对此邻域内任一点 ，恒有 则称 为函数 的一个极小值， 称为极小值点。,3.3.2 函数的极值,定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点 ，恒有 ，则称 是函数 的一个极大值， 称

4、为函数 的一个极大值点；,函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。,A,B,C,D,E,极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。,从图中可看出,极小值不一定小于极大值，如图中D点是极小值，A点是极大值。,定理3（极值第一判别法）：,设函数 在点 的某邻域内连续，且在此邻域内 （ 可除外）可导,（1）如果当 时 ，而当 时， 则 在 取得极大值。,（,）,如图所示：,在 ，,在 ，,在 取得极大值。,（2）如果当 时 ，而当 时， 则 在 取得极小值。,（,）,如图所示：,在 ，,

5、在 ，,在 取得极小值。,（3）如果在 两侧 的符号不变，则 不是 的极值点，如图示,(4)利用定理3,判断(2)中的点是否为极值点,如果是,求极值点的步骤：,(1)求函数的定义域(有时是给定的区间);,(3)用(2)中的点将定义域(或区间)分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点.,(2)求出 ,求出使 的点及 不存在的点;,讨论在每个区间 的符号;,(5)求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值.,例4 求函数 的单调区间和极值.,解 函数的定义域为,这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下,极大值,极小值,3.3.3 函数的最大值与最小值,是函数在所考察的区间上全部函数值中最

6、大者和最小者,最小的就是函数在区间,上的最小值。,连续函数在区间,上的最大值与最小值可通过比较,端点处的函数值 和 ;,1.区间,如下几类点的函数值得到：,3.4 导数在经济中的应用,3.4.1 函数的变化率边际函数,边际函数值。其含义为:当 时,x改变一个单位，相,相应地 y 约改变 个单位,当 时,实际上，,解 ,所以,边际成本是总成本的变化率。 设C为总成本，,下面介绍几个常见的边际函数:,1边际成本,为固定成本，,则有,为可变成本，,为平均成本，,为边际成本，,为产量，,总成本函数,平均成本函数,边际成本函数,时的总成本，平均成本及边际成本。,解 由,令 得,边际成本,于是当 时,总成

7、本,平均成本,Q 为多少时，平均成本最小?,例3 在例1中，当产量,解,所以,当Q = 20时平均成本最小。,2收益,平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。 设P为商品价格，Q 为商品量，R 为总收益， 为平均收益， 为边际收益，则有,需求函数,总收益函数,平均收益函数,边际收益函数,需求与收益有如下关系: 总收益,平均收益,边际收益,总收益与平均收益及边际收益的关系为,求销售量为30时的总收益，平均收益与边际收益。,例4 设某产品的价格和销售量的关系为,解 总收益,平均收益,边际收益,3利润,在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量,的函数，分别记为,和,，则总利润,可表,示为,最大利润