向量解题技巧

1、D.垂心一、怎么样求解向量的有关概念问题掌握并理解向量的基本概念1.判断下列各命题是否正确若a =b,b =c,贝Va =c；两向量a、b相等的充要条件是 a = b且a b共线； _ (3) a = b是向量a =b的必要不充分条件；(1)若A、B、C、D是不共线的四点，贝V AB二DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；AB二CD的充要条件是A与C重合，B与D重合。二、向量运算及数乘运算的求解方法两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a与b 不共线，则a b

2、与a b是以a与b为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若A(x-i, y-i), B(x2, y2),则 AB =0B -OA =化，y2)-(x-yj =化-x-, y2 - y-)。例-若向量a=(3,2),b=(0,1),则2ba的坐标是 例 2 若向量 a=(1,1),b =(1,1), c = (1,2)则c =1 3133131A.a+ b B.ab C. ab D. a+b2 2222222例3 在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点A(3,1), B(-1,3),若点C满足OC hOA -：0B，其中:J

3、 R且二(2 -1，则点C的轨迹为()A.3x 2y11=0 B.(x1)2 (y-2)2 =0C.2x-y=0 D.x 2y-5=0例4 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足AB ACOP=OA+h(+)，扎0,畑)，则P的轨迹一定过 MBC的()A.外心B.内心C.重心例5设G是ABC内的一点，试证明：(1)若G是为=ABC重心，则GA GB BC =0 ； 若GA GB BC =0，贝U G是为“ABC重心。三、三点共线问题的证法证明A,B,C三点共线，由共线定理(AB与AC共线)，只需证明存在实数 九，使AB = &AC ,其 中必须有公共点。共线的坐标表示的

4、充要条件，若a = (xyj,b = (x2, y2)，贝Ua/b ：= a = b 二 xiyX2yO(xiy X2yi)例1已知A B两点，P为一动点，且 OP =OA tAB，其中t为一变量。证明：1.P必在直线AB上；2.t取何值时，P为A点、B点？例2证明：始点在同一点的向量 a、b、3a2b的终点在同一直线上例3 对于非零向量 a、b,求证：abEa+b兰司+怡四、求解平行问题两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关, 只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。例 1 已知 M (1,0), N(0,1), P(2,1

5、),Q(1,y)且 MN/PQ，求 y 的值。例2已知点A(1,2)，若向量AB与5 = (2,3)同向，AB =2J13,则B点的坐标是_例3平面内给定三向量 a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1)，则：(1) 求 3a b-2c;(2) 求满足 a 二 mb nc的实数 m、n(3) 若(a kb)/(2b - a),求实数 k; 设d =(x, y)满足(d c)/( a +b)且 d c =1,求d.例4 (1)已知点A(4,0), B(4,4),C(2,6)，求AC与DB的交点，P的坐标。 若平行四边形 ABCD的顶点A(-1,-2), B(3,-1),C(5,6),

6、求顶点D的坐标a *b cos。五、向量的数量积的求法七Mr曰血定义法：a *b求数量积：*.I坐标法： a *b =皿2当a/ b时，日=0和 =180。两种可能。故ab = a*b一些重要的结论：2 2 2a2=a.a=a ； （a士b）2=a22ab+b2；（a+b）（a_b）= a_b例1设a,b,c是任意的非零的向量，且相互不共线，则()(a b)C (C*a)b =0; a - b c a_b;(b c)a (a c) b不与c垂直(3a +2b)(3a -2b) =9a? -4b其中是真命题的为()ABC D例2 已知平面上三点 A、B、C,满足AB =3, BC =4, CA

7、= 5,则ABBC + BC .CA + CA.AB的 值等于。例3已知向量a和b的夹角为120，且a=2,b=5,则(2a_b).a=.六、如何求向量的长度形如的模长求法：先平方T转化为含数量积运算 T开方，即：?a2a *2b2例i已知向量a,b,a = b =4,a与b的夹角为60：则a+b =, a+b =,其中a+b与a方向的夹角为 , a-b与a方向夹角为 例 2 设向量 a,b满足 a = b =1, 3a 2b =3,求 3a+b七、如何求两向量的夹角夹角公式:a bX|X2y”2已知a =10, b =12,且（3a）（如 =一36,求a,b的夹角例2若片与e2是夹角为60的

8、单位向量，且2e1 e2, -3e1 2e2,求a *b及a与b的夹角。八、垂直问题的求解向量垂直的充要条件：a _b= a叱=0= x1x2 y1 y 0例1若向量a,b满足a +b = a -b，则a与b所成的角例2在 ABC中AB =(2,3), AC =(1,k),且 ABC的一个内角为直角，求 k的值。例3已知才丄b,同=2, b =3.且。3W + 2b与hW_b垂直，求Z例 4 已知 0(0,0), A(0,5), B(6,3), AD _ OB于点 D,求D点的坐标。九、向量的数量积的逆向应用求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。例 1 已知 a =(4

9、,-3), b = 1,且a *b =5,贝V b =?例2求与向量a=(.、3,-1)和b=(1,、.3)的夹角相等，且模长为.2的向量c的坐标例3若平面向量b与向量弓=(1,2)的夹角是180:且b =3j5,则b=()A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)例4已知向量b与向量a=：(_3,4)垂直，且b =15,则b -十、线段定比分点公式的运用技巧求解定比分点问题，要注意结合图形，分清是内分点是外分点，不能混淆起点和终点,定比分点坐标公式:重心坐标公式:论+扎x2X| +x2x -1中”中点坐标公式：2、，y -1 +几l2X1 +X2 +X33力 + y2

10、+ yx 二y 二x =P分P2P所成的比为“3T3例1设点P分有向线段RP2所成的比为一，则4例2已知两点P(4,-9),Q(-2,3),则PQ与y轴的交点分有向线段 PQ所成的比为 .卜一、利用平移公式解题点A(x, y)按向量a =(h, k)平移，得到点(x h,y k),而函数y = f (x)的图像按 向量a二(h, k)平移得到的函数的解析 式为y二f (x - h) k，解题时要注意理解图像平移前后的关系。例 1 已知两个点 P(1,2), P(-2,14),向量 a =(-3,12),则：(1)把P按向量a平移得.某点按a ,得到P，求这个点坐标。(3)P按某向量平移得到 P

11、,求这个向量坐标。例2将函数y =log3(2x 1) -4的图像按向量a平移后得到的是函数 y = log3(2x)的图像，那么 a的坐标是.例3将函数y =2sin 2x的图像按向量a平移，得y =2sin（2x） 1的图像，则向量a的坐标3是（）TT人中）b.(-6,i)C(討)D$,1)、怎样利用正、余弦定理求三角形的边与角主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角变换，诱导公式。正弦定理：abc2R ； a=2Rs in A , b=2Rs inB , c = 2Rs inC sin A sinB sinC三角形面积公式：111S ABCabs inCbcsi nAacsi nB。A 2

12、2 22 2 2余弦定理：a2 =b2 c2 -2bccosA; cosA 二一 c2bcF面关系式需熟记：在ABC中sin (A B) =si nC cos(A B)二-cosCA B CA Bsin( ) =cos cos( ) = s inC 2 2 2例 1 在二 ABC 中，si n A:si n B : si nC =2:3:4,则ABC例2已知占ABC中的最大角A是最小角C的二倍，且a、b、c成等差数列，则a:b:c =例3已知a、b、c是 ABC中.A,. B,. C的对边，a、b、c成等差数列，.B = 30， ABC的3面积为3，那么b=。2JI例 4 在 RtAABC 中，c,求 A- B的值。2 2十三、如何判定三角形的形状原则上是将角化成边或将边化成角，主要工具是正余弦定理和三角恒等变形及代数变形。注意：做等式变形过程中因式不可直接约分！例1在 ABC中，若2cosB *sin A二sinC,则 ABC的形状一定是（）A等腰直角三角形 B直