双曲线及其标准方程教案

1、双曲线及其标准方程（第一课时）教学目标：1掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；2能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标 准方程；3能解决较简单的求双曲线标准方程的问题；4 培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。教学重点：双曲线的定义和标准方程。教学难点：双曲线标准方程的推导过程。教学过程：一、创设情景，弓I入新课：师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点Fi（ 1,0）和F2（1,0），定圆Ci的圆心为Fi , 且半径为r，动圆C2过定点F2，且与定圆相切。（1 ）若r 4，试求动圆圆心的轨迹；（2）若r 1,试求动圆圆心的轨迹。（教师结

2、合几何画板演示分析）：师：当r 4时，我们得到的轨迹是什么生：是椭圆。是：为什么生：因为当r 4时动圆C2内切于定圆Ci，所以两个圆的圆心距 MFi满足MFi 4 MF2，移项后可以得到：MFi| MF? 4满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以Fi、F2为定点，4为定长的椭圆。师：很好。那么，当r I呢，此时动圆C2与定圆Ci相切有几种情况生：有两种情况：内切和外切。师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距MFi满足MFi i MF2，移项后可以得到：MFi| |MF2 I。（教师演示轨迹）师：我们再来考察两圆内

3、切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距MFi满足MFi| |MF2 I，移项后可以得到：MFi| |MF2I。（教师演示轨迹）师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足|MFi| IMF2II即|MFi MF2II I，圆心的轨迹我们称之为双曲线。二、新课讲解：1、定义给出师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义生：双曲线是到平面上两个定点Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。师：由椭圆的定义，一般情

4、况下，我们设该常数为2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支生：当MF/ |MF2 2a时，表示的是双曲线的右支，当MFMF?2a时，表示的是双曲线的左支。2、定义探究（教师引导学生分情况讨论）：师：这个常数2a有没有限制条件生：有。这个常数 2a要比焦距Fi F2小。师：很好。为什么要有这个限制条件呢其他情况会是怎样的呢我们一起来分析一下：（1） 若a=0,则有MFi| |MF2 0即MFi| MF?，此时轨迹为线段 F1F2的中垂线；（2）若2a=F1F2,则有MFi|MF2|FiF2，此时轨迹为直线FiF?上除去线段FiF?中间部分，以Fi、F2为端点的两

5、条射线；（3）若2a FiF2 ,则根据三角形的性质，轨迹不存在。3、双曲线标准方程的推导过程：师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动，共同推导之）第一步：建立直角坐标系；第二步：设点：设 M（x，y）,2a；第三步：启发学生根据定义写出焦点分别为Fi（ c,0）和F2（c,0），M到焦点的距离差的绝对值等于P M MFi第四步：建立方程:第五步：化简，得到MF2m点的轨迹构成的点集:2a ；(Xa22c）2y_b2i(a.(x c)2 y2 2a ；0,b0)教师强调：我们得到了焦点在2 2务与 i（a 0,b 0），这里c a2 b2师：那么

6、如果焦点在 y轴上呢（学生练习）2生（练习后）：此时的标准方程应该是 每a2x轴上，且焦点是Fi（ c,0）和F2（c,0）的双曲线标准方程为a2b2i(a 0,b0)。4 双曲线标准方程的探讨：师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下，双曲线标准方程中字母a、b、c的关系如何是不是a b生：a、b、c满足等式c2 a2 b2，所以有a2 c2 b2，可以得到a,b c ,但不能判断a b。师：很好。我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。那么如何根 据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢i，我们发现焦点所在轴相x2 y2y2 x2生：由于焦点在 x轴和y轴上标准

7、方程分别为 2 i和22abab关的未知数的分母总是 a,所以可以由a来判定。2 2师：很好。如果我们知道的方程是i，那么你如何寻找 a32生：因为a所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。2 2师：如果方程是-y i呢32生：先化成标准方程。师：请同学总结一下。生：化标准，找正号。5.运用新知：2 2【练习】已知方程 i表示双曲线，则 m的取值范围是 ，此时9 m i双曲线的焦点坐标是 ，焦距是；【变式】若将9改成2 m，则m的取值范围是 。【例i】已知双曲线两个焦点的坐标为Fi（ 5,0）、F2 （5,0），双曲线上一点 P到Fi、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线

8、的标准方程。解：因为双曲线的焦点再 x轴上，所以设它的标准方程为22x y2 牙 1(a0,b0)，a bc=5。因为 2a=6, 2c=10，所以 a=3, 所以 b2523216，所以所求双曲线的标准方程为2 y16【变式】已知两个定点的坐标为F1 ( 5,0)、等于6，求P点的轨迹方程。解：因为PF1y22x9F2(5,0)，动点P到F1、F2的距离的差PF26，所以P的轨迹是双曲线 的右支，设双 曲线标准方程为2X2 a因为所以br 1(a 0,b b22a=6， 2c=10，252320)，所以 a=3， c=5。16，2 y16x2所以所求P点的轨迹方程为9【例2】已知双曲线的焦点

9、在 y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为-9(3, 4展)、(,5)，求双曲线的标准方程。4解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为2 2 22 1(a 0,b 0)，a2 b2因为点R、(4.2)21(x 3)。25a2P2在双曲线上，所以点M 1 b29 2可解得：4产12 ab2Pi、P2的坐标适合方程，代入得:16。2 y162x 彳1。9【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点所以所求双曲线得标准方程为:Pi、P2的坐标分别为(3, 4.2)(-,5)，求双曲线的标准方程。(分情况讨论)4【练习】(1) ABC 边两个端点是 B(0,6)和C(0, 6)，顶点A满足 AB AC 8，求A的轨迹方程。-，求顶9(2) ABC 一边的两个端点是 B(0,6)和C(0, 6)，另两边所在直线的斜率之积是 点A的轨迹。三、本课小结：师：我们总结一下本节课我们学了什