初等数论试卷和答案

1、.初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果，则( ).A B C D 2、如果，则15（ ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定3、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定4、如果,是任意整数,则A B C T D 5、如果( ),则不定方程有解.A B C D 6、整数5874192能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.2、同余式有解的充分必要条件是( ).3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一

2、个整数,则被整除或者( ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果是两个正整数,则存在( )整数,使,.三、计算题(每题8分，共32分)1、求136,221,391=?2、求解不定方程.3、解同余式.4、求,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数,数是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的

3、）.2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素 ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果是两个正整数,则存在( 唯一 )整数,使,.三、计算题(每题8分，共32分)1、 求136,221,391=?（8分）解 136,221,391=136,221,391 =1768,391 -(4分) = =104391=40664. -（4分） 2、求解不定方程.（8分） 解：因为（9，21）=3，所以有解； -（2分） 化简得； -（1分）考虑，有， -（2分）所以原方程的特解

4、为， -（1分）因此，所求的解是。 -（2分）3、解同余式. （8分）解 因为(12,45)=35,所以同余式有解,而且解的个数为3. -（1分）又同余式等价于,即. -（1分）我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),-（2分）即定理4.1中的. -（1分）因此同余式的3个解为, -（1分）, -（1分）.-（1分）4、求,其中563是素数. （8分）解 把看成Jacobi符号,我们有-（3分）-（2分）,-（2分）即429是563的平方剩余. -（1分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数,数是整数. (10分) 证明 因为

5、=, -（3分）而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -（2分）并且(2,3)=1, -（1分）所以从和有,-（3分）即是整数. -（1分）2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分） 证明 因为, -（3分）所以只需证明T.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,1,2代入分别得值1，7，1，19，7.对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 所以T -（7分）所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 -（1分）3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. （11分） 证明 设是正数,并且, -（3分

6、）如果, -（1分）则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余, 所以只能与0,1同余, 所以, -（4分）而这与的假设不符, -（2分）即定理的结论成立. -（1分）初等数论考试试卷二一、单项选择题 1、（ ）.A B C D 02、如果，则=（ ）.A B C D 3、小于30的素数的个数（ ）.A 10 B 9 C 8 D 74、如果,是任意整数,则A B C T D 5、不定方程（ ）.A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或97、如果，则( ).A B C D 8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数

7、B 倍数 C 相等 D不确定9、大于20且小于40的素数有（ ）.A 4个 B 5个 C 2个 D 3个10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定方程没有解.A 12，15不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除12，1512、同余式（ ）.A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解二、填空题 1、有理数，能写成循环小数的条件是（ ）.2、同余式有解，而且解的个数为( ).3、不大于545而为

8、13的倍数的正整数的个数为( ).4、设是一正整数，Euler函数表示所有( )，而且与（ ）的正整数的个数.5、设整数，则（ ）=.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.7、（ ）.8、同余式有解,而且解的个数( ).9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果,则=( ).11、的最小公倍数是它们公倍数的( ).12、如果,那么=( ).三、计算题 1、求24871与3468的最小公倍数? 2、求解不定方程.（8分）3、求,其中563是素数. （8分）4、解同余式.（8分）5、求525,231=?6、求解不定方程.7、判断同余式是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题 1、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数.（11分）2、证明当是奇数时