SeDuMi详细教程

1、SeDuMi User Guide线性规划（LP问题：Linear Programming）将需要解决的问题表述成原始问题：或者对偶问题：例子：为了解决该LP问题，我们必须添加一些松弛变量，比如x3和x4，我们即可在MATLAB 中输入b和c向量以及A矩阵:现在我们就可以通过sedumi指令来求解这个问题 sedumi(A,b,c)eqs m = 2, order n = 5, dim = 5, blocks = 1 nnz(A) = 6 + 0, nnz(ADA) = 4, nnz(L) = 3it :b*ygapdelta rate t/tP* t/tD* feas cg cg prec0

2、 : 6.02E+000 0.0001 : -1.20E+000 1.84E+000 0.000 0.3055 0.9000 0.9000 1.86 1 12.1E+0002 : -6.94E-002 5.15E-001 0.000 0.2803 0.9000 0.9000 2.14 1 1 8.6E-0013 : -1.21E-001 2.72E-002 0.000 0.0528 0.9900 0.9900 1.16 1 1 4.2E-0024 : -1.25E-001 8.69E-006 0.000 0.0003 0.9999 0.9999 1.02 1 1iter seconds dig

3、itsc*xb*y40.3Inf-1.2500000000e-001 -1.2500000000e-001|Ax-b| = 0.0e+000, Ay-c_+ = 1.7E-016, |x|= 2.9e+000, |y|= 2.8e-001Detailed timing (sec)PreIPMPost1.404E-001 2.964E-001 4.680E-002 Max-norms: |b|=5, |c| = 1, Cholesky |add|=0, |skip| = 0, |L.L| = 1. ans =(1,1)1.9583(2,1)2.0833表明最优值为-1.2500000000e-0

4、01=-0.125，对应c*x以下的值，同时返回最优解：x1=1.9583,x2=2.0833,发现x确实有解，因为其每一个元素都是非负的，而且Ax=b，可以用命令min(x)和norm(Ax-b)来检验。当然，也会出现一些舍入误差，如下： norm(A*x-b) ans =1.7764e-015 norm(A*(24*x)-24*b)ans = 0二次型和半定限制（Quadratic and semi definite constraint）在sedumi中，有可能强制加入二次型或者半定限制条件，即通过限制变量进入一个二次型和核或者半正定矩阵的核，这样一个限制条件代替了线性规划中的非负性条件

5、，需要x属于K，一个对称核中，它是一个非负象限,二次型核和半正定矩阵核的笛卡儿积。最优化问题的标准形式为：对偶形式为：二次型核二次型核由以下形式来确定：考虑以下问题：其中P为给定矩阵，q为给定向量，以上是鲁棒最小均方问题。其中决策变量为标量y1和y2，还有向量y3.这个问题有两个二次型限制：给定P和q，以下MATLAB函数（rls.m）将该问题表述成标准对偶问题。A矩阵被表述为转置方向，即表述为At。Rls.m% At,b,c,KI = rls(P,q)% Creates dual standard form for robust least squares problem Pu=q.func

6、tion At ,b,c,K= rls(P,q) m, n = size(P) ;% - - - - - - - - - - minimize y-1 + y-2 -b = -sparse(1; 1; zeros(n,1);% - (y_1, q - p y_3) in Qcone -At = sparse (-1, zeros(1,1+n); .zeros(m, 2), P); c = 0;q ;K.q=1+m;%- (y_2, (1, y_3) in Qcone -At = At; 0, -1, zeros(1,n); .zeros(1,2+n); .zeros(n,2),-eye(n);

7、c = sparse(c;0;1;zeros(n,1);K.q= K.q, 2+n;我们可以注意到以上的方程中运用的是系数数据存储形式，为的是节省内存。此外，还定义了一个结构体K，其中K.q列出了二次型核的维数。K结构体将被运用于告知SeDuMi：c-ATy的元素并不被限制为非负当他们都被用于线性规划中。反而言之，第一个行K.q(1)被限制在一个二次型核中，最后一行K.q(2)被限制在另外一个二次型核中，这就是我们在之前建立对称核的方法，而且建立了两个二次型限制。作为数值仿真的例子，我们来来解决一个鲁棒最小平方值的问题，其依靠P中的列 P = 3 1 4; 0 1 1;-2 5 3; 1 4

8、5; q = 0; 2; 1; 3; At,b,c,K = rls(P,q); x,y,info = sedumi(At,b,c,K);运行后出现的结果是SeDuMi 1.1R3 by AdvOL, 2006 and Jos F. Sturm, 1998-2003.Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta =0.500eqs m = 5, order n = 5, dim = 11, blocks = 3 nnz(A) = 16 + 0, nnz(ADA) = 23, nnz(L) = 1

9、4it :b*ygapdelta ratet/tP* t/tD*feas cg cg prec0 :4.00E+000 0.0001 : -3.10E+000 3.01E-001 0.000 0.0751 0.9900 0.99001.55 1 1 3.4E-0012 : -3.33E+000 6.02E-003 0.000 0.0200 0.9900 0.99001.03 1 1 6.2E-0033 : -3.33E+000 1.31E-005 0.000 0.0022 0.9990 0.99901.00 1 1 1.3E-0054 : -3.33E+000 1.26E-006 0.367

10、0.0958 0.9900 0.99001.00 1 1 1.3E-0065 : -3.33E+000 3.81E-008 0.000 0.0303 0.9900 0.99001.00 1 1 3.8E-0086 : -3.33E+000 2.24E-009 0.425 0.0587 0.9902 0.99001.00 1 1 2.3E-009iter seconds digitsc*xb*y6 0.0 9.4 -3.3329085951e+000 -3.3329085963e+000|Ax-b| = 9.5e-010, Ay-c_+ = 2.1E-009, |x|= 2.0e+000, |y

11、|= 2.5e+000Detailed timing (sec)PreIPMPost3.120E-0023.120E-0020.000E+000Max-norms: |b|=1, |c| = 3,Cholesky |add|=0, |skip| = 0, |L.L| = 1.在以上这些SeDuMi的语句中，我们发现了一个新的输入量viz.K，这个量使得SeDuMi能够解决一个（5）和（6）形式的最优化问题，其中对称核K被描述为结构体K。没有K的话，SeDuMi只能解决（1）和（2）的问题。我们可以通过验证（7）中的不等式来确定结果y是否能够满足条件（9）。然而，SeDuMi提供了一种更简单的方

12、法eigK，这个函数返回相对应于对称核的矩阵的特征值。一个对称形核包括哪些仅有非负特征值的向量，其中参见Faraut and Koranyi9。如下，我们能因此检验可行性和最优性： eigK(x, K), eigK(c-At*y, K) ans =0.0000 -0.00001.4142 3.23070.0000 -0.00001.4142 1.4827 x*(c-At*y)ans =3.4744e-009对于对称核K来说，总是有xTz=0，对所有属于K的z和x成立，因此，x提供里一种在线性规划中对y最优化的认证。Farkas的对偶方案的分解也是采用同样的思想。具体参见15的方法。然而，一个奇

13、怪的现象出现了，x和y几乎是可解得，然而cTx-bTy大多是负的（|x|和或者|y|然后肯定会是非常大的），根据原理，SeDuMi将会返回一个无穷大的精确的digits。这个现象在14和23中也有解释。我们需要让这个最优化模型有着非负的和二次型的核限制，而这一点是可行的。比如，我们可以以上例子中的限制y310来解决模型注意到该问题是无解的：1/x1下确界是0，对x1趋近与无穷大来说：clear K;c= 0,1,0;b = sqrt(2); A = 0, 0, 1; K.r = 3;x,y,info=sedumi(A,b,c,K);x(2), x(1)*x(2)ans =6.5278e-005

14、ans =1.0695你可能会发现x2根本没有足够趋近于0，而且x1也不是等于无穷大。然而，这个原始解是可解的，对偶解几乎是可解的，而且对偶gap几乎是负的。这就解释了一个误差范围困难，而且对这种不规则的问题是很常见的。在Section 5 中，我们可以看看到底如何获得一个更精确的解决方案，通过设计一个选项参数，pars.eps。上述例子可以解释，K.r来列出Rcone限制的维数，类似于Qcone限制中K.q的定义，设定了K.l，K.q，K.r也就引出了以下形式的对称核。举例说明，我们可以添加界x1 X=vec(1,5,-3;5,2,-9;-3,-9,4) X =1 5 -3 5 2 -9 -

15、3 -9 4Vec的逆运算就是mat。因此，如果x是一个n2长度的向量，而mat（x）就创建了一个nn的矩阵，然后依次填入x向量的元素，比如： mat(X) ans =1 5 -35 2 -9-3-94以下MATLAB函数产生了一个问题（11）的标准的原始形式：% At,b,c,K =specfac(b)% Creates primal standard form for minimal phase spectral factorization. function At,b,c,K =specfac(b)m = length(b) ;% - minimize sum (m-i)*X(i,i)

16、-c = vec(spdiags(m-1:-l:0),0,m,m);% - Let e be all-1, and allocate space for the A-matrix -e = ones(m,1);At = sparse( , , ,m2,m,m*(m+l)/2) ;% - sum(diag(): k) = b(k) -for k= 1:mAt(:,k) = vec(spdiags(e,k-l,m,m);endK.s = m;字段K.s=m告诉SeDuMi我们需要一个mm的矩阵mat（x），而且满足对称正定的。我们能解决如下的问题：b = 2; 0.2; -0.3;At, b, c

17、 ,K = specfac(b) ;x,y,info = sedumi(At,b,c,K);得到的结果为：it :b*ygapdelta ratet/tP* t/tD* feas cg cgprec0:1.69E+001 0.0001: -2.44E-001 3.91E+000 0.000 0.2312 0.9000 0.90001.39 1 12.0E+0002: 1.86E-001 3.22E-001 0.000 0.0824 0.9900 0.99001.31114.0E-0013: 1.23E-001 1.12E-004 0.000 0.0003 0.9999 0.99990.9911

18、2.6E-0044: 1.23E-001 5.18E-006 0.000 0.0463 0.9900 0.99001.00111.2E-0055: 1.23E-001 2.36E-007 0.000 0.0455 0.9900 0.99001.00116.8E-0076: 1.23E-001 1.90E-008 0.327 0.0806 0.9900 0.99001.00225.5E-0087: 1.23E-001 8.16E-010 0.000 0.0429 0.9906 0.99000.99222.2E-009iter seconds digitsc*xb*y7 0.2 8.5 1.227

19、3256559e-001 1.2273256524e-001|Ax-b| = 1.1e-010, Ay-c_+ = 1.4E-010, |x|= 2.0e+000, |y|= 7.6e-001Detailed timing (sec)PreIPMPost3.120E-002 2.028E-001 3.120E-002 Max-norms: |b|=2, |c| = 2,Cholesky |add|=0, |skip| = 0, |L.L| = 1.为检验正定性，可以采用MATLAB中的eig或者SeDuMi中的eigK： eig(mat(x),eigK(x,K) ans =0.0000 0.00000.0000 0.00002.00002.0000其中eigK更加方便，特别是当有多个正定条件限制的时候，或者也有非负和二次型核限制。SeDuMI将总是产生对称决策变量，比