完整第四章随机变量的数字特征总结

1、随机变量的数字特征总结 第四章 随机变量的数字特征 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X的数学期望定义为 ? x，X?Px? )离散型(kk?kEX? ? xf(x)dx ，?)(连续型?其中表示对X的一切可能值求和对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在 常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 为随，若的概率分布为，则称级数 设离散型随机变量 ，记为, 即 机变量的数学期望（或称为均值） 2、两点分布的数学

2、期望 为 学义，的数期望， 设服从01分布，则有根据定 . 、二项分布的数学期望 3 。，则服从以 设为参数的二项分布， 、泊松分布的数学期望 4 有从而为的泊松分布，即，数服 设随机变量从参 。 常见的连续型随机变量的数学期望 1 )均匀分布 它的概率密度函数为: a0， - + ) 令 得 则 E()= . 3)指数分布 设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为 .，则 y?g(x)随机变量的函数的数学期望为连续函数或分段连续函数，而X 设 (2) 是任一随机变 ?g(YX)Y的概量，则随机变量的概率分布直接来求，而不必先求出的数学期望可以通过随机变量X?g(X,Y)Z率分布再求其数学

3、期望；对于二元函数 ，有类似的公式：? xP；Xg?x?)(离散型kk?k EY?Eg(X)? g(x)f(x)dx ? （连续型）?yY?X?x,yx P；,g?离散型jiij?ji? ?,gYXEZ?E? ydg xx,ydfyx,?连续型?P(X?a,Y?b)?p,i,j?1,2,L,(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合概率函数 设ijij?pb),g(aijji(X,Y)g(X,Y)的数学期望为如果级数的函数绝对收敛，则 ij?bp)?p;E()bg(a,)pE(X?Y)(EgX,Y?aijijiijjij； 特别地. ijiiji?dx(x)fg(x)(xfX绝对收敛，如果广义积分

4、为连续型随机变量，其概率密度为 设?g(x)f()(EgX?x)dx)(gXX 的函数则的数学期望为?- 2 - 随机变量的数字特征总结)yf(x,(XY)分积如果为广义，维连续型随机变量，其联合 设概率密度为二?dxdy)(x,yg(x,y)f)Yg(X,(X,Y) 的函数绝对收敛，则的数学期望为?dxdy)x,yx,yEg(x,y)?)f(g ；?dxdy,?y)yf(xxf(E(x)?x,y)dxdyE(Y), . 特别地?是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数注：求E(X,Y) Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。 数

5、学期望的性质 2、cEc?EE(X)=E(X) c，有例(1) 对于任意常数?X?EEX?E(aX+b)=aE(X)+b (2) 对于任意常数例：，有?XX,X,?,X?E?EX?X?X?EEXX (3) 对于任意，有m21m211m2?X?EEXEEXX?XX?X,X,?,X注：相互独立相互独立，则(4) 如果m1122mm21) 有后面的结论成立，但这是单向性的，即不能有结论推出独立 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征 方差和标准差 222)(EX)?EXX?XD?E(X?E 称 1、方差的定义?XD? 的方差有如下计算公式：为随机变量X为随机变量X的方差，称的标准差随机变量X?2?

6、；()X?x x?EX P离散型kk?k?DX(4.3) ?2?) dx (x?EX(fx)连续型? 、2方差常见分布的 (1)两点分布 p， 1) E()=(P=1)=p， P(=0)=1-p=q (0p(0-1)设，其概率分布为: ）（222222 1-p=p-p=p)= pp+0(1-p)= D(E()-(E()E()=1 (2)二项分布 , ()=npE pnk: ),(设Bnp，其概率分布为(=0, 1, 2,) (01) (此处运用组合数公式) - 3 - 随机变量的数字特征总结 = =, (运用二项分布的数学期望公式知 ) 2 np , n-1)p+E(np)=(22 np(1-

7、p)-(E()=E D()=( (3)均匀分布 )，它的概率密度函数为: 0，-+) E(, 设N()= (令t=(x-)/) 22. ()=D = (5)指数分布 - 4 - 随机变量的数字特征总结 、2方差的性质 0?0DXDX?X 当且仅当(1) （以概率）为常数；，并且2?X?XDD，有；（方差对随机变量前面的常数具有平方作用） (2) 对于任意实数X,X,?X, ，则两两独立(3) 若或两两不相关m12?XD?X?DX?X?X?X?DD mm2121PX=C=1. 或者=1X=E（X）4）D(X)0，D(X)=0的充要条件是P（2；)()= kDD(k+c 是常数，则D(X+c)=D

8、(X).例：(5)设X是一个随机变量，c 切比雪夫不等式 附近的离散程是用来描述随机变量我们知道方差的取值在其数学期望)XE()D(XX? ?)?E(XX有关，而这种关，事件度的，因此，对任意的正数发生的概率应该与)XD( 系用数学形式表示出来，就是下面我们要学习的切比雪夫不等式。?，不等，则对于任意正数与方差存在 1定理 设随机变量的数学期望)(XE)D(XX)XD(? 式 ） （1 ?)P X?E(X? 2?)XD(? ） 或 （2 ?1?P XE(X)? 2? ）称为切比雪夫不等式。）和（2都成立。不等式（1的数学期望和方的分布未知的情况下，只利用切比雪夫不等式给出了在随机变量XX 的概

9、率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。差即可对X，均方差是7001例 已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是730094005200 之间的概率。利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在 设表示每毫升血液中含白细胞个数，则解 X?(X)?D(7300,X)?700?E(X) 而 ?2100?|X7300|2100X?7300|?1?P?XP5200?9400P|217008?P|X?7300|?2100? 所以 又P5200?X?9400? 2921009 协方差和相关系数 (X,Y)XY的联合数字考虑二维随机向量，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以及

10、和特征协方差和相关系数 - 5 - 随机变量的数字特征总结 、协方差和相关系数的定义 1YX 定义为的(1) 协方差 随机变量协方差和YE?EXEY)?EXY)X,Y?E(X?EX)(Y?cov( ， 其中?；,Y?y Pxy X?x离散型jjii?ji?EXY ? xd yxyf x,y d连续型 ? 相关系数定义为和 随机变量XY的(2) 相关系数 ?YEEYXEXYcov?X,? ?YDX DyxYX 和 设随机变量的方差存在，则它们的协方差也存在2、协方差的性质0)?cov(X,ccov(X,Y)?0YX 独立，则，有c和；对于任意常数(1) 若),X)?cov(Ycov(X,Y (2

11、) ),bY)cov(aX?abcov(X,Y，有 (3) 对于任意实数a和bZY,X, (4) 对于任意随机变量，有， ,Z),Z)?cov(Ycov(X?Y,Z)?cov(X Z)?cov(X,)X,Y?Z?cov(X,Ycov(?YX ?DXDX,covYY使对于任意(5) （等号成立，且当仅当存在常数啊，a，和b，有 成立）PY=a+bX=1?Y)?DX?D(XDY?2cov(X,Y)YX，有(6) 对于任意 和?XY的相和 相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用设、3相关系数的性质 22?,Y?DE?Y,?DX,?EX 关系数，2112?1?1?(1) ?XYYX却未必独立

12、=0若(2) 时和相互独立，则和=0；但是，当?1 XY（以概率）互为线性函数 的充分必要条件是和(3) (4)对随机变量x，y，下列事件等价： - 6 - 随机变量的数字特征总结 cov（X,Y）=0; X和Y不相关； E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y) XY之间的关系由相互独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值三条性质说明，随着变量和? 从0增加到1，说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量 XYXY?不相关和= 假设随机变量0和，则称的相关系数存在若，4、随机变量的相关性 XY相关否则称 和(1) 若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；

13、XY的联合分布是二维正态分布，则它们“不相关”与“独立”等价和(2) 若 矩 在力学和物理学中用矩描绘质量的分布概率统计中用矩描绘概率分布常用的矩有两大类：原点矩和中心矩数学期望是一阶原点矩，而方差是二阶中心矩 k?k0k?XE?k阶简称点意实数变量矩，称的，阶原为随机1、原点矩 对任k?EX原点矩的计算公式为： 矩1?k? ；Xx?Px)离散型 (ii?iE(X)k?；一阶原点矩是数学期望?EX? ?kk?xf(x)dx )(连续型?k?XX?EE二阶中心矩是方差D(X)；k 称为随机变量的 阶中心矩中心矩2、 kklE(XY)(X,Y)(k,l)(k,l)X(,Y)的随机变量；随机变量的阶

14、混合原点矩定义为混合中心矩3.klE(X?E(X)(Y?E(Y)cov(X,Y)(1,1) .阶混合中心矩为协方差阶混合中心矩定义为常用分布的数字特征 （四）E(X)?np,D(X)?np(1?p),pB(nX 9.1当服从二项分布 时， ?X),DE(X)?()p(X，时，服从泊松分布 9.2 当 2)?ab(ba?E(X)?,D(X)? )a,b(122X上均匀分布时，当服从区间 9.3 11E(X)?,D(X)? ?2?X的指数分布时， 9.4 当服从参数为 22?X),D(,()EX)?N(X 9.5 当服从正态分布时， 22?),N(,(X,Y) 时， 9.6 当服从二维正态分布21

15、1222?)X,Y?,cov(?X()?,D(E)(?,DYX)?(Y)E； XY212112三、典型例题及其分析 例4.2.1 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状态相EXDXXX. 互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望和方差- 7 - 随机变量的数字特征总结 EXX. 关键是求出的分布律，然后用定义计算【思路】 【解】 引入事件：? i=1,2,3.个部件需要调整第A?i i根据题设，三部件需要调整的概率分别为 ?A?A0.20,?0.10,PPAP0.30. 321由题设部件的状态相互独立，于是有 ? A

16、X?0P?PAAA?PAPPA321312 0.504.0.7? ?0.9?0.8 ? 0.3?0.9?0.80.9?0.2?0.7?0.7AAA?AAA?P0.1?0.8?X?1?PAAA?3121123320.398? ? 0.30.2?0.3?0.9?A?0.1?0.2?0.7P?0.1?0.8X?2?PAAAAAA?AA321112332 0.092; ?X的分布律为 于是X 0 1 2 3 P 0.504 0.398 0.092 0.006 从而 ?xp?0?0.504?1?0.398?2?0.092?3?EX?0.006ii i ?0.6,?222222?30.006?0.092?

17、1?EX0.398?x2p?0?0.504ii i ?0.820.2?220.46.?0.6?EX?0.820DX?EX 故 【解毕】AXX的分布.的分布律求出，因此，可以发现求期望和方差的难点转到了求【技巧】 本题的关键是引入事件同，将i2?2EXEX?DX?来进行时，方差的计算一般均通过公式. X是一随机变量，其概率密度为 设例4.2.3 1?x, ?1?x?0,? 1,x?x, 0f?x?1?0, 其他.?DX. 求 (1995年考研题) - 8 - 随机变量的数字特征总结 【解】 ?01?dx?xxx0.1?x1EX?dxxf?x?dx?1?0 10?1?22222?dx1x?1?x?

18、dx?2xx1?EXx?xxfdxx.dx?00?1?1? 612?2?EXEX?.DX? 于是 【解毕】 6?xf的奇偶性，这样可利用对称区间上奇偶函数的积分公式简化 在计算数学期望和方差时，应首先检验一下【技巧】?xfdx?xf0.EX?xDX的计算也可直接简化同样求解，比如本题中，. 为偶函数，故?X的密度函数为已知连续型随机变量 例4.2.4 12?2x?1?x, -f?xx+?e?.EXDX求 与年考研题. (1987) ?【思路】 一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义. 【解】 （方法1）直接法. 由数学期望与方差的定义知 ?11

19、1222?1x?1x?x?1?dxexeex?dx?EX?1xfxdxdx? ? ?12?1x?dx? e1. ?12?222?1?x?dxfxx?dx?x?11eDX?EX?EX ? ?11122t?2?t?dte?edtt分部积分 ?. 2?2? （方法2） 利用正态分布定义. 2?x1? 22?xf.?x?e?2变形为的正态分布的概率密度为所以把由于期望为，方差为 ?22?1x? 2?11?2? 2exf? 1?g2211?xf1,NEX?1,DX?. 易知, 为因此有的概率密度, ? 22?【技巧】 解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数，不然的话，直接计算将会带来较大的工作量.

20、反过来，用正?2kx?dxe. 态分布的特性也可以来求积分等?(2)若干计算公式的应用 - 9 - 随机变量的数字特征总结 主要包括随机变量函数的数学期望公式，数学期望与方差的性质公式的应用. 2EXX . 10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4例4.2.5 设，求表示) 年考研题 (1995 ?2.4.1?10?0.4XB?10,0.40.4DX4,?0.4?EX?10 于是【解】 由题意知22?22218.4.?4EX?EX2.4?DX?EXEX?DX? 由可推知X的分布；二是灵活应用方差计算公式，如果直接求解，那本题考查了两个内容，一是由题意归结出随机变量【寓意】

21、 1010?k?k22k0.4k?C1?0.4EX的计算是繁琐的么. 100K?X2?eXE?1?X.（1992年考研题）的指数分布，求例4.2.6 设 服从参数X的密度函数为 由题设知，【解】 ?x?, ex?0,?xf? 0, x?0.?1?2x2X?2x?x?g,dxef?x?edxeEe1?EX ，又因为且 30?14?22XX?1?EXEX?e?Ee?.? 【解毕】 从而 33【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法. ? YX,1X?Z?2x?1,yy?G:0?xx,内服从均匀分布，例求随机变量在区域4.2

22、.7 设二维随机变量.DZ 的方差 由方差的性质得知【解】 ?41DDX2X?DZ? X的边缘密度为又由于 x?1dy, 0?x?1?dy?,ffx?yx?X?x ?. 其他0,?2x, 0?x?1? ?0, 其他.?于是 - 10 - 随机变量的数字特征总结 111222?gg,?2xdx?, EX?EX?xdxxx2 23 002112?2?2.?DX?EX?EX? 1823?21.?4?DZ?4DX? 【解毕】 因此 ， 918XXX与的边缘密度函数出发， 尽管本题给出的是二维随机变量，但在求而不必从的期望于方差时，可以从【技巧】 Y. 在一般情形下，采用边缘密度函数较为方便的联合密度函

23、数开始. 2YYXX服从标准正态分布，试求随机服从均值为1独立，且的正态分布，而例4.2.8 设随机变量，标准差为和3Z?Y?2X （1989年考研题）的概率密度函数变量.YX,ZYX的线相互独立且都服从正态分布，所以和作为【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于ZEZDZ. .故只需求，则和的概率密度函数就唯一确定了性组合也服从正态分布?0,1,YXNN1,2 . 由题设知，从而由期望和方差的性质得【解】 5,3?2EX?EY?EZ? 29.?2DX?DYDZYX,X,YZZ也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期的线性函数，且是是相互独立的正态随机变量，故又因?5,9ZNZ 的

24、概率密度为望和方差确定，故知，于是，2?5?z1? 【解毕】 .?,? e?z?fz92? Z?23本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全由其期望和方差决 【寓意】 . 定?1?Y 服从参数为的指数分布，随机变量4.2.9 假设随机变量例?, 若Y?k0,?1,2k? ?X?k.1, 若Y?k?XX 和的联合概率分布；1） 求（21?XX?E. 求 （2）21Y 显然，的分布函数为【解】y?0,?,?e y1 ?yF?0.?0, y?，Y若?10, ?，?2Y0, 若? ?X?X?1211.，若Y?12.Y，若?- 11 - 随机变量的数字特征总结 ?

25、,X?X110,0,0,10,1, （1且有四个可能取值：）21?1?2Y?0,X?0P?P?Y?1,YP?X21?1,F?1e?1 ?0,2?Y?1,PYX?0,X?1?P21 ?2?Y?1,Y?2Y?PP?X1,X?0?P121?2?1?, ?Fe2?Fe1?2?P?1Y?PY?1,Y?P2X?1,X?21?2?.?2e ?1?F XX 于是得到的联合分布律为和21XX 21?2 0 2 1 0 ?1e?1 0 1 ?1?2e?e ?2e X,X的分布律分别为） 显然， （321 XX 0 1 0 1 21?1?2?12ee?11?ee P P ?1?2.e?e,EXEX? 因此 21?1

26、?2.?eeX?X?EX?EEX 故 【解毕】 2112?XXE?YX，这是因为的联合分布律，也可直接求出本题中若不要求求 与 【技巧】 21?1.?PeY?1?0?P1Y?1?EX1?P?Y 1?2,?e?EXPY?2 因此 而 2?1?2.e?XEX?EX?eE?X 2211?X,XXEX，此时，由于其他函数的期望.例如求 不仅如此，我们还能求21211, 若Y?2,? ?XX?12 其他.0，?2.2P?2P1XEX?Y?0PY2?Y?e 故 21- 12 - 随机变量的数字特征总结 ?YX,服从二维正态分布，其密度函数为设随机变量 例4.2.10 1?122?y?x? ?yexf,2

27、?2 22Y?Z?X求随机变量. 的期望和方差【思路】 利用随机变量函数的期望的求法进行计算. 22Y?Z?X，故由于【解】 ? ?2222?gdxdyX?Yy?yx,fEZ?Ex? 22?x?y1? ? dxdyy?e.x? 2 ?2?,cos?rx?，则令 ?.sin?ry?222?rrr11?2?|? ?ggdr?reEZ?r?de2re?222? ?2200?00 2? r? .edr? ?220 而?22yx?1?22222? dxdyxe?EEZ?yX?Y2 ?2?22?2?rr1? 2 ?gredrd?er2rdr? 22 ?20002. ?2?2.EZ?DZEZ?2 故 【解毕

28、】 2ZZZ的密度本身就是一繁琐的工作，因此我的密度函数，再来求【技巧】 本题也可先求出的期望与方差，但由于求Z的分布，而只需直接计算一个二重积分即可.们借助随机变量函数的期望公式来求解，再此公式中并不需要知道因此，?YX,为离散型随机变量，一般我们往往不直接去求这个对随机变量函数的期望计算问题，除非它是一线性函数，或者. 函数的分布，而直接按随机变量函数的期望计算公式来求解1?22?0,41,3NNYYXX的相关系数与，设与分别服从正态分布已知随机变量4.3.4 例 和，且 XY2XY?Z?,求： 32ZEZDZ； 1（）的数学期望和方差- 13 - 随机变量的数字特征总结 ?ZX；）的相关系数与 （2XZZX是否相互独立？为什么?（1994年考研题） （与2）