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文档简介
1、11-1 多元函数的概念偏导数,二、二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,定义域D；值域z z = f (x,y), (x,y)D 自变量x,y；因变量z,1）点的邻域,一、平面点集的基本知识,2）区域,例如,即为开集,连通的开集称为区域或开区域,例如,例如,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,如下页图,二元函数的图形通常是一张曲面,例如,图形如右图,例如,左图球面,单值分支,二、偏导数的概念及其计算法,偏导数的几何意义,如图,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,解,证,原结论成立,有关偏导数的说明,求分段点、不连续点处的偏导数要用定义求,解,11-2
2、 多元函数的极限与连续,一、 多元函数的极限,定义 1 设函数 定义在区域D上, 为D的 内点或边界点. 若有常数 满足条件,说明,1）二元函数的极限也叫二重极限,记成,2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,3) 多元函数在某点有极限要求定义域内的点在任 何方向趋近该点时，函数值都应当趋近同一个数,例2,解,例3. 求极限,解,其中,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化,故极限不存在,确定极限不存在的方法,思考题,思考题解答,不能,例,取,但是 不存在,原因为若取,二、多元函数的连续性,定义 2 设函数 定义在区域D上, . 若有,或说,复合函数的连续性,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,例如,分别在半平面 x0；x2+y22；(x,y)(0,0)内连续,函数不连续的点称为间断点,间断点,例如,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,1）最大值和最小值定理,2）介值定理,偏导数存在与连续的关系,但函数在该
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