第12讲-线段和角w讲解

1、第11讲 线段和角知识方法扫描直线上两点间的部分叫线段，关于线段的性质，有线段的公理：在所有连结两点的线中，线段最短。即：两点之间，线段最短。从一点引出的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作是一条射线绕着它的端点旋转后得到的。 本节的重点是线段与角的度量与计算。代数方法是线段与角的计算的主要方法。经典例题解析例1（2002年第13届“希望杯”数学竞赛试题）C是线段AB的中点, D是线段CB上的一点，如图所示。若所有线段的长度都是正整数，且线段AB所有可能长度的乘积等于140，则线段AB所有可能长度的和等于 。解 设线段CB的长度为x，则x2，AB=2x4，于是AB是偶数。又140=2257，

2、且140是线段AB所有可能的线段长度数的乘积，所以AB=10或14，故线段AB所有可能长度的和等于24。例2 （2001年第16届“迎春杯”数学竞赛试题） 如图, A是直线上的一个点, 请你在A点的右侧每隔1厘米取一个点, 共取三个点, 那么：(1)用B、C、D三个字母任意标在所取的三个点上, 一共有 种不同的标法. (2)在每种标法中, AB+BC+CD的长度与AD的长度的比分别是 . 解：(1)将B、C、D三个字母任意标在所取的三个点上, 第一个点有3种标法, 第二个点有2种标法, 第三个点只有1种标法, 所以共有3216(种)不同的标法. (2)下面是6种不同的标法：中, (AB+BC+

3、CD)：AD(1+1+1)：31：1；中, (AB+BC+CD)：AD(1+2+1)：22：1；中, (AB+BC+CD)：AD(2+1+2)：35：3；中, (AB+BC+CD)：AD(3+2+1)：23：1；中, (AB+BC+CD)：AD(2+1+2)：15：1；中, (AB+BC+CD)：AD(3+1+1)：15：1；由此, 在每种标法中, AB+BC+CD的长度与AD的长度的比分别为1：1或2：1或5：3或3：1或5：1或5：1.例3（1998年第9届希望杯第1试试题）一个角的补角的等于它的余角，则这个角等于_度。解 设这个角为x度，则(180-x)=90-x, 解得x=22.5.例

4、4（2004年杭州市“思维数学”夏令营竞赛试题）如图是一个33的正方形,则图中1+2+3+9的度数应该是 _ .解: 从图中可以看出：3=5=7=45，1+9=90，2+6=90，4+8=90 ，故1+2+3+9=405。例5（2007年肇庆市八年级数学竞赛试题)现已知有两个角，锐角，钝角，赵，钱，孙，李四位同学分别计算的结果，分别为68.5，22，51.5，72，四个结果中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是（ ） （A） 68.5 （B） 22 （C） 51.5 （D） 72解：090, 90180, 90+270,于是 22.567.5, 仅51.5满足上式，故选C。例6（2005

5、年全国初中数学联赛试题）已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：ABC，用表示AB，BC以及90-A中的最小者，则的最大值为。解：记m,n,p中最小者为minm,n,p例7（1990年浙江省初中数学竞赛试题）一条直线顺次排列着1990个点：P1，P2，P1990，已知点Pk是线段Pk-1Pk+1的k等分点当中最靠近Pk+1的那个分点（2k1989）,如P5是线段P4P6的5等分点当中最靠近P6的那个分点，如果线段P1P2的长度是1，线段P1989P1990的长度为l。求证： = 1988198732.证明：由题设可知P2是线段P1P3的中点，故P1P2= P2P3=1；P3是线段P2P4

6、的3等分点当中最靠近P4的那个分点，故P3P4=P2P3=；一般地，Pk是线段Pk-1Pk+1的k等分点当中最靠近Pk+1的那个分点, 故 PkPk+1=Pk-1Pk+1=Pk-1Pk+PkPk+1,于是有PkPk+1=Pk-1Pk。当k=4，5，6，1989时，P4P5= P3P4 =， P5P6=P4P5 =，P6P7=P4P5 =，P1989P1990= P1989P1989=，所以 = 1988198732. 例8（第18届“迎春杯”数学竞赛试题） 在一个圆上有六个点, 它们之间可以连一些线段. 那么至少连多少条线段, 可以使得这六个点中任意三点之间都至少有一条线段?请说胆理由. 解：

7、不防设这三个点中连出线段最少的是A点. (1)若点A与其它点没有连线(孤立点), 为了保证任意三点之间都至少有一条线段, 所以其它五点之间必须两两连线, 此时至少需要连线段. (2)若点A连出线段恰好一条, 设为AB, 此时A点与其它四点无线段连结, 类似(1)的情况, 这四点之间必须两两连线, 这样至少需要连线段. (3)若点A连出线段恰好二条, 此时其它点连出线段至少二条, 于是这六个连出线段总和至少有 . 下面我们给出满足题意的6条连线的方法(如图所示). (4)若点A连出线段至少三条, 此时每个点连出线段至少三条, 于是这六个点连出线段总和至少有(条).综上所述, 至少需连6条线才能满

8、足题意. 评注：圆上任意三点都不在同一直线上, 因此圆上六点之间所连线段都不会出现重叠现象. 本题的解答应用了极端性原理. 原版赛题传真同步训练一 选择题1（1994-1995五市联赛）如图，AOC是直角，COD=21.5,且OB,OD分别是AOC, BOE的平分线，则AOE等于（ ）。 （A）111.5（B）133（C）134.5（D）1782（2002年第13届希望杯试题）如图，直线上有三个不同的点A，B，C。且ABBC，那么到A，B，C三点距离的和最小的点（ ）（A） 是B点 （B）是线段AC的中点（C）是线段AC外的一点 （D）有无穷多个3 (2003年第8届全国公开赛)在1：50时，

9、分针与时针所夹的小于平角的角为（ ）（A）850（B）900（C）1050（D）11504 （1995年第6届希望杯试题）如图，AOB=180，OD是COB的平分线，OE是AOC的平分线，设DOB=，则与的余角相等的角是（ ）。（A）COD（B）COE（C）DOA（D）COA5（1998年第9届希望杯数学邀请赛试题）如图, 已知B是线段AC上一点, M是线段AB的中点, N是线段AC的中点, P为NA的中点, Q为MA的中点, 则MN:PQ等于( )（A）1（B）2（C）3（D）45. B二填空题6（2004年北京市“迎春杯”数学科普活动日试题）如果两个角的和等于180，称这两个角互为补角如图

10、，0为直线AB上的一点，若1=2，3=4，则图中互为补角的角共有 对7（第16届“迎春杯”数学竞赛试题） 如果AOB31.5, BOC24.3, AOD15, 那么锐角COD的度数为 . 解：AOB、BOC、AOD的位置关系有四种, 如下：图1中, CODAOD+AOB+BOC15+31.5+24.370.8；图2中, CODAOB+BOCAOD31.5+24.31540.8；图3中, CODAOB+AODBOC31.5+1524.322.2；图4中, CODAOD+BOCAOB15+24.331.57.8； 锐角COD的度数为70.8或40.8或22.7或7.8. 8 （2000年第11届希

11、望杯数学邀请赛试题）如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点。已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度为_ _。8. 3设线段AC=x，CB=y，则有 AD=，AB=CD=，DB=.于是有 。上式中x， y 均为正整数，故y为偶数，又当y6时，故y只能取2或4。当 y =2时，x=不是整数；于是y =4，进而x=3。9（1996年第7届希望杯数学邀请赛试题）角,中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算(+)的值时,全班得到23.5,24.5,25.5这样三个不同的结果, 其中确有正确的答案.那么+ = .9. 352.5 设90,

12、90,90180,则+ + 360.但 23.515= 352.5 , 24.515=367.5, 25.515=382.5, 故仅352.5 符合题意， += 352.5 .10（第15届“迎春杯”数学竞赛试题） 已知A的两条边和B的两条边分别平行, 且A比B的3倍少20, 那么, B . 10. 50或10.由A的两条边和B的两条边分别平行可知A+B180或AB.又知A比B的3倍少20, 所以A320. 设Bx, 则A(3x-20), 有 (3x-20)+x=180或x=3x-20, 解得x=50或x=10. 三 解答题11（1996-1997学年度天津市初二数学竞赛预赛试题）时间从8点到

13、8点20分，钟表的时针和分针各转了多少度？在8点20分，时针和分针所成的小于平角的角是多少度？11. 分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度. 从8点到8点20分，钟表的时针和转了10度，分针转了120度. 在8点20分，时针和分针所成的小于平角的角是130度.12（2004年杭州市“思维数学”夏令营竞赛试题）已知为一射线,分别平分和, 求的大小.12. (1)当在内部时, 易得; (2)当在外部时, 要分又可能为锐角, 直角, 钝角, 平角4种情况进行讨论, 结果分别为, , , .结论应为： 为或.13（1994年第5届“希望杯”数学邀请赛试题）(1)现有一个19的“模板”（如图），请你设

14、计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1的角来(2)现有一个17的“模板”与铅笔，你能否在纸上面画出一个1的角来？(3)现有一个23的“模板”与铅笔，你能否在纸上面画出一个1的角来？13. 设“模板”的角度为，假设可以由k个角和t个180的角画出1的角来，即k，t满足k-180t=1.(1)当=19时，取k=19，t=2。即用“模板”连续画出19个19的角得到361的角，去掉360的角，就得到1的角。(2)当=17时，取k=53，t=5。即用“模板”连续画出53个17的角得到901的角，去掉两个360的角和一个180的角，就得到1的角。(3)当=21时，21 k-180t=1没有整数解，

15、不能画出1的角。14（1987年北京市中学生数学竞赛试题）一直线从左到右顺次排列着1987个点: P1,P2,P3,.,P1987,已知Pk点是线段Pk-1Pk+1的 k等分点当中最靠近Pk+1的那个分点(2k1986).例如, P5点就是线段P4P6的五等分点中最靠近P6的那个点.如果线段P1P2的长度是1, 线段P1986P1987的长度是l,求证: 2l.14证明 由题意应为的二等分点所以,应为的三等分点中最靠近的那一点，所以一般地，是的k等分点中最靠近的那个分点，所以因此， 在式中令得l = 2l = 15. （1990年上海市初中数学竞赛试题）直线上分布着1990个点，我们来标出以这些点为端点的一切可能线段的中点，试求至少可以得出多少个互不重合的