简单的线性规划绵竹中学2

1、,复习回顾,新课讲授,课堂练习,小结,课后作业,1.二元一次不等式和二元一次不等式组表示的平面区域?,由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点）,一.复习回顾,判断可行区域的方法：,x,y,o,x-4y=-3,x=1,C,2.设z2+,式中变量、满足下列条件 ， 求的最大值和最小值。,B,3x+5y=25,问题 1: 将z2+变形?,问题 2: z几何意

2、义是_。,斜率为-2的直线在y轴上的截距为Z,则直线 l： 2+=z是一簇与 l0平行的直线,故 直线 l 可通过平移直线l0而得，当直 线往右上方平移时z 逐渐增大： 当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l 过点A(5,2)时，最大,即 zmax25+212 。,析: 作直线l0 ：2+=0 ,3：满足线性约束条件 的可行域中共有 多少个整数解。,1,2,2,3,3,1,4,4,5,5,x,y,0,解：由题意得可行域如图:,由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 (1,2)、(2,1)、(2,2) 故有四个整点可行解.,不等式组 表示的平面区域内的整数点共有（

3、 ）个,巩固练习1:,1 2 3 4 x,y 4 3 2 1 0,4x+3y=12,解线性规划问题的步骤：,2、 在线性目标函数所表示的一组平行线 中，用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线；,3、 通过解方程组求出最优解；,4、 作出答案。,1、 画出线性约束条件所表示的可行域；,画,移,求,答,二:给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最小。,一:给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大。,线性规划研究的两类重要实际问题：,【引例】某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个

4、A配件并耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排获得的利润最大?,二.新课讲授,解：设甲、乙两种产品的日生产分别为x ,y,件时,工厂获得的利润为z万元,则x ,y,满足约束条件为,作出约束条件所表示的可行域， 如右图所示目标函数为z=2x+3y,可变形为,如图,作直线,当直线,平移经过可行域时,在点M处达到y,轴上截距,的最大值,即此时z,有最大值.,解方程组,(1),得点M(4,2),当每天安排生产4件甲

5、产品,2件乙产品时,工厂获利最大为14万元.,不等式组(1)是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称为线性约束条件,z=2x+3y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数,由于z=2x+3y又是x、y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数,求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题,在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的 三角行区域其中可行解M(4,2)使目标函数取得 最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解,满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解， 由所有可行解组成的集合叫做可行域,【例5】营养学家

6、指出,成人良好的日常饮 食应该至少提供0.075kg的碳水化合,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪. 1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元; 而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg？,三.课堂练习,解：设每天食用xkg食物A, ykg食物B,总花费为z元, 则目标函数为z=28x+21y且x、y满足约束条件,整理为,作出约束条件所表示的可行域， 如右图所示,目标函数可变形为,如图，作直线,当直

7、线,平移经过可行域时，在,点M处达到,轴上截距,的最小值，即此时,有最小值.解方程组,，,得点M的坐标为,，,每天需要同时食用食物A约0.143 kg， 食物B约0.571 kg，能够满足日常饮食要求， 且花费最低16元.,例题分析,例6 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：,解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,作出可行域（如图）,目标函数为 z=x+y,今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢

8、板张数最少。,X张,y张,例题分析,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.,作出一组平行直线z=x+y，,目标函数z= x+y,当直线经过点A时z=x+y=11.4,x+y=12,解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8),调整优值法,2,4,6,18,12,8,27,2,4,6,8,10,15,但它不是最优整数解.,作直线x+y=12,答（略）,例题分析,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是x+y=12

9、，它们是最优解.,答:(略),作出一组平行直线t = x+y，,目标函数t = x+y,打网格线法,在可行域内打出网格线，,当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，,将直线x+y=11.4继续向上平移，,1,2,1,2,18,27,15,9,7,8,在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：,1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下） 2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直

10、至取到整点为止。 3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解,解线性规划应用问题的一般步骤：,2）设好变元并列出不等式组和目标函数,3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；,4）在可行域内求目标函数的最优解,1）理清题意，列出表格：,5)还原成实际问题,(准确作图，准确计算),二:给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最小。,一:给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大。,线性规划研究的两类重要实际问题：,二元一次不等式表示平面区域,直线定界，特殊点定域,简单的线性规划,

11、约束条件,目标函数,可行解,可行域,最优解,求解方法：画、移、求、答,（图1）,【练习2】 如图1所示，已知ABC中的三顶点 A(2,4) ,B(-1,2),C(1,0),点P(x,y),在ABC内部及边界运动， 请你探究并讨论以下问题：,在_处有最大值_，在_处有最小值_；, 你能否设计一个目标函数，使得其取最优解的 情况有无穷多个？ 请你分别设计目标函数，使得最值点分别 在A处、B处、C处取得？ (课后思考题）若目标函数是,你知道其几何意义吗？,？如果是,或,在_处有最大值_，在_处有最小值_；,呢？,你能否借助其几何意义求得,z=x+y,z=x-y,z=x2+y2 ，,zmin和zmax

12、,A(2,4),C(0,1),B(-1,2),小结：,解线性规划应用问题的一般步骤：,1）理清题意，列出表格：,2）设好变元并列出不等式组和目标函数,3）准确作图，准确计算,知识点：,技能点：,数学思想：,4）还原成实际问题,学习了把实际问题转化成线性规划问题即建立数模的方法,渗透转换、化归思想，数形结合思想，用数学的意识、创新意识,作业：,课本习题,（ 图2 ）,如图2，问参考答案: z=x+y,在 点A 处有最大值 6 ，在边界BC处有最小值 1 ； z=x+y,在 点C 处有最大值 1 ，在 点 B 处有最小值 -3,评述： 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无

13、论此类题目是以什么实际问题出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解,四.课堂小结,用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1、首先，要根据线性约束条件画出可行域 （即画出不等式组所表示的公共区域） 2、设t=0，画出直线l0,3、观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解,4.最后求得目标函数的最大值及最小值,【作业】,五.课后作业,习题,例题分析,例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、

14、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利润总额达到最大?,列表：,5,10,4,600,4,4,9,1000,设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元,例题分析,列表：,把题中限制条件进行转化：,约束条件,10 x+4y300,5x+4y200,4x+9y360,x0,y 0,z=600 x+1000y.,目标函数：,设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元,xt,yt,例题分析,解:设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元,那么,10 x+4y300,5x+4y200,4x+9y360