复变函数教案

1、第四章教学课题：第二节 幂级数教学目的：1、理解幂级数的收敛性；2、充分理解幂级数的收敛半径、收敛域的意义；3、切实掌握幂级数和函数的解析性。教学重点：幂级数和函数的解析性；教学难点：幂级数和函数的解析性。教学方法：启发式、探究式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：幂级数是一种简单解析函数项级数，把解析函数表示为简单的幂级数，不仅有理论上的意义，更有实际的意义。教学过程：1、幂级数的敛散性：本节研究一类特别的解析函数项级数，即幂级数其中z是复变数，系数是任何复常数。注解1、这类级数在复变函数论中有特殊重要的意义；注解2、一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数；注解3、在一点解析的函数在这

2、点的一个邻域内可以用幂级数表示出来，因此一个函数在某个点解析的必要与充分条件是，它在这个点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。首先研究幂级数的收敛性，我们有阿贝尔第一定理：定理4.10 如果幂级数在收敛，那么对满足的任何 z，它都不仅绝对收敛，而且内闭一致收敛。证明：由于幂级数在收敛，所以有，因此存在着有限常数M，使得。把级数改写成则有其中已令由于级数收敛，所以此幂级数在满足的任何点 z不仅收敛，而且绝对收敛。注解：与幂级数相对应，作实系数幂级数其中x为实变数。则有推论4.11如果幂级数在发散，那么对满足的任何 z，它都发散定理4.11 设的收敛半径是R，那么按照不同情况，我们分别有：(1)、如

3、果，那么当时，级数绝对收敛，当时，级数发散；（2）如果，那么级数在复平面上每一点绝对收敛；（3）如果R=0，那么级数在复平面上除去外每一点发散。证明：（1）先考虑的情形。如果，那么可以找到一个正实数，使它满足。由于级数在时绝对收敛，所以级数在时绝对收敛，从而它在时也绝对收敛。如果，那么可以找到一个正实数，使它满足。假定级数在时收敛，那么级数在时也收敛，与所设相矛盾。（2）如果，则对任何实数x，级数都绝对收敛。如果，由于级数在时绝对收敛，所以级数在时绝对收敛，从而它在时也绝对收敛，由于的任意性，那么级数在复平面上每一点绝对收敛；（3）如果R=0，则对任何实数，级数都发散。若存在一个复数，使得收敛

4、，则由定理3.1，当时，绝对收敛，即收敛，所以存在，使得收敛，与假设矛盾。注解1、当时，对于，级数的敛散性不定。注解2、和数学分析中一样，定理3.2中的称为此级数的收敛半径；而称为它的收敛圆盘。当时，我们说此级数的收敛半径是，收敛圆盘扩大成复平面。当R=0时，我们说此级数的收敛半径是0，收敛圆盘收缩成一点。注解3、因此，求的收敛半径的问题归结成求的收敛半径的问题。和数学分析中一样，常见情况下，可以用达朗贝尔法则或柯西法则求出。对于一般情况，则可用柯西-阿达马公式求出，因此，有下面的定理：定理4.12 如果下列条件之一成立：（1） （2） （3） 那么当（1）时，级数的收敛半径；（2）当时， ；

5、（3）当时， 。注解1、公式（3）中的l总是存在的。注解2、（上极限的定义）已给一个实数序列。数满足下列条件：任给，（1）至多有有限个；（2）有无穷个，那么说序列的上极限是L，记作如果任给，有无穷个，那么说序列的上极限是，记作如果任给，至多有有限个，那么说序列的上极限是，记作注解3、（柯西-阿达马公式的证明）设，任取定z，使得。可以找到，使得。又由上极限的定义，存在着N0，使得当nN时从而因此级数在时绝对收敛。由于的任意性，得到此级数在内绝对收敛。另一方面，任取定，使得。可以找到，使得。又由上极限的定义，有无穷多个，满足，即满足因此级数在时发散，从而此级数在内发散。注解4、幂级数的和是收敛圆内

6、有定义的一个函数，我们称为和函数。定理4.13 设幂级数有收敛圆盘。那么在内，它内闭一致收敛；它的和函数解析，并且证明：我们只需证明在收敛圆盘内闭一致收敛即可。设E是这个圆盘内的任意一个紧集。于是存在着0rR，使得E包含在闭圆盘内。于是当时因为收敛，所以在E上一致收敛，因此它在收敛圆内闭一致收敛。注解：幂级数在收敛圆周的收敛与发散不定。例1、级数 的收敛半径是1。注解1、由柯西准则我们可以证明，复数项级数收敛的一个必要条件也是其通项趋近于0。注解2、例1中的幂级数在|z|=1上通项不趋近于0，所以发散。例2、级数 的收敛半径是1。在收敛圆|z|=1上，有，而级数收敛，所以此幂级数在收敛圆周上处处收敛。注解：下面将要证明，例