数字电子技术逻辑代数基础

1、数字电子技术第1秦便霧代敌基础范立南代红艳恩莉 刘明丹中国水利水电出版社第1秦便锈代敌基础1 -2逻辑代数1-1概述1.1.1数字电路和模拟电路物理量的分类：数字量和模拟量。数字量：是指变化无论在时间上还是数值上都是离散的物理量。模拟量：是指变化无论在时间上还是数值上都是连续的物理量。数字信号：用于表示数字量的信号。 模拟信号：用于表示模拟量的信号。数字电路：工作在数字信号下的电子电路。模拟电路：工作在模拟信号下的电子电路。專书主要研究数字电路的分析方法、设计方法及其应用1-1-2数制和码制1 数制数制：是指多位数码中每一位的构成方法及低位向相邻 高位的进位规则。(1)常用进制十进制：由0、1

2、 .9十个数码组成，进位规则是逢十进 一，计数基数为10,其按权展开式D = 2kixl()i热(27.125)十例如:2 x I。】+ 7 x 10 +1 x io1 + 2x io-2 + 5x io-3二进制：由0、 计数基数为2,1两个数码组成，进位规则是逢二进一， 其按权展开式为。例如:D = Yki16i例如:(1B.2)i6 = 1x161 + Bx16 + 2x161(2)常用进制之间的转换十进制转换成二进制的方法：整数部分除以2,取余数，读 数顺序从下往上；小数部分乘以2,取整数，读数顺序从上 至下。例如:(27.125) =(11011.001)余余余余余2 2 2 2 2

3、0. 125x20. 250. 25x2整数0 =K-i0. 50. 5x2整数o =K-2整数1 =K-3十进制转换成八进制的方法：整数部分除以&取余数，读 数顺序从下往上；小数部分乘以8,取整数，读数顺序从上 至下。例如:余 3 =K00. 125y8整数1二K余阿十进制转换成十六进制的方法：整数部分除以16,取余数， 读数顺序从下往上；小数部分乘以8,取整数，读数顺序从上 至下。(27.125)io1ZA-1BB“人惯用符号z A+Z A1B B1Z国外符号ABZZ图12与、或、非的逻辑符号5.复合逻辑运算：与非、或非、与或非、异或、同或 与非的逻辑运算符号：aTbab表1一5与非的真值

4、表标准符号 A oZAEZ001011101110惯用符号 A 0zB国外符号图13与非的逻辑符号或非的逻辑运算符号：a + B表16或非的真值表ABZ001010100110标准符号惯用符号+ P- z国外符号图1-4或非的逻辑符号第7章逻猶代敷基舷与或非的逻辑运算符号是标准符号惯用符号A n&21ISC D AYD国外符号图15与或非的逻辑符号:AB + CD-y表17与或非的真值表ABcDY00001000110010100110010010101101101011101000110011101011011011000110101110011110异或运算的定义是输入相异，输出为1；输入

5、相同，输出为Oo其逻辑运算符号是表18异或的真值表ABZ000011101110A= J标准符号Y4 _|惯用符号:国外符号；二丫图16异或的逻辑符号同或运算的定义是输入相同，输出为1；输入相异，输出为标准符号ABz001010100111Oo其逻辑运算符号是O 表1-9同或的真值表惯用符号-ABAYY国外符号b-图17同或的逻辑符号1.22逻辑函数的表示方法逻辑函数：当输入变量取值确定之后，输出变量取值便随之 而定，输出变量和输入变量之间是一种函数关系。逻辑函数的表示方法：逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图和 卡诺图1逻辑函数的表示方法（1）逻辑真值表：是由输出变量取值与对应的输入变量取值所构成

6、的表格。列写方法是:a）找出输入、输出变量，并用相应的字母表示;b）逻辑赋值。c）列真值表。例如三人表决电路，当输入变量A、B、C中有两个或两个以 上取值为1时，输岀为1;否则，输岀为0。表110三人表决电路的真值表ABCY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 11(2) 逻辑函数式逻辑函数式：是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻 辑关系用与、或、非等逻辑运算符号连接起来的式子，又称 函数式或逻辑式。例如：三人表决电路的逻辑函数式：Y = ABC + ABC + ABC + ABC(3) 逻辑图逻辑图:是将逻辑函数中输出变量与输入变量之

7、间的逻辑关系用与、或、非等逻辑符号表示出来的图形。三人表决电路的逻辑图:图18三人表决电路的逻辑图2逻辑函数表示方法之间的相互转换（1）真值表一数式a）找出真值表中使函数值为1的输入变量取值；b）每个输入变量取值都对应一个乘积项，变量取值为1,用 原变量表示，变量取值为0,用反变量表示。c）将这些乘积项相加即可。第7章逼轿代敷塞舷(2) 函数式一真值表首先在表格左侧将个不同输入变量取值依次按递增顺序列出 来，然后将每组输入变量取值代入函数式，并将得到的函数 值对应地填在表格右侧即可。(3) 函数式一逻辑图将函数式转换成逻辑图的方法：从输入到输出分别用相应的 逻辑符号取代函数式中的逻辑运算符号即

8、可。(4) 逻辑图一函数式将逻辑图转换成函数式的方法：从输入到输出分别用相应的 逻辑运算符号取代逻辑图中的逻辑符号即可。3.逻辑函数的两种标准形式(1)最小项和的形式最小项：设m为包含n个因子的乘积项，且这n个因子以原变 量形式或者反变量形式在m中岀现且只岀现一次，称m为n变 量的一个最小项。n变量共有个M最小项。最小项的编号规则：使最小项m值为1的输入变量取值所对 应的十进制数既为该最小项的编号，记作mi o表三变量的最小项编号表最小项使最小项值曲1的输入变量取値ABC对应的十进制数编号ABC0000mgABC0011miABC0102m2ABC0113叱.ABC1004ABC1015皿5A

9、BC1106mgABC1117my最小项的性质：a）对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最小项值为1 ；b）任意两个最小项之积为0；c）全体最小项之和为1 ；d）具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项，并消去一 个不同因子。将函数式化成最小项和的形式的方法为: 该函数式中的每个乘积项缺哪个因子，就乘以该因子加上其反 变量，展开即可。例1-1将函数式化成最小项和的形式。解：Y = ABC + AC 万=ABC（D + 万）+（A + A）B（C + C）D + A 万C 万=ABCD + ABC 万 + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD=mg + ms +

10、 ms + mi + m5 + mo=工（皿，mi, , mg，mio，mm mJ=工加（5,7,&9,10,13,15）(2)最大项积的形式最大项：设M为包含n个因子的和，且这n个因子以原变量形 式或者反变量形式在M中出现且只出现一次，称M为n变量的 一个最大项。n变量共有M个最大项。最大项的编号规则：使最大项M值为0的输入变量取值所对 应的十进制数既是最大项的编号，记作M. 1-12三变量的最大项编号表最大项使最大项值為0的输入变量取值ABC对应的十 进制数编号A-B+C0000A+B+C0011曲+頁+(70102m2A+B+C0113A+3+C1004A+B+C1015Z+J+C110

11、6J+J+C1117最大项的性质：a）对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最大项值为0；b）任意两个最大项之和为1 ；c）全体最大项之积为0；d）具有逻辑相邻性的两个最大项相乘，可合并为一项，并消去 一个不同因子。将函数式化成最大项积的形式的方法为：首先化成最小项和的 形式，然后直接写成除了这些最小项编号以外的最大项积的形 式。例12将函数式化成最大项积的形式。 解：Y = ABC + BD + aEc 初=ABC(D + 万)+(A + A)B(C + C)D + ABCD=ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD1719 + 7718

12、+ 加5 + mi + mi 3 + /7115 + 加 10= J7M(O,1,2,3,4,6,11,12,14)=(A + B + C + D)e(A + 5 + C + 万)(A +3+ + )( +B + + 万)(A+ + (? + ) (A + 5 + C + D)e(A + 5 + C + 万卜(A + B + C + D)e(A + B + C + D)1.2.3逻辑代数的基本公式、常用公式和基本定理1. 18个基本公式A 0 = 0Al = A4 + 1 = 1A + 0 = AAA = A4 + 4 = 4A = 0A + A=lB = BA A + B = B + A4

13、（B C）=（4 B） CA +（B + C）=（A + B）+CAe（B + C）= AB + ACA + BeC =（A + B）e（A + C）A B = A + B A + B = A B2. 5个常用公式AB + AB = AA +AB = AA + AB = A + BAB + AC + BC = AB + ACAB + AC + BCD = AB + AC33个基本定理代入定理：在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函 数式取代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。反演定理：在一个逻辑式丫中，若将其中所有的“+”变成 变成“ + ” ,“0”变成“T , “T变成“0” ,原变

14、量变戒权变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记 作：O 注意：a）严运算的优先顺序。b）不是单个变量上的非号应保留不变。例1 -3试用反演定理求函数式y = AB + (C +万恒的反逻辑 式。解：y =(A + B)(C + )对偶式：在一个逻辑式丫中，若将其中所有的“+”变成“” , “”变成“+” ,“ 0”变成“1” , “T 变成“0” ,所得函数式即为原厂函数式的对偶式，记作：。对偶定理：若两个函趣涵等那乘们的对偶式也相等。 例1-4试平函敎吾 _的对偶式。解歹厂+可上万+可124逻辑函数的公式化简法1.逻辑函数式的八种类型与-或式、与非-与非式、或-与非式、

15、或非-或式、与或非 式、与非-与式、或-与式、或非-或非式。与或式与非-与非式：将与或式两次求反，并用一次 德摩根定理即可。_ _例1-5试将函数式y = acd + bd + ab转换成与非一与非 式。解： Y = ACD + BDAB= ACD + BD + AB 与或式一与或非式：先将与或式化成最小项和的形式，然 后直接写成除了这些最小项编号以外的那些编号的最小项的 或非形式。= ACDBDAB例1-6试将函数式Y = AC + BC + AB转换成与或非式。解： Y = AC + BCAB= A（B + 5）C +（A + A）BC + AB（C + C）=ABC ABC ABC AB

16、C ABC ABC=mi + ms + mi + m3 + m2-mo + tri4 + m6=ABC + ABC + ABC3. 逻辑函数的公式化简法：是指熟练运用所学基本公式和 常用公式，将一个函数式化成最简形式。与或式最简形式的标准是：该与或式中包含的乘积项的个数 不能再减少，且每个乘积项所包含的因子数也不能再减少。常用公式化简法：并项法、吸收法、消因子法、消项法、配项法。并项法：AB + AB = A例如：Yx = ABC + AB + ABC =（ABC+ ABC）+ AB = AB + AB = By2 = ABC + ABC + ABC + ABC =（AB + AB卜 C +（

17、AB + AB）C =AB C +（A B）C = CY3 = AB + BC + ABC =（A + C）B + ABC = ACB + ABC = B吸收法：A + AB = A 例如：可4 +而+ B）二 AB + CYl = AB + ABC + ABCD = ABy2 = AB + C + AB cf A + C5 += AB + C +（AB +消因子法：A + AB = A + B例如:匕=AB + ABC + ABDE = AB + C + DEy2 = AB 4- BC + AC = AB 4-（B + A）C = AB + ABC = AB + CY3 = AB + ABC

18、 + ACD = AB + C + ACD = AB + C + AD代 + 咚 + OICQ, (伐 + 2a+ 2心二 + PICQ+ oa$ I+ 21+ Q9V + O + 2唱 +U唱 n 优 + 2g(u + 二 + o +(2 + o)唱 Hl+ 心g + o + 唱“匚“吕凰g E+ug ph BQU+ Q (0 E+U;SU+旦哩+a+丄焉+ 8V) H so + Gap + Q 伐 +uu +U0V HHG8V + ogp n S3 + HGPQV +ugy n 匚“ s亘op + g; 8m +UP + gp 口故 op + 嘎 Hug n g5坦逻y 9 = ABC +

19、 ABC + ABC + ABC=(ABC + ABC)+(ABC + ABC)+ aBC + ABC)= BC + AC + ABY = BD + AD + AC + CD + B(A + D)+ABCD + ABCE= BD + AD + AC + CD + AB + BD + ABCD + ABCE= B + AD + AC + CD + AB + ABCD + ABCE= B + AD + AC + CD=B+AD+AC1.2.5逻辑函数的卡诺图化简法1.变量的卡诺图：用个小方块表示n变量的全部最小项，并 使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起 来，所得图形称为n变量的卡诺

20、图。0AB nil0mo1,机3W21ABAB1图19二变量卡诺图图110三变量卡诺图图1门四变量卡诺图图五变量卡诺图2逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换函数式转换成卡诺图：首先将该函数式化成最小项和的形 式；然后将该函数式中包含的最小项在卡诺图相应位置 处填仁 其余位置处填0。例1-7试画出逻辑函数Y = ABCD + BCD + ABD + CD 的卡诺图。解:11 10010011001110011图113例112的卡诺图00 01 11 1000解：01由卡诺图写函数式的方法：将卡诺图中所有填1的小方块所表示的最小项相加即可得到相应的函数式。 例8卡诺图如图13所示，要求写出其函数式。解計Y BC万 + ABCD + 亦乙万 + 亦C万 + ABC万 + ABC万 + ABC万 + ABCD3. 一般逻辑函数的卡诺图化简卡诺图化简法：是指利用卡诺图对逻辑函数进行化简。（1）合并最小项规则a）具有逻辑相邻性的2个最小项相加，可合并为1项，消去1 对不同因子，保留公共因子。b）具有逻辑相邻性的4个最小项相加，且组成矩形组，可合 并为1项，消去2对不同因子，保留公共因子。c）具有逻辑相邻性的8个最小项相加，且组成矩形组，可合并 为1项，消去3对不同因子，保留公共因子。d）昙有逻辑相邻性的个最小项相加，且组成矩形组，可合并 込为一项，消去n对不同因子，保