高考数学_聚焦高考数列考点

1、聚焦高考数列考点聚焦高考数列考点 浅谈数学数列备考浅谈数学数列备考 青海民族大学数学与统计学院夏文涛 数列是高中数学的重要内容，在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考查内容 之一。2010 年高考数学试题，继续体现“稳中微变，创新发展”命题思路，命题坚持以稳 定为主，注意适度创新，做到“命题突出数学学科的特点，对数学基础知识和基本技能的 考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，注重文理差异，注重知识内在联系的考 查，注重对中学教学中所蕴涵的数学思想和方法的考查。” 为了在高考中取得好成绩，考生首先必须复习、掌握好数列这一板块及其相关的知识 技能，同时必须了解近几年来高考中数列试题的能力

2、考查特点，掌握相关的应对策略，以 培养提高解决高考数列问题的能力。笔者结合自己高考备考教学实践，认真剖析该部分重 要高考考点，并从最近 5 年高考试卷中精选数列考点经典试题，对每一个考点都提供常见 实用的做题方法（即通性通法），力求对高考备考的学子有所裨益。 考点考点 1:1: 数列的基本概念数列的基本概念 数列的基本概念包括理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给 出数列的一种方法，并能根递推公式据写出数列的前几项，理解等差数列的概念，理解等 比数列的概念。 数列的基本概念在近 5 年的高考中基本上在选择题、填空题中考查，主要考查等差数 列和等比数列的概念及其应用。在近 5

3、年高考试题中，对数列的基本概念的考查形式多样、 考查方式较灵活、内容较综合，要求考生在认真审题的基础上，充分观察和想象，然后利 用所学知识解决新情景下的数列试题。 1（2009 湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三 角形数;类似地，称图 2 中的 1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形 数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 解析：解析：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的 数列通项，则由可排除 A、D，又由知

4、必为奇数， 故选 C。 答案答案： C 评注评注：数列的基本概念类型的试题重在基本概念，重在观察类比，考生应该把此类实 际问题转换成数学数列问题，然后借助所学知识解决。 考点考点 2 2 : 数列的通项公式数列的通项公式 高考数列的通项公式考点包括：、等差数列通项公式，、等比数列通项公式， 、给出递推公式，求通项公式。其中、主要是考查基本量问题 ，在等差(比)数列中， 常会在首项 a1，第 n 项 an，项数 n，公差(比)d (q) ，前 n 项和 Sn 之间，给出一些已知条 件，从而得出这五个量之间的某些关系，可以求出其他的一些量。一般在解答题中考查， 此类考题较难，常常作为压轴题。考虑到

5、文理科的差异，文、理数学卷稍有区别，文科数 学解答题常考等差、等比数列综合题，而理科数学解答题常常考递推公式类题。 （）最近）最近 5 年全国高考等差数列、等比数列通项公式经典真题精析年全国高考等差数列、等比数列通项公式经典真题精析 从近 5 年全国高考试题来看，等差、等比数列部分基本量问题考查较多。数列中项类 型题目的考查也尤为频繁，连续几年都不间断考查，考生在复习备考一定要注意两点： 、当是奇数时，等差中项在解决问题的妙用，即，、若 m+n=p+q，则 an+am=ap+aq (m，n，p，qN+)；等比中项类型题目也尤为频繁，此类题目一定要注意正负 问题，做好取舍是关键。值得一提的是，由

6、国家考试中心命制的 2010 年全国卷 I、II 分别 考查了等比中项、等差中项，足见中项之热。另外等差、等比数列的小综合题也时有出现， 要引以足够的重视。 2（2010 全国卷 II）如果等差数列中，+=12，那么+=（ ） （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 解析解析：观察到是、中项，有等差中项性质得，由等差中项在解决 （要求是奇数）的妙用， 答案答案： C 评注评注：数列的基本概念类型的试题重在基本概念，重在观察类比，考生应该把此类实 际问题转换成数学数列问题，然后借助所学知识解决。 3（2010 全国卷 I）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则 =( ) (A

7、) (B) 7 (C) 6 (D) 解析解析：由等比数列的性质、等比中项的性质知:， 10，所以， 所以 评注评注:本题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，如 果在 高考复习中对等比中项相当熟悉，那么解决此题易如反掌。 4（2010 全国卷 II 文）已知是各项均为正数的等比数列，且， （）求的通项公式；（）略。 解：解：（I）设公比为 q，则，由已知有 化简得 由所以 评注评注: 本题是等比数列通项公式问题，体现高考的“文理差异”，此题式子的呈现形 式很美，但也给计算能力稍弱的文科考生带来麻烦，只要认真计算，肯定能拿满分。 （IIII）最近）最近 5 年全国高考给

8、出递推公式求通项公式经典真题精析年全国高考给出递推公式求通项公式经典真题精析 给出递推公式求通项公式是高考数列解答题的常见形式，往往是数列压轴题的第一小 题。此类题目思维难度较大，但解决方法一般不唯一，为了降低难度，让不同层次的考生 得到应得的分数，往往都给了相关的提示，考生只需合理利用好提示，就能顺利解答。用 好提示，构造等差、等比数列，是解决最近几年高考此类试题的基本方法和思路。 5（2009 全国卷 II 理）设数列的前 n 项和为，已知 （）设 （）求数列a 的通项公式 解解：（）由= ，有，两式相减得 变形为，即，（n2） 由= ，得，于是所以数列是首项为 3，公比为 2 的等 比数

9、列。 （）由（1）得，即，所以，且 于是是首项为，公差为的等差数列，所以 ，所以 考点考点 3:3: 数列的求和数列的求和 数列的求和考点包括：、等差数列求和，、等比数列求和，、给出递推公式， 先求通项公式，再求和。通项公式是数列求和的基础和前提，其中、主要是考查基本 量问题，注意数列求和思想方法，特别是公式的使用条件，一般在解答题中考查，此类 考题较难，常常作为压轴题。高考中求和常考查裂项求和、等比乘等差类型求和、对通项 进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。 从最近 5 年高考试题来看，倒序相加法、错位相减法等基本的求和方法也时常考查， 等差乘等比类型数列的求和考查十分频繁，而此类

10、型试题来源于课本单元总复习 B 组题， 足见在高考备考中课本的复习的重要性。 （）最近）最近 5 5 年全国高考等差数列、等比数列求和经典真题精析年全国高考等差数列、等比数列求和经典真题精析 6（2009 宁夏海南卷理）等比数列的前 n 项和为，且 4，2，成等差数列。 若=1，则=( ) A.7 B.8 C.15 D.16 解析解析：本题是等差、等比数列的小综合题，要求考生具备熟练运用基本公式求答的能 力。 4，2，成等差数列， 。答案： C （IIII）最近）最近 5 年全国高考给出递推公式求和经典真题精析年全国高考给出递推公式求和经典真题精析 7（2009 全国卷理）在数列中， （I）设

11、，求数列的通项公式 （II）求数列的前项和 解解 ：（I）略。（II）由（I）知，= 而，又是一个等差乘模等比型，方法是错位相减法， 易得 = . 考点考点 4:4: 数列函数不等式综合数列函数不等式综合 最近五年来，数列在很多高考试卷中常常作为压轴题，题目形式多是在递推公式基础 上，要求考生先求出通项公式或先猜想、再用数学归纳法证明，然后在考查数列函数不等 式的综合。解决数列函数不等式的综合，常常的方法有：数学归纳法、构造函数、不等式 放缩法等。此类试题难度较大，为基本不得分题目，考生要在平时的复习备考中留心，并 在练习中认真体会，争取突破此难点。数列、函数和不等式综合题，主要考查考生推理论

12、 证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视 野。数学归纳法是研究数列的有力工具，应该在平时的复习备考中留心，并在练习中认真 体会。 8（2010 全国卷 II 理）已知数列的前项和 （）求；（）证明： 解：解：（I） 所以 （II）当 n=1 时， 当时， =所以，当 评注评注：本题是数列、极限、不等式综合题，数列大题中出现数列极限在近年全国卷中 出现尚属首次，考生要高度重视；本题（）要运用，本题（II）除 了用答案所给方法外，还可以用数学归纳法证明，留给考生自己练习。 9（2008 全国卷 I）设函数数列满足， （）证明：函数在区间是增函数； （）证明：

13、； （）设，整数证明： （）（）证明:（略) （）证明证明：（用数学归纳法）（i）当 n=1 时， ，由函数在区间是增函数，且函数在 处连续，则在区间是增函数，即 成立； （）假设当时，成立，即 ， 那么当时，由在区间是增函数，得， .而，则， ，也就是说当时，也成立； 根据（）、（）可得对任意的正整数，恒成立. 评注评注：数学归纳法是解决数列函数不等式综合题的常用方法，理科数学考试大纲中要 求理考生能数学归纳法证明一些简单的数学命题，考生在平时考试中要注意运用体会，认 真总结方法，力争高考出现此类试题能够拿到理想的分数。 高考遵循一定的命题规律，高考试题具有一定的连续性、稳定性，同时也在适度地创新发 展，最近 5 年的高考体现的特点是稳中微变，创新发展。作为一名高考生，应该必须适度 研究高考，特别重视历年的高考真题，大做特做高考题。在做高考真题中体会高考，领会 高考的命题思想，巩固数学基础知识；这样，在平时复习中，扎扎实实搞基础，老老实实 做真题，避免陷入模考、大考的题海中，努力做到把平时当高考，那么就会在高考时，你 就会把高考当平时，以一个平常心答完人生的大考卷。 数列是高中数学的重要内容，也是高考数学的重要考查内容。在最后 100 多天的高考 备考复习中，一方面、我们要更进一步牢牢抓