《数值计算方法》考试大纲

1、数值计算方法考试大纲一、 考试标准(命题原则)：1、考察学生对数值计算方法基础知识（包括基本概念、基本内容、基本定理）的掌握程度以及运用已掌握的知识分析和解决问题的能力，衡量学生的数值分析及计算的能力。2、题型比例客观题（判断题、填空题与选择题）约30-40%解答题（包括证明题）约60-70%3、难易适度，难中易比例：容易：40%，中等：50%，偏难10%。4、考试知识点复盖率达80%以上。二、 考试时间：120分钟（2个小时）三、 考试对象：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科生四、 考核知识点：第一章 数值计算中的误差一、知识点：误差的种类与来源，绝对误差与相对误差，有效数字及其与误

2、差的关系，误差的传播与估计，算法的数值稳定性二、基本要求1 了解误差的种类来源2 理解绝对误差与相对误差的概念及计算3 理解有效数字及其与误差的关系4 了解误差对计算的影响5 理解稳定性概念第二章 插值法一、 知识点：插值多项式的存在唯一性，Lagrange插值，插值余项。均差与Newton插值公式：均差的定义及其性质，Newton 插值公式及其余项。差分与等距节点插值公式：差分的定义及其性质，Newton前插公式， Newton后插公式分段低阶多项式插值，分段低次插值：分段线性插值，分段三次Hermite 插值。三次样条插值：三次样条函数，三转角方程，三弯矩方程，三次样条插值的收敛性，数值微

3、分二、基本要求1 掌握Lagrange插值多项式的构造，插值多项式的存在唯一性，插值余项及应用2 掌握Newton插值多项式的构造与差商、差分的性质及应用3 掌握分段低阶插值多项式的构造及特点4 掌握三次样条插值多项式的构造、特点及解法5 理解数值微分的思想，掌握几个低阶的插值型求导公式及应用第三章 曲线拟合的最小二乘法一、知识点：最小二乘法、最小二乘解的求法、加权最小二乘法、利用正交函数作最小二乘拟合 二、基本要求1 掌握最小二乘法、最小二乘解的求法及应用2 掌握加权最小二乘法3 掌握利用正交函数作最小二乘拟合第四章 数值积分一、 知识点：数值求积的基本思想，代数精度的概念，插值型求积公式，

4、Newton -Cotes公式，Cotes系数，偶数阶求积公式的代数精度，几种降低求积公式的余项，复化求积法及其收敛性。Romberg算法：梯形法的递推化，Romberg公式，Gauss公式：Gauss点，正交多项式，Grass-Legendre公式，Gauss公式的余项，Gauss公式的稳定性，带权的Gauss公式Gauss公式二、基本要求1 理解数值求积的基本思想，掌握代数精度的概念，掌握插值型求积公式及余项表示及应用2 掌握牛顿柯特斯公式、几个低阶的复化求积公式及应用，了解Romberg算法思想3 理解Gauss型求积公式的思想，掌握Gauss型求积公式的构造第五章非线性方程组的数值解法

5、一、知识点：根的搜索：逐步搜索法，二分法，迭代法：迭代过程的收敛性，迭代公式的加工，Newton法：Newton公式，Newtonn法的几何解释，Newton法的局部收敛性，Newton法应用举例，Newton下山法，正弦法与抛物线法， 迭代法的收敛阶和Aitken加速方法二、基本要求1 掌握二分法2 掌握一般迭代法的构造和收敛性条件3 掌握Newton法的构造和收敛性特点及应用4 掌握正弦法与抛物线法迭代公式的构造及应用5迭代法的收敛阶和Aitken加速方法第六章方程组的数值解法一、 知识点：Grass主元素消去法：完全主元素消去法，列主元素消去法，Gauss消去法的变形：直接三角分解法，平

6、方根法，追赶法，解线性方程组的迭代法，Jacobi迭代法与 Gauss-Seidel迭代法的收敛性：迭代收敛的基本定理，不可约对角优势阵和严格对角优，解线性方程组的超松驰迭代法；超松驰迭代法的分量和矩阵表示形式，向量和矩阵的范数：向量和矩阵的范数的定义及其性质，误差分析：矩阵的条件数，舍入误差。二、基本要求1 掌握Gauss消去法2 掌握选主元素的Gauss消去法3 掌握矩阵的三角分解及应用4 掌握解三对角线方程组的追赶法和解对称正定矩阵方程组的平方根法及应用5 掌握向量、矩阵范数的定义和矩阵条件数的概念及计算6 掌握解线性方程组的迭代法， 掌握Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代

7、法及应用， 掌握迭代法的收敛条件及应用， 理解超松弛迭代法的思想7 了解解非线性方程组的迭代法8 掌握病态方程组和迭代改善法第七章 常微分方程的数值解法一、知识点：Euler方法：Euler公式，后退的Euler公式，梯形公式，改进的Euler公式，Euler两步公式。Runge-Kutta方法：Taylor级数法，Runge-Kutta方法的基本思想，二阶Runge-Kutta方法，三阶Runge-Kutta方法，四阶Runge-rutta方法，变步长的Runge-Kutta方法。线性多步法：基于数值积分的构造方法，Adams显示公式，Adams隐式公式，Adams预测-校正系统，基于Taylor展开的构造方法，Milne公式，算法的稳定性和收敛性，方程组及高阶方程的数值解法，边值问题的数值解法二、基本要求1 掌握Euler方法及应用2 掌握Runge-Kutta法及应用3 掌