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1、嫦娥三号软着陆轨道优化模型摘要本文针对嫦娥三号软着陆轨道最优设计问题，确定了近、远月点的位置与速度，建立了嫦娥三号六个阶段的最优轨道控制模型，提出了相应的最优控制策略，最后做出了误差分析和敏感性分析。针对问题一，本文建立空间直角坐标系，在着陆准备轨道平面内建立动力学二阶常微分方程模型，利用微元法的思想，求得近月点的经纬度为（19.51W，31.29N），远月点的经纬度为（160.49E，31.29S）。利用开普勒第二定律，得出嫦娥三号在近月点和远月点的速度大小分别为1692.2m/s,1614.4m/s，速度方向与椭圆切线方向相同。针对问题二，分别确定了嫦娥三号软着陆六个阶段轨道的最优控制策略

2、。对于着陆准备轨道，根据燃耗量最小的原则，借鉴霍曼转移模型，得出嫦娥三号在此阶段的轨道是月心为焦点，长半轴为1794.5km，短半轴为1794km的椭圆。对于主减速阶段，根据动力学原理，建立轨迹优化模型，用改进的遗传算法求解，得到该阶段最低燃耗量为1060.71kg，轨道形状为类抛物线。对于快速调整阶段，将水平偏移量作为优化目标，建立微分方程模型，得到最小的水平偏移量276.3米。利用附件中的数字高程图，分析得到各点的海拔。在粗避障阶段，提出崎岖度的概念，建立基于崎岖度最小的水平轨道优化模型和基于燃耗量最小的垂直轨道优化模型，得到嫦娥三号在此阶段的水平位移为234.31米，最小燃耗量为69.3

3、8千克。对于精避障阶段，建立基于月面坡度最小、着陆器燃耗量最小的轨道优化模型，解出嫦娥三号水平总位移为5米，最小燃耗量为14.29千克。在缓速下降和自由落体阶段，利用动力学公式求解出运动时间为13秒。针对问题三，通过对着陆点和其它各关键点的位置进行误差分析，发现本文确定的着陆点与实际着陆点相差80千米，纬度相差2.14，偏差可以接受。最后依据主发动机作用力与运动反方向的夹角的变化对主减速阶段和快速转移阶段进行了敏感性分析。关键词：优化模型 微分方程 遗传算法 MATLAB仿真34一、问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行

4、质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段

5、，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二、问题分析本题要求我们建立数学模型，研究嫦娥三号的着陆准备轨道，着陆轨道与6个阶段的最优控制策略，并对建立的模型做相应的误差分析和敏感性分析。2.1问题一的分析问题一要求建立模型，确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，并且求解出嫦娥三号在近、远月点的速度大小和方向。我们将着

6、陆过程看做发射的逆过程，将预定着陆点到其正上方3000米视为直线运动，将预定着陆点正上方3000米到近月点的轨迹视为类抛物线。以月心为坐标原点，月心与近月点之间的连线为轴，着陆准备轨道所在平面为平面，建立空间直角坐标系。再建立平面直角坐标系研究类平抛过程，建立微分方程模型，求解得到近月点的经纬度。对近月点的位置进行几何分析，得到远月点的坐标和经纬度。嫦娥三号在近月点和远月点的运动方向均与椭圆轨道的长轴垂直，通过求得的近月点和远月点的具体位置，可以得到它在这两个点的速度方向。利用面积速度定理和开普勒第二定律，求解出嫦娥三号在近月点和远月点的相应速度大小。2.2问题二的分析问题二要求建立模型，确定

7、嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。首先，确定嫦娥三号的准备着陆轨道，建立霍曼转移模型，得出嫦娥三号的椭圆轨道。主减速阶段是软着陆过程用时最长，推进力消耗燃料最多的阶段。该段的主要任务是减速使嫦娥三号到达3km的速度为57米/秒。因此尽量减小燃料消耗是该阶段的关键问题。利用标称轨道制导方法对嫦娥三号进行最优控制，建立含有约束条件的轨迹优化问题模型，用改进的遗传算法来求解该优化问题。快速调整阶段的主要任务是调整姿态。因此优化调整姿态时水平移动距离最小。建立水平偏移量最小的优化控制模型，并通过仿真求解出水平最小偏移量。粗避障阶段，用MATLAB对附件中给的数字高程图进行处理，得到嫦娥三号

8、的在此过程的位移，将水平运动和竖直运动分开考虑，用崎岖度函数表示水平方向的优化模型，用燃耗量最小表示竖直方向的优化模型。精避障阶段最优控制策略与粗避障的方法相似。在嫦娥三号缓速下降阶段和自由落体阶段，利用动力学可以求解缓速下降的推力和时间。2.3问题三的分析 问题三要求对问题二中设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。对着陆点和其它各阶段的关键点的位置做误差分析，从而判断模型的准确性。在主减速阶段和快速转移阶段中，分析主发动机的作用力与运动反方向之间的夹角的变化，判断该夹角在两种不同阶段的敏感性。三、模型假设1、主减速阶段姿态调整发动机不工作。2、嫦娥三号到达近月点时，速度方向与

9、该点在轨道的切线方向一致。3、假设嫦娥三号在类平抛运动中沿某一经线飞行。4、假设类平抛运动的平面与椭圆轨道在同一平面。5、嫦娥三号运动的任意过程中，均不考虑向心力。4、 符号说明符号说明主发动机提供的减速动力嫦娥三号卫星运行中的质量主发动机提供的加速度嫦娥三号运行的速度主发动机提供的加速度与运行速度反方向的夹角嫦娥三号至月球中心的距离（注：其它未提及的符号在文中说明）五、模型建立与求解5.1问题一的模型建立与求解问题一要求确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。我们认为由以下步骤完成：步骤一：以月心为坐标原点，月心与近月点之间的连线为轴，着陆准备轨道所在平面为平面

10、，建立空间直角坐标系。 步骤二：确定近月点的位置。将着陆过程看做发射的逆过程，将预定着陆点到其正上方3000米视为直线运动，将预定着陆点正上方3000米到近月点的轨迹视为类抛物线。分析这两个过程，并结合模型假设，得到近月点的经纬度。步骤三：对近月点的位置进行几何分析，确定出远月点的坐标和经纬度。步骤四：求解嫦娥三号在近月点及远月点的相应速度大小和方向。5.1.1 近月点位置微分方程模型的建立首先确定近月点的位置。我们将软着陆过程看做发射的逆过程，通过分析发射过程来推算出近月点的位置。为了简化模型，我们假设从快速调整到自由落体5个阶段嫦娥三号均只在竖直方向上运动。嫦娥三号的预定着陆点为月球表面上

11、（19.51W，44.12N）的点，因此设距离该点高为3000米的点为，近月点为点,近月点与月心连线与月面的交点为点。从近月点到点的轨迹为类抛物线，为了分析问题比较方便，以月心为坐标原点，月心与近月点之间的连线为轴，着陆准备轨道所在平面为平面，建立空间直角坐标系。如图1。 图1 嫦娥三号轨道示意图点的坐标为（0,0,1752），求出点到点的类抛物线轨迹就可以确定点、点的相对位置和点的坐标，从而确定出点的经纬度，下面对间的轨迹进行求解。 嫦娥三号在主减速阶段受到月球引力和减速动力两个力的影响，所以加速度可以分解为指向月心和沿运动轨迹切线两个方向的加速度，分别记为和，嫦娥三号运动速度为。假设运动方

12、向与水平方向夹角为，重力加速度与水平方向夹角为，加速度与速度的反方向的夹角为。令的初值为0.1，通过递增值来改变嫦娥三号在距离月面3km处的速度大小。当嫦娥三号距离月面3km处的速度大小达到57m/s时，确定此时的角的大小。、和在运动的过程中不断变化。在类抛物线运动中选取任意一点，进行运动学分析，画出示意图如图2，图2中实线表示月面，虚线表示运动轨迹。图2 主减速阶段嫦娥三号在任意一点的运动示意图对图2进行运动学分析并建立微分方程模型： （1）其中表示上述受力分析点的水平速度，表示其竖直速度。水平速度、竖直速度与合速度的关系为： （2）根据已知条件，速度分量和的初值、大小为： （3）根据牛顿第

13、二定律得到减速动力和沿运动轨迹加速度的关系： （4）在文献1中给出了燃耗最优着陆过程中推力奇异区间不存在的证明，即在某一时间段内只能取1500N或7500N这两个值。表示嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量即为2.4吨，表示嫦娥三号运动过程中的质量，是单位时间燃料消耗的公斤数，表示比冲，它是对一个推进系统的燃烧效率的描述。首先定义末速度，在每一个阶段结束时，嫦娥三号对应的速度即为该阶段的末速度。下面以主减速阶段末速度大小无限接近于57m/s为目标函数建立目标规划模型。 （5） （6）其中，和分别表示主减速阶段末速度在轴和轴的分量，表示嫦娥三号运动的任一时刻，表示加速度和速度的反方向的夹角，通过仿

14、真得到最佳的角。表示时刻嫦娥三号距离月面的高度。5.1.2 近月点微分方程模型的求解（1）近月点的位置根据（1）式至（6）式，利用MATLAB（程序1，2）可以求解出近月点的经纬度为（19.51W，31.29N）。最优夹角为6.13。（2）远月点的位置根据近月点的位置确定远月点的位置。近月点高度为15公里、远月点高度为100公里，且嫦娥三号的着陆准备轨道是以月心为焦点的椭圆。远月点距离月心的距离为1837km。远月点在图1空间直角坐标系中的坐标为（0,0,1837）。远月点的经纬度为（160.49E，31.29S）。（3）嫦娥三号在近月点和远月点相应速度的大小和方向嫦娥三号在这两点的运动方向均

15、为与长轴垂直的方向，并且在近月点的速度方向与类抛物线运动的初速度方向相同，远月点的速度方向与该方向相反。结合空间直角坐标系，可以得到，沿近月点速度方向的单位方向向量为（1,0,0），即与轴正方向平行。沿远月点速度方向的单位方向向量为（-1,0,0），即与轴负方向平行。下面来确定嫦娥三号在近月点和远月点相应速度大小。设月球的质量为，嫦娥三号的着陆准备轨道周期为，该椭圆轨道半长轴为，半短轴为，嫦娥三号运行时的线速度为，面积速度为，为嫦娥三号到月心间的距离。根据面积速度公式2： （7）面积速度公式是开普勒第二定律的定量形式，再根据开普勒第二定律，嫦娥三号在单位时间内扫过的面积是常数，在周期内，嫦娥三

16、号扫过的面积等于椭圆面积，所以有： （8）因而： （9）由解析几何可知，其中是椭圆的半焦弦，代入（9）式得： （10）根据牛顿力学公式3： （11）联立（10）和（11）式得到： （12）是万有引力常量，其值为。代表月球的质量，题目中已给出为。根据对着陆准备椭圆轨道的分析计算，得到半焦弦为1793.5km，近月点，远月点的月心距分别为。将这些数值代入（12）式可以对应求得近月点，远月点的速度大小分别为：5.2问题二的模型建立与求解问题二要求建立数学模型，确定嫦娥三号的着陆轨道和在软着陆过程中的六个阶段的最优控制策略。根据模型假设，嫦娥三号做类抛物线运动时，它的运动轨迹和它在椭圆轨道上的运动轨迹

17、位于同一平面，即图1中的平面上。在该坐标系下分析6个阶段的轨道和最优控制策略。图3 嫦娥三号六个阶段运动示意图5.2.1 着陆准备轨道着陆准备轨道的近月点是15km，远月点是100km。近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点的位置。（1） 霍曼转移模型的建立在进入着陆准备轨道之前，嫦娥三号运动的轨迹为以月心为圆心，远月点到月心的距离为半径的圆。在太空动力学中，霍曼转移轨道4是一种变换嫦娥三号轨道的方法，途中只需一次引擎推进，相对地节省燃料。图4 霍曼转移轨道图4表示嫦娥三号从高轨道也就是环月轨道进入霍曼转移轨道即椭圆轨道。嫦娥三号在原先轨道上瞬间减速后，进入一个以月球为焦点的

18、椭圆形着陆准备轨道，其中，近月点是15km，远月点是100km。霍曼转移轨道也就是着陆准备轨道上嫦娥三号的总机械能等于动能和重力势能的和，也等于当该轨道半径为半长轴时的重力势能的一半，即： （13）轨道能量守恒方程为： （14）其中，为嫦娥三号的速度，为月球的标准重力参数，为嫦娥三号至月球中心的距离，为嫦娥三号着陆准备轨道的半长轴。假设速度改变瞬间完成，霍曼转移所需的速度变化量为： （15）（2） 霍曼转移模型的求解和分别对应近月点，远月点的月心距。即，。在第一次减速过程中，损失的能量为： （16）求得轨道转移过程中损失能量最小为23628J。如图4可求得霍曼转移轨道的轨迹方程为： （17）所

19、以，第一阶段的轨道为以月心为焦点，半长轴为1794.5km，半短轴为1794km的椭圆，此时满足消耗能量最小的最优控制策略。5.2.2 主减速段主减速段的区间是距离月面15km到3km。该阶段的主要任务是减速，实现到距离月面公里处嫦娥三号的速度降到57m/s。（1） 主减速段轨道优化模型的建立由于嫦娥三号的预定着陆点海拔为-2641m，所以假定3km为嫦娥三号距离着陆点海拔的相对高度。而由问题一可知，嫦娥三号在主减速段移动的水平距离为388km，虹湾着陆区是长为356km、宽为91km的长方形区域，假设从15km开始进入主减速段时，地面海拔高度为0。所以类抛物线运动在竖直方向运动了14641米

20、。下面利用标称轨道制导方法5对嫦娥三号主减速段进行最优控制并确定该阶段的轨道。标称轨道制导方法是指按照一定的目标及约束条件预先设计一条标称轨迹，将着陆器的位置和速度的测量信息与标称轨迹相比较，导引着陆器飞向着陆目标点。标称轨道制导由于其在燃耗最优、可实现定点着陆以及对轨道约束的满足性等方面的优势，是软着陆较为理想的制导方法。首先不考虑月球自转，并且忽略其它天体的引力影响。在月心坐标系中，着陆器的动力学方程为： （18）（18）式中：分别为嫦娥三号的位置和速度在各坐标轴方向下的分量，为制动发动机的推力大小，为制动发动机推力在各坐标轴方向下的分量，为嫦娥三号和月心间的距离，为嫦娥三号质量，为万有引

21、力常量，为月球的质量，为发动机比冲。针对以上着陆器在坐标系下的三维动力学模型，给出含有约束条件的定点软着陆轨迹优化问题模型。若使着陆过程燃耗量最小，可选择着陆器终端质量最大为目标函数，由质量方程可得： （19）则末质量最大指标等价于： （20）主减速段的轨迹需满足的初始和终端状态条件为： （21）（3） 主减速段轨道优化模型的求解此问题以主减速段轨迹的初始状态，终端状态为条件，以推力的大小和方向为决策变量的非线性优化问题。由于目标函数复杂，决策变量过多，无法用传统的非线性规划方法求解，所以本问题应用遗传算法来求得最优解。遗传算法6是一种基于自然选择原理和自然遗传机制的搜索算法，它是模拟自然界中

22、的生命进化机制，在人工系统中实现特定目标的优化。传统遗传算法是对单目标函数的优化算法，无法适应本题的双目标优化问题，所以本文对遗传算法做出改进，将目标函数的适应度值进行加权求和，再应用传统遗传算法进行求解（程序3）。其实现方法如下：（1）确定推力大小和方向的取值范围，将推力大小和方向按每60秒的间隔进行编码，形成染色体。（2）对每一解的两个适应度函数进行加权求和，得到总适应度函数，适应度函数应为非负函数。（3）确定进化参数群体规模、交叉概率、变异概率、进化终止条件。下面给出改进遗传算法的算法框图：图5 改进遗传算法的算法框图（4） 结果分析将改进遗传算法得到的主减速段的最优轨道的相关信息列表见

23、表1，并且我们定义主减速阶段结束时嫦娥三号的速度为末速度。表1 主减速段最优轨道相关参数燃耗量末速度大小末速度方向飞行时间飞行距离终点经纬度1060.71kg56.06m/s74.66464s468.96km19.51W，46.76N 由表1可以得到结果：该运行轨道初始点的经纬度为（19.51W，31.29N），终点的经纬度为（19.51W，46.76N）。在该运行轨道下，飞行距离为468.96km，飞行时间为464秒。在距离月面3000米上空时，末速度的大小为56.06m/s，末速度与竖直向下方向夹角为74.66。最低燃耗量为1060.71kg。所以，该阶段末态的嫦娥三号质量为1.34吨。主

24、发动机的推力随时间变化的曲线图，如下所示 图6 主发动机推力随时间变化曲线从图6中我们可以看出，主发动机在主减速阶段0到60秒区间的推力为1500N,随后，推力突然增大到7500N并在此阶段一直维持这个值。发动机推力与速度的夹角，如下图所示图7 发动机推力与速度反方向的夹角变化曲线由图7可以看出，发动机的推力与速度反方向的夹角随时间的增长而增大，且变化过程比较平缓，值也比较小。图8 嫦娥三号主减速阶段运动轨迹的动态模拟图图8是我们的仿真结果，由图可以看出主减速阶段的轨迹的确是一个类抛物线。5.2.3 快速调整段快速调整段的主要任务是调整探测器姿态，要求嫦娥三号从距离月面3km到 2.4km处将

25、水平速度减为0m/s。（1）快速调整段优化模型的建立根据主减速段的结果可知，当嫦娥三号距离地面3000米时，速度大小为57m/s，速度方向与竖直向下方向的夹角为74.66 度。假设姿态调整发动机的合力方向始终与运动方向相垂直，主发动机的减速动力方向与运动方向的反方向夹角为只研究水平方向，受力图如图7。 图9 快速调整阶段嫦娥三号受力分析示意图在快速调整阶段中，主要优化目标为调整姿态需要移动的水平距离，约束条件为水平方向的速度大小、速度与竖直方向的夹角等。建立水平偏移量最小的控制优化模型： (22) (23)对于竖直方向，动力学方程为： (24)我们可以求得快速调整段的末速度。（2）快速调整段优

26、化模型的求解对以上过程进行仿真，得到快速调整段最优轨道的相关信息列表见表2。表2 快速调整段最优轨道相关参数燃耗量末速度大小末速度方向飞行时间水平偏移距离42.34kg4.90m/s046s276.3m从表2看出，嫦娥三号在快速调整段，调整力的大小和方向，可以得到最小水平偏移距离为276.3米，燃耗量为42.34kg，此时嫦娥三号卫星的质量为1.30吨。末速度竖直向下，大小为4.9m/s，飞行时间为46秒。通过仿真，我们得到主发动机的控制方案：在1至42秒反推力为1500N，在42秒至46秒反推力为7500N，力与运动反方向夹角始终为6.02。5.2.4 粗避障段粗避障段的范围是距离月面2.4

27、km到100m，此阶段要求避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m处悬停，并初步确定落月地点。在快速调整段我们得到卫星位于2.4km高度时，速度大小为4.9m/s，方向竖直向下。为了便于分析，我们把嫦娥三号在此阶段的水平和竖直方向上的运动分开考虑。水平方向的运动由姿态发动机提供动力，而竖直方向的运动由主发动机和月球的引力共同控制。（1）粗避障轨道控制模型的建立对附件3中距2400米处的数字高程图进行分析处理，应用MATLAB（程序10）读取图片并分析灰度值，以附件3中图像的左上角为原点，两个边分别为轴和轴，灰度值为Z轴建立坐标系，利用MATLAB画出嫦娥三号正下方月面23002300m的三

28、维图像，如图10。x/m y/m 图10 嫦娥三号正下方月面23002300m的三维图像粗避障过程中，认为嫦娥三号能自动选取一个的正方形平稳区域，并且会水平移动到该平稳区域中心的上空100米处。定义在某一个的正方形区域中，各个点高度的标准差为该区域的崎岖度，则崎岖度函数为水平轨道控制模型。 （25）其中，表示第个点的高度，表示上述的正方形区域中90000个点的平均高度。以坐标为（150,150）的点为正方形区域中心，求出该区域的崎岖度。然后将正方形区域中心沿轴和轴以10m为单位进行平移，得到各区域的崎岖度，画出崎岖度的三维图像如图11。图11 粗避障中各区域崎岖度三维图像利用MATLAB可以求

29、解出崎岖度最小的点的坐标为（970,1300），所以，嫦娥三号在粗避障过程中，将从中心点（1150,1150）水平移动至（970,1300）点处。相比的正方形区域中心坐标（1150,1150），坐标为（970,1300）的点是粗避障过程中选取的最佳平移点。嫦娥三号从（1150,1150）点水平移动到（970,1300）点，由于无法确定姿态发动机提供的动力范围，我们假设它竖直下落过程需要时间为，则在时间内嫦娥三号水平移动至目标点即可。下面对此阶段竖直运行轨道进行优化和控制。假设在粗避障段嫦娥三号的初始质量为，运行过程中质量为，并且在此过程中，重力加速度恒为。以该阶段消耗燃料最少为目标函数，末速度

30、减为0，下降距离为2300米等关系为约束条件，建立竖直轨道控制模型。 （26） （27）在这个粗避障阶段，初速度为4.9m/s，末速度为0。（2）粗避障轨道控制模型的求解通过MATLAB仿真得到粗避障的最优轨道信息，见表3。表3 粗避障段最优轨道相关参数燃耗量飞行时间水平偏移距离69.38kg97s234.31m在竖直方向上，1至87秒主发动机提供动力1500N，88秒至96秒主发动机提供动力7500N，燃耗量最小为69.38kg，在粗避障段结束后，嫦娥三号卫星的质量为1.23吨。5.2.5 精避障段精避障段的区间是距离月面100m到30m。经过粗避障阶段，嫦娥三号悬停于目标上方100m，对星

31、下月面进行二维和三维成像，利用三维数字高程图分析着陆点附近区域100m范围内地势情况，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点，实现在着陆点上方30m处速度为水平速度为0的目标。同样，为了便于分析，我们把水平运动和竖直方向上的运动分开考虑，姿态发动机提供水平方向上运动的动力，主发动机和月球的引力共同控制竖直方向的运动。（1）精避障目标规划模型的建立对附件4中距离月面100米处的数字高程图进行分析处理，以附件4中图像的左上角为原点，两个边分别为轴和轴，像素点的灰度值为轴，利用MATLAB画出嫦娥三号正下方月面100100m的三维图像，分辨率为0.1m/像素。yx图12 嫦娥三号正下方月面100100m

32、的三维图像应用DEM提取坡度7计算模型，对该100100m的地表进行坡度计算。地表任意一点坡度是指经该点的切平面与水平面的夹角，在数值上等于过该点的地表微分单元的法矢量与轴的夹角，即： （28）式中，是方向的高程变化率，是方向的高程变化率。用MATLAB对该高程图进行差分计算（程序10），得到每个点的坡度值，可以发现在以嫦娥三号为中心的1515m范围内存在坡度值较低的区域，区域中心坐标为（55，51），可以作为降落区域。下面利用与粗避障相似的方法，对该阶段竖直运行轨道进行优化和控制，该阶段的初速度为0，末速度不为0。利用（26）和（27）式的目标规划模型，利用MATLAB可以求得最优轨道的相关

33、信息。（2）精避障目标规划模型的求解通过MATLAB仿真得到精避障的控制策略为：1至19秒主发动机提供1500N的力，19秒至20.5秒主发动机提供7500N的力。燃耗量最小为14.29kg。此阶段末态的卫星质量为1.22吨。5.2.6 缓速下降和自由落体阶段缓速下降阶段的区间是距离月面30m到4m。该阶段的主要任务控制着陆器在距离月面4m处的速度为0m/s，即实现在距离月面4m处相对月面静止。在4m处自由落体，实现软着陆。在缓速下降阶段，燃料消耗已经不是主要优化目标。该阶段主要考虑嫦娥三号运行的稳定性，实现在距离月面4m处相对月面静止。当主发动机提供的力为一个恒力时，嫦娥三号匀减速运动，速度

34、均匀变化，运动稳定性最高。利用动力学公式： （29） 求得该阶段的总时间为6.68秒，落地速度为4.3m/s，由于探测器的着陆缓冲机构的存在，实现了软着陆。5.3问题三的解答问题三要求对问题二中设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。（1）误差分析由于测量仪器，方法，外界条件的影响等因素的限制，使得计算值与真值存在误差，通过研究误差，可以验证我们所用建立模型和算法的正确性。各阶段误差表如下表四 各阶段误差表项目计算值实际值相对误差主减速完成时速度值56.0576180357-0.016533017粗避障阶段速度为0时的位置1001000缓速下降阶段速度为0时的位置5.840.45

35、落地速度4.333.60.202777778 除此之外，还计算了落地点坐标的误差，其计算值为（19.51W,46.76N），真实值为（19.51W,44.12N），可以计算出误差为80km。对上述误差进行分析，发现总体误差较小，但是个别相对误差较大，说明本文模型还有待优化。（2）敏感性分析在最优化方法中经常利用敏感度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。对主减速阶段主发动机提供的力与运动反方向夹角进行敏感度分析，如图13所示。图13 主减速阶段中夹角与速度的关系由图13可知，主减速阶段中，嫦娥三号高度降为3000米时的速度大小受主发动机提供的力与运动反方向夹角影响大，说明夹角的敏

36、感性较高。对快速转移阶段的夹角进行敏感度分析，如图14所示。图14 快速转移阶段中夹角与飞行时间的关系由图15可知，快速转移阶段主发动机提供的力与运动反方向夹角对飞行时间几乎没有影响，说明它的敏感性差。七、模型评价 模型的优点1、本文采用标称轨道制导方法对嫦娥三号主减速段进行最优控制，标称轨道制导由于其在燃耗最优、可实现定点着陆以及对轨道约束的满足性等方面的优势，是软着陆较为理想的制导方法。2、本文处理存在复杂约束条件的着陆轨迹优化问题时，建立的定点软着陆轨迹优化模型在燃耗最优和收敛速度上有很大优势，并且具有一定的稳定性。3、采用遗传算法求解最优化模型，它不是从单个解开始，而是从问题解的串集开

37、始搜索，覆盖面大，利于全局择优。 模型的缺点1、霍曼转移虽然用到的能量少，可是时间代价大，如果嫦娥三号执行时间要求高的任务，我们建立的霍曼转移模型就不适用了。2、在主减速阶段建立的定点软着陆轨迹优化问题模型鲁棒性差。八、模型推广本文通过建立微分方程模型，求解近月点的位置。该模型具有很大的实际意义，通过查阅更多的参考数据和相关资料，对模型作出改进，从而可以利用该模型对近月点位置作出更精确的预测，从而更好地预测出着陆点位置。这对探月具有深远意义。建立霍曼转移模型确定准备着陆轨道，此模型在太空动力学中有广泛的应用，很多太空船为节省燃料在变换轨道都采用此方法。本文通过利用标称轨道制导方法，建立定点软着

38、陆轨迹优化模型，确定主减速阶段的轨迹优化策略。此模型适合处理存在复杂约束条件的各种着陆轨迹优化问题。此外论文中大量使用了目标规划衡量决策的优劣，这种模型在实际生活中有着广泛的应用，可以利用该模型处理生产计划、环境保护、土地利用等各领域的决策问题。九、参考文献1 林晓辉，于文进.基于凸优化理论的含约束月球定点着陆轨道优化J.宇航学报,2013,34(7):901-9082 吴树鹏.利用几何方法研究开普勒第二定律J.哈尔滨师范大学自然科学学报,2000,16(2):56-593杨文熊.现代牛顿力学M.上海:上海交通大学出版社，2011.4霍曼转移轨道 ， http:/zh.wikipedia.or

39、g/wiki/霍曼轉移軌道 2014,9,145 梁栋，刘良栋，何英姿.月球精确软着陆最优标称轨迹在轨制导方法J.中国空间科学技术,2011,6:27-356张文修，梁怡.遗传算法的数学基础M.西安:西安交通大学出版社，2003.7贾敦新，汤国安，王春，贾旖旎.DEM数据误差与地形描述误差对坡度精度的影响J.地球信息科学学报，2009，11（1）：43-49十、附录程序所用软件：MATLAB 程序1.1： Q1_try.mmine = inf;for gama = 0.100:0.001:0.120 tryQ1_paracurve; if abs(min(v)-57) 1737000 + 36

40、0 x(i) = x(i-1) + vx(i-1); y(i) = y(i-1) - vy(i-1); vx(i) = vx(i-1) + ax(i-1); vy(i) = vy(i-1) + ay(i-1); v(i) = sqrt(vx(i)2 + vy(i)2); theta(i) = atan(y(i)/(-x(i); alpha(i) = atan(vy(i)/(-vx(i); m(i) = m(i-1) - F/2940; a(i) = F/m(i); ax(i) = a(i) * cos(alpha(i) + gama) + g * cos(theta(i); ay(i) = -

41、a(i) * sin(alpha(i) + gama) + g * sin(theta(i); i = i + 1; if i 800 %防止陷入死循环 break; endend clear d1 d2 d 43411184 t xc yc 程序2：Q1_paracurve.mclear F R a alpha ax ay i m t theta v vx vy x xc y yc% 初始化各变量初值gama = 0.107; %推力和轨迹的夹角consumption = 0;F = 7500;x(1) = 0;y(1) = 1752000;vx(1) = - 1692.2;vy(1) =

42、0;v(1) = sqrt(vx(1)2 + vy(1)2);m(1) = 2400;a(1) = F/m(1);g = 1.62;theta(1) = atan(y(1)/(x(1);%重力加速度方向和x轴夹角alpha(1) = atan(vy(1)/(-vx(1);%速度方向和x轴夹角ax(1) = a(1) * cos(alpha(1) + g * cos(theta(1);ay(1) = -a(1) * sin(alpha(1) + g * sin(theta(1);i = 2;% 开始迭代while sqrt(x(i-1)2 + y(i-1)2) 1737000 + 360 x(i

43、) = x(i-1) + vx(i-1); y(i) = y(i-1) - vy(i-1); vx(i) = vx(i-1) + ax(i-1); vy(i) = vy(i-1) + ay(i-1); v(i) = sqrt(vx(i)2 + vy(i)2); theta(i) = atan(y(i)/(-x(i); alpha(i) = atan(vy(i)/(-vx(i); m(i) = m(i-1) - F/2940; a(i) = F/m(i); ax(i) = a(i) * cos(alpha(i) + gama) + g * cos(theta(i); ay(i) = -a(i)

44、* sin(alpha(i) + gama) + g * sin(theta(i); i = i + 1; consumption = consumption + F/2940; if i 800 %防止程序陷入死循环 break; endend% 画出月球表面图plot(x,y,-.)R = 1737000;t = 0 : pi/360 : 2*pi;xc = R * cos(t);yc = R * sin(t);hold onplot (xc,yc,r)xlabel(/m)ylabel(/m)axis equal% 求得轨迹长度和经纬度s = 0;for cy = 1:i-2 d1 = x

45、(cy+1) - x(cy); d2 = y(cy+1) - y(cy); d = sqrt(d12 + d22); s = s + d;enddelta_degree = s / R / 2 / pi * 360;clear d1 d2 d 43411184 t xc yc 程序3.1：g_main.m % g_main.mmaxgen = 2000; % 迭代次数sizetop = 1000; % 种群数量lenchrom = ones(1,24); % the length of each variablep_cross = 0.70;p_mutation = 0.02; % 初始化种群F = round(rand(sizetop,12);F(F = 0) = 1500;F(F = 1) = 7500;chromB = round(84 + 50 *