妙用勾股定理巧求图形面积

1、课题研究报告妙用勾股定理巧求图形面积西工大附中 初一四班 赵怡君 丁悦 惠宣铭 候哲鑫一、研究内容巧用勾股定理求图形面积二、研究方法图象法 计算法 分析法三、研究过程 勾股定理是我国古代文化的伟大成就，是极其重要的定理，它揭示了直角三角形的三边之间平方关系，对于一些与直角三角形面积有关的问题运用勾股定理求解方便快捷。例1：如图1，ABC中，B90，AB7，BC=24，P是A，C的平分线的交点，PDAB于D，PEBC于E，求。图1分析：显然四边形BEPD是矩形，作PFAC于F，连结PB，易证所以四边形BEPD是正方形它的边长可由三角形的面积求得。设PD=PE=PF=m，得即由勾股定理知所以故例2

2、：若a，b为正数，且是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积。图2分析：这类题一些同学见了后望而生畏，不知从何下手，通过观察，显然该三角形不是一个特殊的三角形，不宜直接求解。由根号内的代数式是两数的平方和，联想到勾股定理，进而想到构造长和宽分别为2a，2b的矩形，再由面积的割补来求解。解：作矩形ABCD，如图2，使E、F分别是AB、AD的中点。由勾股定理知：从而可知，就是题目所要求的三角形面积，即 例3：已知一个梯形的四条边的长分别为1，2，3，4，求此梯形的面积。分析：要求梯形的面积，先确定上、下底的长，再求其高。解：以1，2，3，4为边作梯形有以下六种可能：（1）以1，2为底的长；（2

3、）以1，3为底的长；（3）以1，4为底的长；（4）以2，3为底的长；（5）以2，4为底的长；（6）以3，4为底的长。可知只有（3）才能构成梯形，其它都不能构成梯形。如图3，设在梯形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=2，DA=1，过A作AHBC于H，作AE/DC交BC于E，则ABE是等腰三角形。图3因为所以于是。例4：如图4，在四边形ABCD中，AB2，CD=1，A60，B=D=90，求四边形ABCD的面积。图4分析：考虑A=60，B=D=90可补形得到RtABE和RtCDE，然后利用勾股定理及其它知识易于解决。解：延长BC交AD的延长线于E，则ABE和CDE均为直角三角形。因为A=60所以

4、E=30又AB2，CD=1所以AE=2AB=4，CE=2CD=2由勾股定理得所以例5：如图5，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别是3，4，12和13，ABC=90，则四边形ABCD的面积是_。图5解：连结AC，在ABC中，因为ABC=90，BC=4所以在ACD中，因为所以可知ACD也是直角三角形，ACD90所以于是四、研究结果经过研究，我们发现用勾股定理求图形面积其实很简单。有许多种方法，这里列举了五种，相信你还有更多的方法。事实证明，妙用勾股定理求图形面积是一种好方法！五、收获与反思勾股定理是在中国最早的一部数学著作周髀算经的开头,就有这条定理的相关内容的。在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。但今天我们通过课题研究，我们掌握了许多用勾股定理巧求图形面积的方法，这也为今后的学习、解题提供了不少方便。这里列举的方法只是很少一部分，相信在今后的学习中我们会想出更多更好的方法。六、家长的话 通过孩子对勾股定理的学习、了解和认识，初步掌握勾股定理的运用，自