一元二次方程根与系数关系中考难题突破

1、.一、巧妙运用韦达定理例1 先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知是方程x22x70的两个实数根。求2324的值。解法1 、是方程x22x70的两实数根2270 2270 且22722722324723（72）4282（）282（2）32解法2 由求根公式得12 122324（12）23(12)24(12)943(9448)32解法3 由已知得：2 722（）2218 令2324A 2324BAB4（22）4（）4184（2）64 AB2(22)4()2() ()4()0 得：2A64 A32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2x90的两个实

2、数根，求代数式。x137x223x266的值。解 x1、x2是方程x2x90的两根x1x21 且x12x190 x22x290即 x12x19 x22x29x137x223x266x1(x19)7(x29)3x266 x129x110x23x199x110x2310(x1x2)616例2 已知aa210，bb210，ab，求abab的值分析：显然已知二式具有共同的形式：x2x10于是a和b可视为该一元二次方程的两个根再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解解：由已知可构造一个一元二次方程x2x1=0，其二根为a、b由韦达定理，得ab1，ab1故abab2二、先恒等变形，再应用韦达定理若

3、已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如ab、ab形式的式子，则可考虑应用韦达定理例3 若实数x、y、z满足x6y，z2xy9求证：xy证明：将已知二式变形为xy6，xyz29由韦达定理知x、y是方程u26u(z29)0的两个根 x、y是实数，364z2360则z20，又z为实数，z20，即0于是，方程u26u(z29)0有等根，故xy由已知二式，易知x、y是t23t80的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5 已知方程x2pxq0的二根之比为12，方程的判别式的值为1求p与q之值，解此方程解：设x2px

4、q0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a2aP， a2aq， P24q1 把、代入，得(3a)242a21，即9a28a21，于是a=1 方程为x23x20或x23x20解得x11，x22，或x11，x22例6 设方程x2pxq0的两根之差等于方程x2qxp0的两根之差，求证：pq或pq4证明：设方程x2pxq0的两根为、，x2qxP0的两根为、由题意知，故有222222从而有()24()24把代入，有p24qq24p，即p2q24p4q0，即(pq)(pq)4(pq)0，即(pq)(pq4)0故pq0或pq40，即pq或pq4四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为

5、问值时，方程x2mx30与方程x24x(m1)0有一个公共根？并求出这个公共根解：设公共根为，易知，原方程x2+mx30的两根为、m；x24x(m1)0的两根为、4由韦达定理，得(m)3， (4)(m1) 由得m142， 把代入得33230，即(3)(21)0210，30即3把3代入，得m2故当m2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3课堂练习：1.已知关于x的方程4x24bx7b0有两个相等的实数根，y1、y2是关于y的方程y2(2b)y40的两个根。求以、为根的一元二次方程。2.已知关于x的方程x2 xk0有两个不相等的实数根。（1）求k的取值范围（2）化简|k2|3.已知关于x的方

6、程（a21）x22(a2)x10有实数根。求a的取值范围。（提示：分a210，a210讨论）4.已知关于x的方程x22(k1)xk22k10 （1）求证，对任意实数k的方程总有两个不相等的实数根。（2）如果a是关于y的方程y2(x1x22k)y(x1k)(x2k)0 的根。其中x1、x2是方程的两根 求代数式（）的值。课后巩固（一） 基础练习1.已知方程2x22ax(a4)a0的两实根分别为x1、x2且满足(x11)(x21)，求a的值。2.关于x的方程x2(5k1)xk220是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4，若存在，求出满足条件的k的值，若不存在，请说明理由。3.设、是方程x

7、2x20的两根，不解方程，求的值。4.已知关于x的方程k2x2(2k1)x10有两个不相等的实数根x1、x2。（1）求k的取值范围。（2）是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在求出k的值。如果不存在，请说明理由。解：（1）根据题意，得(2k1)24k20的解得k.当k时，方程有两个不相等的实数根。（2）存在 如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1x20 解得k,经检验k是方程的解。当k时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。读了上面的解答过程，请判断是否错误，如果有指出错误之处，并直接写出正确答案。5.如图已知ABC中，ACB90,CDAB于D，若AD、BD的长是关于x的方程x2pxq0的两根，且tgAtgB2，CD1，求p、q的值，并解此二次方程。（二） 能力提升题1.关于x的方程x2(2a1)x(a3)0.（1）求证：无论a为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根。（2）以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为，求实数a的值。2.已知方程5a22002a90及9b22002b50且ab1，求的值。3.已在ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2(2k3)xk23k20的两个实数根，第三边BC的长为5。（1）k为何值时，ABC是以BD为斜边的直角三角形。（2）k为何值时，ABC是等