高考数学导数

1、高考数学导数及其应用怎么考【考点解读】1导数（选修II）高考考核要求为：导数的概念及某些实际背景，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式；利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等。2比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大（12分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一个主要得分点。3命题热点难点是：利用导数求函数的极值；利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；利用导数证明函数的单调性；数在实际中

2、的应用；导数与函数、不等式等知识相融合的问题；导数与解析几何相综合的问题。4体系整合基本导数公式导数的几何意义导数的概念两函数和、差、积、商的导数导数的运算导数的应用复合函数的导数导数函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值5复习建议：学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化。导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。热点一：导数的几何意义函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x0, f(x0)处的切线

3、的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x0)处的切线的斜率是f(x0)，于是相应的切线方程为yy0=f(x0) (xx0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。【错题分析】错例1 （2004天津卷20（2）曲线f(x)=x33x，过点A(0，16)作曲线f (x)的切线，求曲线的切线方程。误解：f (x)=3x33，根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率(0)=3，所以曲线的切线方程为y=3x16。剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点A (0，16) 不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。正确解法

4、：设切点坐标，则切线的斜率，切线方程，又因为点M在切线上，所以得【典型题例】例1:设P0 (x0，y0) 为曲线C : y=x3 (x0)上任意一点，过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1，y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2，y2)，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，Pn，Qn1，已知x0=9，设Pn (xn，yn) (nN)。（1）求出过点P0的切线方程。（2）设xn=f (n) (nN)，求f (n)的表达式；（3）求的值。点拨 本例涉及到求切线方程的问题,其关

5、键在于掌握切线的斜率等于切点的导数解析 （1）y=3x2，P0 (9，93)，切线P0Q1的斜率，过P0点的切线即直线P0Q1的方程为y93=243 (x9)，即243xy1458=0.（2）过Pn (xn，yn)的切线的斜率为kn=3x，切线方程为yyn=kn(xxn)，即yx=3x (xxn). 令y=0得x=xn=x，即Qn1的横坐标为xn，又直线Qn1Pn1y轴，P n1的横坐标xn1=xn，由于x0=9，数列是公比为的等比数列xn=x0 ()n=9()n，则f (n) = 9()n，（nN）（3）=27点评：求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它给出切线的方向(

6、切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。【热点冲刺】1已知曲线y=sinx,x在P点切线平行于直线x2y=0，则P点坐标为。2若a0，f (x) =ax2bxc，曲线y=f (x)在点P (x，f (x0)切线倾角为0，则P到y=f (x)对称轴距离为（ B ）A、0，B、0，C、0，|D、0，|3（预测题） (1990日本高考题)设抛物线y=x2与直线y=xa（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。解答：将y=xa代入y=x2整数得x2xa=0为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须= (1)24a0，所以a设此两交点为

7、(，2)，(, 2)，由y=x2知y=2x，则切线l1，l2的方程为y=2x2，y=2x2.两切线交点为(x，y) 则 因为，是的解，由违达定理可知=1，=a由此及可得x=，y=a从而，所求的轨迹为直线x=上的y的部分。热点二：利用导数研究函数性质运用导数的有关知识，研究函数的性质（单调性、极值和最值）是高考的热点问题。高考试题常以解答题形式出现,主要考查利用导数为工具解决函数、不等式及数列有关的综合问题，题目较难。【错解分析】错例2 已知函数f(x) = 在(2，)内单调递减，求实数a的取值范围。误解：f(x)=，由f (x)在(2，)内单调递减，知f(x)0在x(2，)内恒立，即0在x(2

8、，)内恒立。因此，a。剖析：(1)上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f(x)是否恒为零。因为f (x)在区间D上单调递增（或递减）的充要条件f(x)0 (f(x)0且f(x)在任一子区间上不恒为零。而当a=时，f(x) =不是单调递减函数，不合题意。(2)在区间D内可导数f(x) ，利用导数判别f(x)单调性法则为：若xD时，有f(x)0(0, 则f(x)在D内是增（减）函数；反之，若f(x)在D内是增(减)函数，则xD时，恒有f(x)0（0）。（不恒为0）（3）再由函数的单调性过渡到函数的极值，由错例2 到 错例3错例3函数f (x) = (x21)32的极值点是（ ）A、x=

9、2B、x=1C、x=1或1或0D、x=0误解: f (x) =x63x43x21,则由f(x)=6x512x36x=0得极值点为x=1，x=1和x=0，故正确答案为C.正确解法: 事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由f(x) =6x512x36x=6x(x1)2(x1)2知，当x(，1)时，f(x)0；当x(1，0)时，f(x)0；当x(0，1)，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0. f (x)在 (，1)、(1，0)单调递增，在(0，1)、(1，)单调递减。则x=0为极小值点，x=1或1都不是极值点（称为拐点）。故应选D。剖析：（1）满足f(x0)=0的点x=x0（称为驻点）只是

10、它为极大（小）值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。（2）在求极值点时候，有时还要注意导数不存在的点.如：求f (x) =的极值点。（x=1，0(易遗漏)）【典型题例】例2：(2001年北京、内蒙古、安徽春季招生题)在1与2之间插入n个正数，使这n2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数，使这个n2个数成等差数列。记An=，Bn=（1）求数列和的通项；（2）当n7时，比较和的大小，并证明你的结论。点拨：在解决第(2)问时，可考虑将比较大小的问题转化为对函数单调性的研究，从而用导数求解。解析:（1）因为1，2成等比数列。所以所以An2=所以An=因为 1，2

11、成等差数列，所以=12=3所以Bn=n=n所以数列的通项为An=，的通项为Bn=n（2）构造函数f（x）=x（x7），则f (7) = 0又因为f(x)=(ln23) (ln3)=(3)0所以 f (x)在 7，上单调递增。于是f (x)f (7) 0故有f (n) 0，即n，也就是AnBn（n7）点评：（1）第（2）问也可先考查n=7,8,9时An，Bn的大小，提出猜想，然后用数学归纳法给予证明。（2）由导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必将会成为2005高考的重点内容，在教学中要足够地重视。 例3：设a1，函数f(x)=x3ax2b，(x1，1)的最大值为1，

12、最小值为，求常数a，b的值。点拨：本例需研究f(x)的情况，求出极大、极小值，与端点函数值比较，以确定a，b的值。解析: f(x)=3x23ax=3x (xa)x1(1，0)0（0，a）a（a，1）1f(x)00+f(x)1abb1ab由表可见，当x=0时，f (x)取得极大值f (0) =b；当x=a时，f (x)取得极小值f (a)= ，又f (b)f (a)，f (1)f (1)，故需比较f (0)与f (1)，f (a)与f (1)的大小。f (0)f (1) = b(1ab)= a1由a(，1)，故a10，即f (0)f (1)，于是f (x)的最大值为f (0)。因而有b=1.又f

13、 (1)f (a)=1a1（）= (a33a2),因为a(，1)，故a33a20，即f(1) f(a)，f(x)的最小值为f(1)，于是有a=，即a=,综合可知，a=，b=1点评：（1）可导函数在闭区间上的最值，必定在导数为0的点或端点取得，本例亦可求出导数为0的点，直接将这些点的函数值与端点函数相比较，以确定取得最大值、最小值的点。（2）变：a如何？再由此引出使用导数研究函数有关的性质要注意导数为0的点是否落在区间内。（同时为热点三的错例分析打下基础）【热点冲刺】1 （2001年天津高考题（理8）函数y=13xx3有极小值-1，极大值32（2003年连云港二模试题）已知函数f (x)=ax3

14、bx2，曲线y=f (x)过点P(1，2)，且在点P处的切线恰好与直线x3y=0垂直。若f (x)在区间m，m1上单调递增，则m的取值范围m0或 m-3。3(湖南卷20)(本小题满分12分)已知函数其中a0,e为自然对数的底数. ()讨论函数f(x)的单调性;()求函数f(x)在区间0,1上的最大值.答案：()（）当a=0时，令=0, 得x=0.若x0. 则0,从而f(x)在(0,+)上单调递增;若x0,则0,从而f(x)在(-,0)上单调递减.(当a0时,令=0,得x(ax+2)=0,故x=0或若x0,则0,从而f(x)在(-,0)上单调递减.若0x0.从而f(x)在(0, )上单调递增;若

15、x 则0.从而f(x)在(+)上单调递减.() (当a=0时, f(x)在区间0,1上的最大值是f(1)=1.(当时, f(x)在区间0,1上的最大值是f(1)=.当a-2时, f(x)在区间0,1上的最大值是.4.（预测题）证明方程x=sinx在(，)内只有一个实根。解答：设f(x)=xsinx，即证f(x)=0只有一个实数。因为f(x)=1cosx0，其中等号只在孤立点x=2k(kZ)时成都市立。故f(x)在(，)上是递增的。又由于f(0)=0，故当x0时，f(x)0，当x0时，f (x)0。因此f (x)=0只有一个实数根x=0.5（预测题）.已知0x1，n为大于1的正整数，求证：xn(

16、1x)n1解答：设则，令，得，由于0x1，则有x=1x，解得x=又经比较知f(x)在0，1上的最小值、最大值分别为，1。所以xn(1x)n1热点三：运用导数解决实际问题：学习的目的，就是要会实际应用，学生要有运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力。近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，因此要学会应用导数解决有关最优化的问题及即时速度、边际成本等问题。【错解分析】错例4从边长为2a 的正方形铁片的四个角各截去一小块边为的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面正方形边长的比值不超过常数t.问：取何值时，容积V有最大值。误解： 因为所以函

17、数的定义域为（0，这时V在定义域内有惟一极值点由问题的实际意义可知，正确解法：当这时V在定义域内有惟一极值点由问题的实际意义可知，知V在定义域内为增函数，故当剖析：求解函数的最值问题，应注意函数的定义域，本例由导数为0的点是否落在定义域内，引出了讨论。有时还要注意对导数为0的情形进行讨论。【典型题例】例4：甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？点拨：本题难点是如何把

18、实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式. 技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系.解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则BD=40,AC=50x,BC=又设总的水管费用为y元，依题意有：y=30(5ax)+5a (0x50)y=3a+,令y=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50x=20(km)供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用

19、最省.解法二：设BCD=,则BC=,CD=, 设总的水管费用为f(),依题意，有f()=3a(5040cot)+5a=150a+40af()=40a令f()=0,得cos=根据问题的实际意义，当cos=时，函数取得最小值，此时sin=,cot=,AC=5040cot=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.点评：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解（尤其要注意使用导数解决最优化的问题）。【热点冲刺】1、有一架长度

20、为5米的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以3米/秒的速度离开墙脚而滑动，则（1）当其下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速度是多少？（2）何时梯子的上、下端能以相同的速度移动？（3）何时其上端下滑的速度为4米/秒？解答：设在时刻t秒梯子上端开始位置的距离为s米，梯子下端离开墙角距离为x米，则s=3t,s=5-(1) 当x=1.4米时，=0.875（米/秒）（2）当梯子下端离墙角米时，梯子上、下端以相同速度移动。（3）当梯子下端离墙角4米时，梯子上端4米/秒速度移动。2（预测题）A、B两队进行某项运动的比赛，以胜三次的一方为冠军，设在每次比赛中A胜的概率为，B胜的概率为，又A得冠军的概率为P，冠军的概率为Q，决定冠军队的比赛次数为N.（1）求使P为最大的值；（2）求使N的期望值为最大的值及期望值。（1）要决定冠军队，至少需要比赛三