2015年高中数学步步高大一轮复习讲义（文科）第七章

1、7.2基本不等式1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)3算术平均数与几何平均数(1)设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为.(2)基本不等式可叙述为：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值；(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.1

2、判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)ab()2成立的条件是ab0.()(3)函数f(x)cos x，x(0，)的最小值等于4.()(4)x0且y0是2的充要条件()(5)若a0，则a3的最小值为2.()(6)a2b2c2abbcca(a，b，cR)()2当x1时，关于函数f(x)x，下列叙述正确的是()A函数f(x)有最小值2B函数f(x)有最大值2C函数f(x)有最小值3D函数f(x)有最大值3答案C3若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2答案D解析a2b22ab(ab)20，A错误对于B、C

3、，当a0，b0，2 2.4设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为()A2 B. C1 D.答案C解析由axby3，得：xloga3，ylogb3，由a1，b1知x0，y0，log3alog3blog3ablog321，当且仅当ab时“”成立，则的最大值为1.5(2013天津)设ab2，b0，则当a_时，取得最小值答案2解析由于ab2，所以，由于b0，|a|0，所以2 1，因此当a0时，的最小值是1；当a0，y0，且2xy1，则的最小值为_；(2)当x0时，则f(x)的最大值为_思维启迪利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换如第(1)问把中的“1”代换为“2xy”，展

4、开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式答案(1)32(2)1解析(1)x0，y0，且2xy1，332.当且仅当时，取等号(2)x0，f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号思维升华(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式(1)已知正实数x，y满足xy1，则(y)(x)的最小值为_(2)已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_答案(1)4(2)3解析(1)依题意知，(y)(x)1122 4，当且

5、仅当xy1时取等号，故(y)(x)的最小值为4.(2)x0，y0且12，xy3.当且仅当时取等号题型二不等式与函数的综合问题例2(1)已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A(，1) B(，21)C(1,21) D(21,21)(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意xN，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_思维启迪对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围答案(1)B(2)，)解析(1)由f(x)0得32x(k1)3x20，解得k13x，而3x2(当且仅当3x，即xlog3时，等号成立)，k12，即kg(3)，g(x)m

6、in.(x)3，a，故a的取值范围是，)思维升华(1)af(x)恒成立a(f(x)max，af(x)恒成立a0恒成立，故a0.当0，即1a0时，应有f()110恒成立，故1a0.综上，a，故选C.方法二当x(0，)时，不等式x2ax10恒成立转化为a(x)恒成立又(x)x在(0，)上是减函数，(x)min()，(x)max，a.题型三基本不等式的实际应用例3某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，

7、那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解解设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积Sxy，依题设，得40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy12020S，则S61600，即(10)(16)0，故010，从而0q0，则提价多的方案是_答案(1)B(2)乙解析(1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得y2 20.当且仅当(x0)，即x80时“”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1p%)(1q%)，方案乙：(1%)2，因为1%，且pq0，所以1%，即(1p%)(

8、1q%)(1%)2，所以提价多的方案是乙忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012浙江)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A. B. C5 D6(2)函数y12x(x0)的最小值为_易错分析(1)对x3y运用基本不等式得的范围，再对3x4y运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x0这个条件误用基本不等式得2x2.解析(1)由x3y5xy可得1，所以3x4y(3x4y)()2 5，当且仅当x1，y时取等号，故3x4y的最小值是5.(2)x0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件失误与防范1使用基本不等式求最值，“一正

9、、二定、三相等”三个条件缺一不可2连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B. C. D.答案B解析0x0.x(33x)3x(1x)32.当且仅当x1x，即x时取等号2若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A1 B1 C3 D4答案C解析f(x)xx22.x2，x20.f(x)x222 24，当且仅当x2，即x3时，“”成立又f(x)在xa处取最小值a3.3小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v Dv答案A解析设

10、甲、乙两地相距s，则小王往返两地用时为，从而v.0ab，a，即，av0，b0，且ln(ab)0，则的最小值是()A. B1 C4 D8答案C解析由a0，b0，ln(ab)0得.故4.当且仅当ab时上式取“”5(2012福建)下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)答案C解析应用基本不等式：x，yR，(当且仅当xy时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正

11、确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确二、填空题6设x，yR，且xy0，则(x2)(4y2)的最小值为_答案9解析(x2)(4y2)54x2y2529，当且仅当x2y2时“”成立7已知函数f(x)x(p为常数，且p0)，若f(x)在(1，)上的最小值为4，则实数p的值为_答案解析由题意得x10，f(x)x1121，当且仅当x1时取等号，因为f(x)在(1，)上的最小值为4，所以214，解得p.8某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最

12、小，则每次购买该种货物的吨数是_答案20解析设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为2，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为x240，当且仅当x，即x20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨三、解答题9(1)已知0x0，y0，且xy1，求的最小值解(1)y2x5x2x(25x)5x(25x)0x，5x0，5x(25x)()21，y，当且仅当5x25x，即x时，ymax.(2)x0，y0，且xy1，()(xy)10102 18，当且仅当，即x，y时等号成立，的最小值是18.10某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米

13、的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米总造价f(x)400(2x)2482x801621 296x12 9601 296(x)12 9601 2962 12 96038 880(元)，当且仅当x(x0)，即x10时取等号当污水处理池的长为16.2米

14、，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元(2)由限制条件知x16.设g(x)x(x16)，g(x)在，16上是增函数，当x时(此时16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 296()12 96038 882(元)当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38 882元B组专项能力提升(时间：30分钟)1已知a0，b0，若不等式0恒成立，则m的最大值为()A4 B16 C9 D3答案B解析因为a0，b0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立因为2 6，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即m的最大值为16，故选B.2(2013山东)设正

15、实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0 B1 C. D3答案B解析由已知得zx23xy4y2(*)则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211.3定义“*”是一种运算，对于任意的x，y，都满足x*yaxyb(xy)，其中a，b为正实数，已知1*2=4，则ab取最大值时a的值为.答案1解析1*2=4，2a+3b=4，2a+3b2ab.当且仅当2a3b，即a1时等号成立，所以当a1时，ab取最大值.4(1)若正实数x、y满足2xy6xy，求xy的最小值(2)求函数y(x1)的最小值解(1)xy2xy626，令xyt2，可得t22t60，注意到t0，解得t3，故xy的最小值为18.(2)设x1t，则xt1(t0)，yt52 59.当且仅当t，即t2，且此时x1时，取等号，ymin9.5经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN)