统计与概率难点分析及教学建议.ppt

1、统计与概率难点分析及教学建议,河北师范大学 程海奎,一、概率的难点分析 二、统计的难点分析 三、几点教学建议,一、概率的难点分析,1概率的抽象性 概率是随机事件发生的可能性的度量。像长度和面积这些度量都比较直观，对温度的高低我们有感受。而事件发生的可能性大小的度量，直观看不见，摸不着，太抽象了。,2. 统计规律的隐蔽性 随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量实验时，事件频率的稳定性。这种规律称之为 统计规律性。,2. 统计规律的隐蔽性 频率的稳定性是概率论的理论基础。 它说明随机事件发生的可能性大小是事件本身固有的、不随人们的意志而改变的客观属性，它是可以度量的。同

2、时它也给出了度量的一种方法。,现实中，只有个别特殊情形，可以在合理的假设下不需通过重复实验而直接计算概率，但大量事件的概率需要用频率去估计。 由于统计规律是通过大量重复实验揭示的，因此，只有深刻理解概率与频率的关系、概率与频率的本质区别，才能正确理解概率的意义，利用概率思想进行风险决策。,直观认识 概率描述事件发生的可能性大小，它是由事件本身唯一确定的一个常数；频率反映在n次实验中，事件发生的频繁程度。 一般地，如果一个事件的概率较大，在重复实验中，发生的比较频繁，因此频率也较大。同样概率比较小，频率也较小。反之也对。,对概率与频率的关系认识的三个层次,具体实验 通过大量重复实验，借助图形表示

3、频率的稳定性规律：随着实验次数的增多，频率的波动越来越小，逐渐稳定在一个常数附近。但应该认识到频率的不确定性，即当实验次数较少时，频率的波动可能比较大。,精确描述,对频率和概率的关系，比较严格的叙述为：“当实验次数较少时，用频率估计概率误差较小的可能性较小，实验次数越多，用频率估计概率误差较小的可能性越大”。,下面的案例可以帮助我们理解，但不必知道是如何计算的。,案例1 分别掷100次、200次、1000次硬币，用“正面向上”的频率估计概率，在给定误差范围内，计算估计的可靠性。,3. 概率定义的复杂性 概率事件发生的可能性大小的度量。 这是概率的描述性定义，它虽然揭示了概率的本质，但对概率具有

4、那些性质，如何计算或估计事件的概率都没有帮助。,3. 概率定义的复杂性 概率是频率的稳定值。 这是概率的统计定义。它给出了估计事件概率的一种方法，而且明确了概率作为一种度量，应该具有非负性、规范性和可加性。但由于频率的随机性，当实验次数不大时，很难知道这个稳定值是什么。,为了能较好地理解概率的定义，一般采用由具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般的方式。 先认识频率及其性质，频率和概率的关系；然后讨论古典概率，几何概率这些具体简单的模型；从中归纳概率的本质特征，最后给出概率的公理化定义（高中阶段不作要求）。,案例2 美国的一个电视游戏节目,有三 扇门，其中一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面各有

5、一只羊。给你一次猜的机会。猜中羊可以牵走羊，猜中车可以开走车。当然大家都希望能开走汽车。现在假如你选定了1号门，然后主持人把无车的一扇门打开。现在请问你是否要换另一扇门？,观点一 一位数学博士说：美国公民的数学水平也太差了，这三扇门后面有车的可能 性是一样的，都是1/3，所以不必换。 观点二 假定主持人打开的是2号门，既然2号门后面没有车，那么车要么在1号门后面，要么在3号门后面，概率各是1/2，所以 不必换。,几种不同的观点,观点三 车在1号门后面的概率是1/3，于是在2号门或3号门后面的概率就是2/3 ，现在既然2号门后面没有车，所以车在3号门后 面的概率为2/3，因此应该换。,几种不同的

6、观点,哈佛大学概率教授应电视台邀请，进行了表演。以一张红桃扑克牌表示车，两张黑桃扑克牌表示羊。按照规则要求，演示了8次，结果是有6次显示应当换。 Diaconis 教授说：概率的判断是依靠大量试验才获得的。如果这个游戏允许多次重复，那一定是“换”为好。如果只给你一次机会，那是很难说的。,哈佛大学概率教授（Diaconis）的观点,分析 由于随机性，如果1号门后面确实是车，你猜对了，此时要换反而得不到车。如果1号门后面没有车，此时换就得到车。那 么换与不换应该依 据什么为准则？ 在概率决策问题中，首先必须明确决策的准则。在此例中，以得到车的概率最大为准则。,观点3是正确的。1号门后面是车的概率为

7、1/3,是羊的概率为2/3。,如果主持人也不知道那扇门后面是车，而是任意选择一扇门（例如2号门），此时换与不换等价于抽签时是先抽还是后抽。我们知道抽签不分次序先后，得到车的概率都 是1/3。 但现在的问题是，主持人打开的一定是无车的门，所以观点一是错误的。,当主持人打开一扇无车的门(比如2号门)时，如果让你在1号门和3号门之间重新任选一扇门，那么,得到车和羊的概率都是1/2。 现在不是让你重新任选一扇门，而是问你是否要换。重新选择和换结果是不同的，所以观点二也是错误的。,Diaconis 教授的观点是正确的。 三种观点在应用概率思想方面都是正确的，造成不同结果的原因在于对概率大小的判断上。 既

8、然在概率大小的判断上有分歧，通过重复模拟实验，借助频率的大小来判断最有说服力。 但遗憾的是重复实验次数太少，频率的值很不稳定，说服力不强，并没有消除争议。,1传统数学思维模式对统计思维方法的影响 2. 统计方法的评价与统计结果的解释 3统计原理的运用,二、统计的难点分析,描述统计的内容包括：统计数据收集的方法、数据的加工和整理方法、用图表表示数据的方法、数据分布特征的概括与分析方法等。 推断统计研究如何依据样本数据推断总体的数量特征的方法，它以样本数据信息为依据，以概率论为理论基础，对总体未知的数量特征作出以概率形式表述的推断。,描述统计与推断统计,1传统的数学思维模式对统计思维方法的影响 统

9、计是以样本数据为基础，通过对数据的整理、描述和分析，发现数据的特征或规律，从而对总体的特征作出推断。它所采用的是归纳推理，属于合情推理范畴， 而且带有很强的实验性。,确定性数学主要运用演绎推理的方式，即从已有的事实（包括定义、公理、定理）出发，按照规定的法则证明结论，或揭示数学规律。研究确定性数学，是不能用个别举例或验证代替一般的证明的。,比如，可以通过测量或拼接的方法，归纳得出“三角形内角和等于180”，但是，哪怕你度量了100次，只能说发现了这一结论，未经证明之前仍不能作为定理。,真实的数据能提供科学信息，数据能帮助我们了解世界，许多科学结论都是通过分析数据而得到的，借助数据提供的信息作出

10、的判断才比较可信。 因此，“运用数据进行推断”的思考方法已成为现代社会普遍应用而且高效的思维模式，而“用样本推断总体”又是统计最核心的思想方法。,统计的教育价值简单概括为： 培养事实求是的态度； 科学的思维方式； 分析和处理数据的能力； 对统计结果质疑的精神。,2. 统计方法的评价与统计结果的解释 确定性数学在确定的条件下，结论是完全确定的。对其结果可以用“对”和“错”来 评判。,用样本推断总体，由于样本数据和总体的不一致性，会产生代表性误差；由于样本的随机性，会产生随机误差，从而造成 估计的结论也具有不确定性。,评价一种估计方法的好坏，不能仅依一次估计的误差大小来衡量，而应考虑所有可能样本的

11、情况下，整体误差的大小。 对统计结论也不能用“对”和“错”来解释，而是一种概率形式表述的判断。即应指出在多大的置信度下，误差有多大。,对一种统计方法，既要让学生认识到方法的合理性，又体会到结果的不确定性，这是渗透统计思想不可缺少的。问题是，在学生没有或具有很少的概率知识背景下，在教学中应该如何处理？这肯定是一个难点。,用概率形式表述的结果如下：,3对统计原理的理解与运用 统计推断的依据是一些统计原理。 统计估计时依据的极大似然原理； 假设检验时依据小概率原理； 回归分析依据最小二乘原理等。 它们都是人们在长期的社会实践中归纳出来的一般原理。,统计原理不同于数学公理或定理，公理是大家公认的事实，

12、是绝对正确的；定理是经过严密的逻辑证明是正确的事实。 而统计原理本身并不是绝对正确的，利用这些原理进行推断肯定会犯错误。如何理解这些原理，并将其运用到统计推断中，这是又一个难点。,案例3 目前流行的甲型H1N1流感传染性很强，假设在人群中的感染率为20%。现有，两种疫苗，疫苗对8个健康的人进行注射，最后结果为无一人感染。疫苗对25个健康的人进行注射，最后结果为有一人感染。你认为这两种疫苗哪个更有效？,注：教材116页，决策中的概率思想一节有类似的问题。,直观分析：如果不考虑概率，注射疫苗 后感染率为0，注射疫苗后感染率为4%，似乎疫苗更有效些。 而实际上感染率只有20%，并非100%。假设疫苗

13、完全无效，“8人注射无一人感染”仍有较大的可能性。假设疫苗无效的条件下，“25人注射有1人感染”的可能性要小的多。依据小概率原理，判断疫苗可能比疫苗更有效些。,推理过程 设事件A=“8人注射无一人感染”， 事件B=“25人注射有1人感染”。 假设“疫苗无效”，则 由于事件A发生的可能性较大，没有充足的证据 说明有效。,假设“疫苗无效” ，则 由于B是一个小概率事件，依据小概率原理，认为B在一次实验中是不会发生的。 但现在B竟然发生了，和统计原理相违背，从而否定假设，认为疫苗有效。,这种推理称为假设检验。所运用的推理方式类似于数学反证法。应用数学反证法，当推出和已知事实矛盾的结果时，否定假设。

14、假设检验是一旦小概率事件发生，就否定假设。但小概率原理不是绝对正确的事实，所以推断有可能犯错误。我们追求的是使犯错误的概率尽可能小。,三、对统计与概率教学的几点建议,1突出核心思想，把握重点和难点,对概率意义和统计思想的理解，是教学的重点，也是难点。不要把概率教学变成复杂的概率计算；把统计教学变成单纯的数据处理和计算技巧；不要纠缠一些无关紧要的细节而干扰主题。,现在的情况是，许多学生（包括数学专业的大学生），可以计算很复杂的概率，但面对需要用概率和统计思想解决实际问题时，显的束手无策。这说明在教学中，过多关注的是知识技能的学习，忽视思想方法的理解。,2. 恰当的类比很有效,概率与频率的关系、总

15、体的数字特征与样本的数字特征之间的关系，都比较抽象。可以用某物体长度真值和测量值来类比。 黑板的长度a是客观存在的，但未知。可以通过测量来了解；而测量结果总会有误差，为减少误差，可以用多次测量值的平均数估计a。,事件的概率p是客观存在的，但未知，可以用频率估计；频率具有不确定性，估计的误差不可避免，为减少误差，可以增加重复实验的次数。,总体指标X的平均值（数学期望）是一个确定的数值，可以用样本的平均值去估计；样本具有随机性，所以样本的平均值也具有随机性，要想估计的更准确些，除了保证样本有较好的代表性外，可以适当增大样本容量。,如果样本的代表性好，用样本的特征推断总体的特征就比较准确。可以用“要

16、想知道一锅汤是否够咸，在充分搅匀时，只需尝一小勺即可”类比。,3必要的操作实验不可省,概率的统计规律性本身就是通过实验发现的，用样本推断总体的方法，可以认为是实验科学。,在高中阶段，我们不可能也没有必要用严密的方法揭示稳定性规律，评价统计方法的优劣。设计恰当的实验，直观认识随机性规律、树立概率观点、理解统计思想是必要的，也是可行的。,4. 重视反例和极端特例的作用,在揭示数学概念的本质、探索数学定理成立的条件时，反例具有重要的作用。同样，在统计与概率的教学中，一些极端的特例有时会发挥意想不到的作用。,在一些具体问题中，可以通过实验纠正对概率判断上错误观点，统一认识，消除争议。,例用频率估计概率

17、，有人认为“实验次数越大，估计的就越准确”。 极端特例：掷两枚硬币，可能得到频率为1/2，用频率估计概率误差为0；掷1000次硬币，理论上仍有可能得到频率为1，用频率估计概率误差为0.5。说明“实验次数越大，估计的就越准确”，这样的表述不严密（或者说是错误的）。,例2从包含100个学生的总体中，随机抽取10名学生作为样本，估计全体学生的平均身高。分别采用不放回抽样和有放回抽样，哪种抽样方式下估计的更准确些？ 大多数人认为有放回抽样下估计的更准确，实际上恰恰相反。要想说服他们，不可能用数理统计的一套理论，通过计算概率或期望和方差，作出判断。,以下两个极端特例都能说明问题。,特例1 采用有放回抽样

18、，有可能同一个体被重复抽到，也有可能10次都抽到同一名学生，此时样本的代表性非常差，估计很难准确。而不放回抽样则不会发生这样的情况。,特例2 假定样本容量为100，采用不放回抽样，样本和总体完全相同，估计结果完全确定，没有任何误差。而采用不放回抽样，很难遇到样本和 总体完全相同的情况。,例3 小概率原理、极大似然原理是统计推断中最常使用的原理。因为它们都不是绝对正确的，应用这些原理作统计推断，学生理解上有困难。其原因是，大多数情形我们把小于0.05的概率就看成小概率了。那就举概率更小的极端例子。,乘坐飞机有可能遇到空难，为什么绝大多数人不拒绝坐飞机？因为发生空难的概率太小了（据统计小于300万分之一），我这次不会出事的。这不是已经用小