文科数学专题导数及其应用.ppt

1、专题一 集合、常用逻辑 用语、函数与导数,第四讲导数及其应用,考点整合,导数的概念及运算,考纲点击,1了解导数概念的实际背景 2理解导数的几何意义 3能根据导数定义求函数yC，yx，yx2，y 的导数,基础梳理,一、导数的概念及运算 1导数的定义 (1)f(x)在xx0处的导数为： f(x0)_. (2)f(x)在定义域内的导数(导函数) f(x)y_. 2导数的几何意义 函数yf(x)在x0处的导数f(x0)的几何意义是：曲线yf(x)在点_处的切线的_(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数),2(x0，f(x0)斜率,答案：,整合训练,1(2009年深圳毕业考)若f(x0)2，则 _

2、.,答案：1,考纲点击,求基本初等函数的导数,1能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 2掌握常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式,基础梳理,二、基本初等函数的导数公式和运算法则 1基本初等函数的导数公式,2.导数的四则运算法则 (1)u(x)v(x)_； (2)u(x)v(x)_； (3) _(v(x)0) 3复合函数求导 复合函数yf(g(x)的导数和yf(u)，ug(x)的导数之间的关系为yx_.,答案：,整合训练,2(1)(2010年山东卷)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x

3、)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)() Af(x)Bf(x)Cg(x)Dg(x) (2)求下列函数的导数： y(2x21)(3x1)；yx2sin x.,答案：(1)D(2)y18x24x3， y2xsin xx2cos x,考纲点击,导数的应用,1了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性区间(其中多项式函数一般不超过三次) 2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3会利用导数解决某些实际问题,基础梳理,三、导

4、数的应用 1函数的单调性与导数的关系 一般地，函数的单调性与其导数的正负值有如下关系：在某个区间(a，b)内 (1)如果_函数f(x)在这个区间内单调递增 (2)如果_函数f(x)在这个区间内单调递减 (3)如果_f(x)在这个区间内是常数函数 2函数的极值与导数的关系 一般地，对于函数yf(x) (1)若在点xa处有f(a)0，且在点xa附近的左侧_，右侧_，称xa为f(x)的极小值点；_叫函数f(x)的极小值,(2)若在点xb处有f(b)0，且在点xb附近在左侧_，右侧_，称xb为f(x)的极大值点，_叫函数f(x)的极大值 3求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤： (1)求函

5、数yf(x)在(a，b)内的_ (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_,答案： 1.(1)f(x)0(2)f(x)0 (3)f(x)02.(1)f(x)0f(x)0f(a)(2)f(x)0 f(x)0f(b)3.(1)极值(2)最大值最小值、,整合训练,答案：(1)B(2)C,(2)(2010年山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y 234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为() A13万件 B11万件 C9万件 D7万件,高分突破,利用导数解决曲线的切线问题,已知函数f(x)

6、(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR. (1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率； (2)当a 时，求函数f(x)的单调区间与极值,解析： (1)当a0时，f(x)x2ex， f(x)(x22x)ex，故f(1)3e. 所以曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线的斜率为3e. (2)f(x)x2(a2)x2a24aex. 令f(x)0，解得x2a，或xa2. 由a 知，2aa2.,以下分两种情况讨论 若 则2aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下所示：,所以f(x)在(，2a)，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数 函数f(x)在x

7、2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a. 函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.,若 则2aa2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数 函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2. 函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.,跟踪训练,1设函数f(x)x3ax29x1(a0)若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求： (1)a的值； (2)函数f(x)的单调区间,(2)由(1)知a3， 因

8、此f(x)x33x29x1， f(x)3x26x9 3(x3)(x1)， 令f(x)0，解得：x11，x23. 当x(，1)时，f(x)0， 故f(x)在(，1)上为增函数； 当x(1,3)时，f(x)0，故f(x)在(1,3)上为减函数； 当x(3，)时，f(x)0，故f(x)在(3，)上为增函数 由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和 (3，)；单调递减区间为(1,3),利用导数研究函数的单调性问题,(2010年重庆卷)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数 (1)求f(x)的表达式； (2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1

9、,2上的最大值和最小值,解析：(1)由题意得f(x)3ax22xb. 因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有 a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，从而3a10，b0，解得a ，b0，因此f(x)的表达式为f(x) x3x2.,跟踪训练,2已知函数f(x)ln(ax1) ，x0，其中a0. (1)若f(x)在x1处取得极值，求a的值； (2)求f(x)的单调区间,利用导数研究函数的极值与最值问题,(2009年广东卷)已知二次函数yg(x)的导函数的图象与直线y2x平行，且yg(x)在x1处取得最小值m1(m0)设函数f(x) . (1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为 ，求m的值； (2)k(kR)如何取值时，函