2010年广东增城中学“鹤岭杯”高二数学竞赛试卷

1、班级 姓名 考号 学校2010年广东增城中学鹤岭杯高二数学竞赛试卷题 号一二三合 计（11）（12）（13）（14）（15）得 分评卷员考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； 不准使用计算器； 考试用时120分钟，全卷满分150分一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内1已知集合，则集合与集合的关系为（ ） A B C D 2. 已知函数 则等于( ) A B C D3若四面体的一条棱长为，其余的棱长都是，它的体积为，则在其定义域上（ ）A是增函数，但无最大值 B是增函数，且有最大值C不是增函

2、数，但有最大值 D不是增函数，且无最大值4. 已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则( ) A B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分把答案填在题中横线上5. 设的三边长分别是、，外心、垂心分别为O、H，那么.6设实数、满足，则的取值范围是_.7. 数列满足,求数列的通项公式 . 8多项式展开式中的奇次项系数之和为 . 9古希腊数学家把数1，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为_. 10.设，且，则的取值范围为 . 三、解答题：本大题共5小题，共90分要求写出解答过程 11（本小题满分15分）已知函数 （1）若函数的图象关于点对称

3、，且，求的值； （2）设，若是的充分条件，求实数的取值范围. 12（本小题满分15分）如图，已知正方形，、分别是、的中点，将ADE沿折起，如图所示，记二面角的大小为（1）证明：平面；（2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论,并求角的余弦值AACBDEFBCDEF 13（本小题满分20分）已知椭圆，直线过点和点交椭圆于，直线交椭圆于（1）用表示的面积；（2）若，为定值，求的最大值14（本小题满分20分）如图，在xOy平面上有一系列点，对每个自然数n，点位于函数的图象上以点为圆心的与x轴都相切，且与又彼此外切，若，且（1）求证：数列是等差数列；（2）设的面积为，求证：1

4、5（本小题满分20分）已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）若对满足的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）；（3）求证：对任意正数、，恒有.2010年广东增城中学鹤岭杯高二数学竞赛答卷学号 姓名 分数 一选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确选项前的字母代号填在对应的位置.）题号1234答案二填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分把答案填在题中横线上）5 6 7 8 9 10 三解答题：(本大题共5小题，共90分请在相应位置作答，要求写出解答过程)11（本小题满分15分）12、（本小题满分15分）A

5、ACBDEFBCDEF 13、（本小题满分20分） 14、（本小题满分20分）15(本小题满分20分) 2010年广东增城中学鹤岭杯高二数学竞赛参考答案一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分1A 2C 3D 4BADCBOH3、D 将两个边长都为1的正三角形一条边重合，一个三角形不动，另一个三角形由重合的位置逐渐张开，当张开到两三角形垂直位置时体积最大，再继续张开则体积逐渐减少。故选C。当两三角形趋向重合时，故值域为二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分5答：。如图，作直径BD，因ADAB，ADCH。同理AHCD于是四边形AHCD是平行四边形。所以。也可根据特殊值法，令AB

6、C为等边三角形得答案。6 7 8解 设令，；令，-得，所以奇次项系数之和为41. 9解 引入自变量和因变量，列表得12345361015 在猜想一次关系未获通过的情况下，调整为二次函数关系，把分别代入解之，得关系式为，或化为。以验证均获通过。因此可求得第24个与第22个三角形数分别为300，253，故这两个三角形数的差为47 10 三、解答题：本大题共5小题，共90分要求写出解答过程11（本小题满分15分）解：解：（） ，的图象的对称中心为.又已知点为的图象的一个对称中心，.而，或.（）若成立，即时，由， 是的充分条件，解得，即的取值范围是 12（本小题满分15分）()EF分别为正方形ABCD

7、得边AB、CD的中点,EB/FD,且EB=FD, 四边形EBFD为平行四边形.BF/ED平面.（2）法一:如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.ACD为正三角形, AC=ADCG=GD G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, .法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF,在平面AEF内过点作

8、,垂足为.ACD为正三角形,F为CD的中点, 又因, 所以 又且 为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即 设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中, AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, .法三: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.ACD为正三角形, F为CD的中点, 又因, 所以 又 为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即 设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, , . 13（本小题满分20分）解：（1）易得l的方程为1分 由，得解得或 即点的纵坐标7分 （2）由（1）得， 令 由当时，10分 若，则，故当时，若，则在上递增，进而为减函数. 当时,综上可得14（本小题满分20分）解: 证明：（1）依题意，的半径与彼此外切，则即，两边平方，化简