河北省2011年高考数学第一轮总复习 14.3数学归纳法知识点检测课件 人教版

1、第三节 数学归纳法,基础梳理,1. 数学归纳法的适用对象 一般地,对于某些与 有关的数学命题,我们用数学归纳法公理. 2. 数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下： (1)如果当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确; (2)假设当 时结论正确,证明当n= 时结论也正确. 那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.,正整数,n=k(kN*,且kn0),k+1,典例分析,题型一 与自然数n有关的等式的证明 【例1】用数学归纳法证明：,分析 用数学归纳法证明问题，应严格按步骤进行，并注意过程的完整性和规范性.,证明 （1）当n=1时，左边=124=18,右边=18,等式

2、成立. (2)假设当n=k(kN*)时, 成立;,当n=k+1时， 所以当n=k+1时，等式也成立. 综上可得，等式对于任意nN*都成立.,学后反思 用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当n=k+1时命题成立，必须要用当n=k时成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明.,举一反三 1. 用数学归纳法证明：,解析： （1）当n=1时，左边= ,右边= ,等式成立. （2）假设n=k(kN*)时, 成立; 当n=k+1时, 左边= n=k+1时，等式成立. 综上可得，对于任意nN*等式都成立.,题型二 用数学归纳法证明整除问题 【例2】求证： （nN*）能被9整除.,分析 当n=1时，原式=27能

3、被9整除.因此要研究 与 之间的关系，以便利用归纳假设 能被9整除来推证 也能被9整除.,证明 设 （1）f(1)=(31+1)7-1=27能被9整除，因此当n=1时命题成立. (2)假设n=k(kN*)时命题成立， 即 (kN*)能被9整除. 则,由于f(k)能被9整除， 能被9整除， 所以 能被9整除. 由（1）、（2）知，对所有正整数n, 能被9整除.,学后反思 整除问题一般是将n=k+1时的结论设法用n=k时的结论表达，而后利用假设来讨论判断是否满足整除.,举一反三 2. 用数学归纳法证明： (nN*)能被x+2整除.,证明： （1）当n=1时， 1-(3+x)=-2-x=-(x+2)

4、，能被x+2整除. （2）假设当n=k时， 能被x+2整除, 则可设 = (f(x)为k-1次多项式). 当n=k+1时， 能被x+2整除. 综上可知，对任意nN*,1-(3+x)n能被x+2整除.,题型三 用数学归纳法证明不等式 【例3】求证： (n2,nN*).,分析 和正整数有关，因此可用数学归纳法证明.,证明 （1）当n=2时，左边= ,不等式成立. （2）假设当n=k(k2,kN*)时不等式成立，即 成立,则当n=k+1时, 所以当n=k+1时不等式也成立. 由（1）（2）可知原不等式对一切n2，nN*都成立.,学后反思 在用数学归纳法证明不等式时，往往需综合运用不等式证明的其他方法

5、，如比较法、放缩法、配方法、分析法、基本不等式等.,举一反三 3. 求证： (nN*).,证明： （1）当n=1时， 左边= ,n=1时不等式成立. （2）假设n=k(kN*)时原不等式成立, 即 则当n=k+1时, 左边=, 左边1,n=k+1时原不等式成立. 综上可得,原不等式对于一切nN*都成立.,题型四 用数学归纳法证明有关数列问题 【例4】(14分)在数列an中， ,当nN*时满足 ,且设 . 求证： 各项均为3的倍数.,分析 由于要证的是与正整数n有关的命题，可用数学归纳法证明.这里要注意 是由递推关系给出的.,证明 （1） , , , .2 当n=1时， 能被3整除6 （2）假设

6、n=k(kN*)时命题成立，即bk=a4k是3的倍数. 则当n=k+1时, ,.10 由归纳假设， 是3的倍数，故可知 是3的倍数. 当n=k+1时命题成立.12 综合（1）（2）知，对任意nN*，数列 各项都是3的倍数. 14,学后反思 在证n=k+1时，对 应用递推关系式裂项，裂项后需产生 项，这样便于应用归纳假设；除此之外就是凑成3的倍数.,举一反三 4. 是等比数列,公比为q. 求证： 对于一切nN*都成立.,证明： （1）当n=1时， ,等式成立. （2）假设当n=k（kN*）时，等式成立，即 . 则当n=k+1时， 即当n=k+1时等式也成立. 由(1)(2)可得，等式对一切nN*

7、都成立.,易错警示,【例】已知 (nN*).用数学归纳法证明 时， = .,错解,错解分析 中共有n项相加, 中应有 项相加， 中应有 项相加, 中应有 项.,正解,解析： （1）当n=1时，左边=1，右边=1,等式成立. （2）假设当n=k（kN*）时等式成立, 即1+4+7+(3k-2)= k(3k-1)成立； 则当n=k+1时, 1+4+7+(3k-2)+3(k+1)-2 = k(3k-1)+(3k+1) = (3k2+5k+2)=12(k+1)(3k+2) = (k+1)3(k+1)-1,解析: 首先必须应用归纳假设，然后采用配凑法.,10. （改编题）用数学归纳法证明“ 能被6整除”的过程中，当n=k+1时，对式子 应变形为： .,答案:,11. 用数学归纳法证明：1+4+7+(3n-2)= n(3n-1).,考点演练,即当n=k+1时等式成立. 由(1)(2)可知，原等式对任意nN*都成立.,12. 已知数列 计算数列和 、 、 、 ,根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.,解析： 上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用