考研数学二公式高数线代费了好大的劲技巧归纳

1、 高等数学公式 一、常用的等价无穷小 x 0当时 x -1 e ln（1+） tan sin arcsin arctan xxxxxx xln a -1ax (1+)-1 xx) (为任意实数，不一定是整数 12 1-cos xx2 增加113 3-sin arcsin 对应xxxxxx66113 3 对应 - arctan tan xxxxxx33 二、利用泰勒公式 32xx32 x ） x?x?o（?xsinxx+ o（） 1 + = e2！!322xx22? ln（1+）= o（）cos= 1 o（） xxxxx ！22 导数公式：1?x)(arcsin2?xtgx()sec?2x1?2

2、?x?(ctgx)csc1?)?(arccosx?tgx?secx)x?(sec2x?1?ctgxx?(cscx)?csc1?)(arctgxxx? a(aa)ln?2x?111?(arcctgx)?)(logx a2x1?axln 基本积分表：dx? Ccosx?lntgxdx?2?Ctgx?xdx?sec 2xcos? Cctgxdx?x?lnsindx2?Cctgx?xdx?csc 2xsin? Csecxdx?x?tgx?lnsec?Cx?dx?secsecx?tgx? Cctgx?lncscx?cscxdx?Cx?csccscx?ctgxdxxdx1?C?arctg 22xa?xaa

3、ax?Cdx?a adx1?xaln?Cln? 22a2?axx?a?C?shxdx?chxxa1?dx?Cln?C?chxdx?shx 22x?ax?2aadxxdx22?C?x)?ax?ln(?Carcsin? 22aax?22xa? 221?nnn?IxdxcosI?sinxdx? 2n?nn002ax222222?C)x?x?a?x?adx?x?aln( 222ax 222222?C?a?dx?a?x?a?lnxxx 222xax2222?Carcsin?xdx?ax?a a22 三角函数的有理式积分：2dux22u1?ucosx?，u?x?，tg，dx?sin 2222u?1u?1u

4、?1 两个重要极限：一些初等函数： xsinxx?ee?1lim?:shx双曲正弦 x20?x1x?xe?ex.2.7182818284(1?)59045?e?lim?:chx双曲余弦 x?x?2x?xe?eshx?thx双曲正切:? x?xchxe?e2）?1arshx?ln(x?x2)x?ln(?x1?archx?x11?lnarthx? x?21 三角函数公式： 诱导公式： 函数 ctg tg cos sin A 角 cos ctg-sin - tg sin tgctgcos-90 -ctg -sin cos+90 -tg -ctg-cos-180 sin tg ctgtg180+- -

5、sin cos tg 270- ctgsin-cos - sin -tg-cos- ctg270+ - ctgtg -360- sin -cosctgcos360sintg 和差化积公式： 和差角公式：?sincoscos)?sinsin(?cossinsin?sin?2 22?sin?)?cos?cossincos(?sin?sincos?2sin?tg?tg 22?)(tg? ?tg?tg1?cos2coscos?cos?1?ctgctg? 22?)?ctg( ?ctgctg?sincos?cos?sin2 22 倍角公式：?cos?2sin2sin3?sin?3sinsin342222?

6、sin?cos2?2coscos?1?1?2sin3?cos?4coscos332?1?ctg?ctg2 3?ctg2tg?3tg?tg3 2?tg31?tg2?tg2 2?tg1? 半角公式：?cos?1?1cos?cos?sin? 2222?sincos1?coscossin?1?cos11?tg?ctg ?221?coscos?sincos1?cossin11? cab222Cc2?aab?bcos?R?2 正弦定理：余弦定理： CBsinsinAsin ?arcctgxx?arccosxarctgx?arcsin 反三角函数性质： 22 Leibniz）公式：高阶导数公式莱布尼兹（n?

7、)k)(n?k(n)kvCu?(uv)n0k? )1?k?)(n?1)n(n?1?(nn)(n(n?1)k(?(n2)n(n?)k)(?uv?u?vv?nuuv?v?u !k2 中值定理与导数应用：?)?(a)f?(a)(b(拉格朗日中值定理：fb)?f?)?f()f(af(b?柯西中值定理： ?)a)F(F(b)?F拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是)?x当F(x 曲率：2?tg?dx,其中y弧微分公式：ds?1?y? ?弧长。MM?sM:从M点到：点，切线斜率的倾角变平均曲率：K?化量；.?s?y?d?M点的曲率：K?lim?. ?sds32?0?s?)?1y(直线：K?0;1半径为a

8、的圆：K?. a 定积分的近似计算：bab?)?y?)?y?(矩形法：yf(x 1?10nnab1?ab?)f(梯形法：y?yx(y?y)? 1?0n1n2nabab?y?y)f(抛物线法：x(y?y)?2y?y?y)?4y 1nn2?n24310?n3a 定积分应用相关公式：功：W?F?s水压力：F?p?Amm12,kk为引力系数引力：F? 2rb1 ?dx)f(x函数的平均值：y? b?aab12?dtt均方根：f)(a?ba 多元函数微分法及应用?z?z?u?u?udx?dydu?dx全微分：dz?dy?dz ?x?y?x?y?z全微分的近似计算：?z?dz?f(x,y)?x?f(x,y

9、)?yyx多元复合函数的求导法：dz?z?u?z?vz?fu(t),v(t)? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?fu(x,y),v(x,y)? ?x?u?x?v?x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，?u?u?v?vdu?dx?dydv?dx?dy ?x?y?x?y隐函数的求导公式：2FFFy?d?dydyxxx)?)(0，?，?(?x隐函数F(,y) 2dxF?xF?yFdxdxyyyFF?z?zyx，?0?，?),(隐函数Fxyz F?F?xyzzF?FFF 0?v)F(x,y,u,?)GF,?(v?uvu?J?隐函数方程组：? GG?GG0)?G(x,y,u,v),v?(

10、u?vuv?u?)G?(F,?(F,G)v1?u1? )xu,v)?xJ?(?xJ?(x),GG)?v1?(F?u1?(F,? )y?yJ?(u,y?yJ?(,v) 微分法在几何上的应用： 方向导数与梯度： 多元函数的极值及其求法：C?,y)B,f(x)?A,f(x,y)?,f设f(x,y)?(x,y)?0，令：f(xy0yy00xx0yxyx000000?为极大值)x,yA?0,(?002时，0?B?AC?为极小值)x,yA?0,(?00? 2时，无极?0则：值AC?B?2不确定时?B,?0AC? 重积分及其应用：?rdrdsincos),y)dxdy?rf(r(fx,?DD22?z?z?d

11、xdy1的面积曲面z?f(x,y)A?y?x?D?d)d)x,yyx(x,yMMyxDD?y?,平面薄片的重心：x? MM?d(x,),y(y)dxDD22?dy)(y,对于轴I?I平面薄片的转动惯量：对于x轴?xyxx(,y)d,yxDD平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?F,F,F，其中：zxy?xdy)yd,(x,(xyxdx(,y)?fa?FfF，f，F? zyx333222222222 DDD)a)?y?(xa?yx(?)x(?ya222 微分方程的相关概念：?0?,y)dyy)dx?Q(一阶微分方程：yx?f(x,y)或P(x,的形式，解法

12、：dx(x)g(y)dy?f可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为?称为隐式通解。Cx)?(y)?F(g(y)dy?Gf(x)dx得：ydy?程可以写成齐次方程：一阶微分方)，即写成?的函数，解法：(x,y?f(x,y) xdxyduydydududx?，u)，?分离变量，积分后将，则?u?x，u?代替(u设u? ?xu(u)?dxxdxdxx即得齐次方程通解。 一阶线性微分方程：dy)x?Q(P(x)y1、一阶线性微分方程：? dx?dxx)?P(Cey?0时,为齐次方程，当Q(x) ?dx)?P(P(x)dxx?eC)当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(Q(x)edx?dyn)1n?

13、0?yQ(x)y,，(2、贝努力方程：?P(x) dx 全微分方程：分方程，即：0中左端是某函数的全微)dy?()dx?Qx,y如果P(x,yuu?)y(x,y)，?Q,(xy)dy?0，其中：?P(x,xdu(,y)?P(xy)dx?Q y?x通解。应该是该全微分方程的?Cyu(x,)? 二阶微分方程：f(x)?0时为齐次2ydyd?P(x)?Q(x)y?f(x)， 2dxdxf(x)?0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： ?qy?0，其中p?py,q(*)y为常数；求解步骤：22?,yyy的系数；,q?0，其中r的系数及常数项恰好是，r(*)式中(1、写出特征方程：?)r?pr

14、2、求出(?)式的两个根r,r213、根据r,r的不同情况，按下表写出(*)式的通解： 21(*)式的通解 的形式rr， 21rxrx2ece?y0qp(?4?)c?21 两个不相等实根21xr2e)xy?(c?(pc?4q?0)1 两个相等实根 21?x2?)sincp(cos?4q?0)xxy?e?c(一对共轭复根 21?ii?，r?r?212pq?4p ?，?22 二阶常系数非齐次线性微分方程?为常数,q(x)y，?pyp?qy?f?x?为常数；型，P(xf(x)?e) m?x?型)sinx)cosxx?Pf(x)?e(xP(nl 式1、行列2n 个元素，展开后有项，可分解为1. 行列式

15、共有行列式；n!nn2 代数余子式的性质：2. 的大小无关；、和aAijij ；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0 ；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 Aji?j?i 代数余子式和余子式的关系：3. MA(?M(?1)1)?Aijijijij 行列式 设：4.nD1)?n(n 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为将，则；DDD?D(?1)2111)?n(n o，则顺时针或逆时针旋转，所得行列式为； 将DD1)?DD(90222将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则； DDDD?33 ，则；将主副角线翻转后，所得行列式为DDD?D44 5. 行列式的重要公

16、式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积；1)?n(n ； 、副对角行列式：副对角元素的乘积1)?(2、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积； ? n(n?1) ； 和、：副对角元素的乘积?1)?( 2 CAAAOCOAmgn 、拉普拉斯展开式：、 B?1)(?AABCCBOBOBB、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 、特征值；n?kknn? ，其中为阶主子式；6. 对于阶行列式，恒有：? nAkSSA?(?1)Ekk1k? 的方法：7. 证明 0A? ；、 A?A 、反证法； ，证明其有非零解；、构造齐次方程组0?Ax ；、利用秩，证明n?r(A) 是其特征值；、证明0 阵、矩2 阶可

17、逆矩阵： 是1.nA （是非奇异矩阵）； 0?A? （是满秩矩阵）?n?r(A) 的行（列）向量组线性无关；?A 有非零解；齐次方程组?0?Axn ，总有唯一解；?bAx?R?b? 与等价；EA? 可表示成若干个初等矩阵的乘积；?A 0；的特征值全不为?AT 是正定矩阵；?AAn 的一组基；的行（列）向量组是?ARn 中某两组基的过渡矩阵；是A?R* 成立；无条件恒 2. 对于阶矩阵： nE?AAA?AAA*T*TT?1T?1?1*1 3. )?(A?)(A()(?(AA)(AA)11?1TTT*? A(AAB)(AB)?BA(AB)B?B? 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，

18、可求代数和；4. 、可逆：5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均BAA?1?A?2 若，则：?A?O?A?s、； AALA?As21?1?A1?1?A?1?2； 、?A?O?1?A?s1?1AO?OA?；（主对角分块）、 ?1BOBO?1?1AO?BO?；（副对角分块） 、?1?OBOA?1?11?1CA?CBAA?；（拉普拉斯）、 ?1BOBO?1?1AO?AO?、 ；（拉普拉斯）?1?11CB?BBCA?3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：n?mAEO?r； ?F?OO?m?n等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类

19、；标准形为其形状最简A单的矩阵； 对于同型矩阵、，若； BABA:(B)?r(A)?r2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） r:?1? ，则可逆，且、若；A)?X(E,(A?E)?,?A?Xc1?1?；变为时，就变成即： ，当、对矩阵做初等行变化，BAE)B(A,)?(E,AB,(AB)BAr:可逆，则、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果nnA)x(E(A,b),bAx?1? ；且b?Ax 初等矩阵和对角矩阵的概念：4. 、初等矩阵是

20、行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列 矩阵；?1?2的各列元的各行元素；右乘，乘，左乘矩阵、，乘?AAA?ii?O?n素； 1?11?1，例如： ，、对调两行或两列，符号且；11?)iE(,j),i(,j)j(?EiE?11?1?1，例如且，号某乘、倍某行或列，符：)(E(ik)kiE()?Ei( k1?1?1?1?； 0)k?(k? ?k?1?1?1，如：符号,且、倍加某行或某列，)k(ij(ij(k)(?EE)(ij(kE?11k1k? ；0)?(k?11?11?5. 矩阵秩的基本性质： 、； )n?min(m,0?r(A)n?mT；、 )A)?rr(A(、若，则

21、； BA:)B?r(Ar()、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） P)(PAQ?r(AQ)?rr(A)?r(PA)Q、；（） )(Br(A)?r),r(B)?r(A,B)?max(r(A、；（） )B(A)?r(r(A?B)?r、；（） )B(A),r(rr(AB)?min(、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（） snn?m?BA0?AB 、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）； B0AX?、 n?B)A)?r(r(、若、均为阶方阵，则； nBAn)?r(Br(AB)?r(A)6. 三种特殊矩阵的方幂： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用?结合

22、律； 1ac?的矩阵：利用二项展开式；、型如 b10?100? 二项展开式：n?n?mmmn11n?1nn0n1n?11mn?mmn? ；Cab?bCab?Ca?Cab?L?Cb?L)(a?b?Cannnnnn0m?n展开后有项；注：、 1n?)?b(an(n?1)LL(n?m?1)n!0nm、 ?1?CC?C nnn)!1g2g3?mmm!(ngLgn?rnrr1mm?1mmn?m ；、组合的性质：nC ?CC?2?CCCrC?C1nnn?n1nn?nn0r?、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： nr(A)?n?*；、伴随矩阵的秩： 1nA)?1?(rA)?(r?1?0n?)A(r?

23、AA*1*?；、伴随矩阵的特征值： ? )A,AX?AAX?(AX?X?n?1 1*?* 、 A?AAAA?8. 关于矩阵秩的描述： A、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话） nA1?nn)?r(A、，中有阶子式全部为0； nAn?A)r(、，中有阶子式不为0； nAn)?r(A9. 线性方程组：，其中为矩阵，则： n?mAbAx?、与方程的个数相同，即方程组有个方程； mmb?Ax、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程； nnbAx?10. 线性方程组的求解： b?Ax、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）； B、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后

24、求得； 11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程： nnmax?ax?L?ax?b?111n12n121?ax?ax?L?ax?b?2nn2211222； 、?LLLLLLLLLLL?ax?ax?L?ax?b?n12nmmm12naaLaxb?111112n1?aLxbaa?2n212222（向量方程，为矩阵，个方程，、mnm?Ab?Ax?MMMMOM?aLaaxb?mmmnm1m2 个未知数）nxb?11?xb?22、）； （全部按列分块，其中?aaaL?21n?MM?bx?nn?（线性表出） 、?axax?L?ax?n2n121?（为未知数的个数或维数）、有解的充要条件： nn)A,

25、?r(A)?r(4、向量组的线性相关性 1. 个维列向量所组成的向量组：构成矩阵； ?mn?mnA)LA,L,?(,m12m21T?1?T?TTT2；：构成矩阵 个维行向量所组成的向量组?nmmn?B?B,L?m21M?T?m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. 、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组） 0?Ax?、向量的线性表出 （线性方程组） 是否有解；b?Ax?、向量组的相互线性表示 （矩阵方程） 是否有解；B?AX?3. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；0Bx?0?AxBAnln?m?P例(14) 101PT例( 15) ；4.)AA

26、A)?r(r(101维向量线性相关的几何意义： 5.n?线性相关 ； 、?0?、线性相关 坐标成比例或共线（平行）； ?,、线性相关 共面； ?,6. 线性相关与无关的两套定理： 若线性相关，则必线性相关； ?,L,L11sss12?2若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为?,L,L1?s2211s对偶） 若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组： nn?rBAr若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的AABB维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二sABA

27、sr?rP定理7)；版 74P定理3）线性表示，则；（ 向量组能由向量组BA)r(A)?r(B86向量组能由向量组线性表示 BA有解； B?AXP定理2） （ )?r(A,B?r(A85P定理2推论） 能由向量组 向量组等价（BA)A(,B?r(A)?r(B)?r858. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使； ?APPPLA?PP,P,L,ll2211r 与同解（左乘，、矩阵行等价：可逆）BPA?AB?P0Bx0?Ax?c ；、矩阵列等价：（右乘，可逆）QBAAQ?B? 、可逆）；（、矩阵等价：PQB?PAQ?AB 对于矩阵与：9. BAnn?l?m 与的行秩相等；、若与行等价，则BBAA的任何对

28、应的列向量组具有与与行等价，则与同解，且、若BBAA0Bx?Ax0? 相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵的行秩等于列秩；A 若，则：10. CA?Bn?ms?sn?m 为系数矩阵；的列向量组线性表示，、的列向量组能由BACT 的行向量组线性表示，的行向量组能由、（转置）为系数矩阵；BCA11. 齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证0ABxBx?0?明； 、 只有零解只有零解； 0?0Bx?ABx、 有非零解一定存在非零解； 0?0ABx?BxP题19结论）设向量组可由向量组线性表示为：（ 12. a,b,A:a,a,LB:b,b,L110sr2n?r1n1?2s（） AKB?Ka)ab)?(a,L,(b,b,L,s2r211 其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有rs?KKBABr)?r(K相同线性相关性） （必要性：；充分性：反证法） r?r(K)K),r()?r,?Qr?r(B)?r(AK)?r(K 注：当时，为方阵，可当作定理使用； sr?KP）（ ， 、的