第九章动态电路的时域分析

1、第九章,动态电路的时域分析,本章内容,9-1,动态电路的方程及其初始条件,9-2,一阶电路的零输入响应,9-3,一阶电路的零状态响应,9-4,一阶电路的全响应,9-5,一阶电路的,阶跃响应,9-6,一阶电路的,冲激响应,9-7,二阶电路的零输入响应,9-8,二阶电路的零状态响应和全响应,9-1,动态电路的方程及其初始条件,1,、动态电路的方程,动态元件（储能元件）,元件的电压电流约束关系通过导数,(,或积分,),表达。,动态电路,含有动态元件,(,电容和电感,),的电路称动态电路。,特点,当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化,过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡,过

2、程。,过渡过程事例,在图,9-1,中,K,接通,电阻支路中灯泡立即发亮,程度不再变化。,图,9-1,电感支路的灯泡由暗逐渐变亮达到稳定。,电容支路的灯泡由立即发亮但很快变为不亮。,过渡过程产生的原因,电路内部含有储能元件,L,、,C,，电路在换路时能量发生变,化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,换路,电路结构或参数发生变化引起的电路变化,一般认为换路是在,t=0,时刻进行的。,t=0,：换路时刻，换路经历的时间为,0,到,0,+,；,t=0,：换路前的最终时刻；,t=0,+,：换路后的最初时刻。,分析动态电路的过渡过程的方法之一（经典法）：,根据,KCL,，,KVL,和,VCR,建

3、立描述电路的以时间为自变量的线,性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电,流或电压）。,用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件,确定解答中的积分常数。若描述电路动态过程的微分方程为,n,阶，所谓初始条件就是指电路中所求变量（电压或电流）及,其,1,阶至（,n,1,）阶导数在时的值，也称初始值。电容电压,和电感电流称为独立的初始条件，其余的称为非独立的初始,条件。,2,、电路的初始条件,电容的电荷和电压,?,q,(,t,),?,q,(,t,),?,t,i,(,?,),d,?,C,C,0,C,?,?,t,?,0,?,t,1,?,u,C,(,t,),?,u,C,(,t,0,)

4、,?,i,C,(,?,),d,?,?,?,C,t,0,?,取,t,0,?,0,?,t,?,0,?,则,?,q,(,0,),?,q,(,0,),?,i,(,?,),d,?,C,?,?,0,?,C,?,C,?,?,1,0,?,?,u,C,(,0,?,),?,u,C,(,0,?,),?,?,i,C,(,?,),d,?,c,0,?,?,0,?,i,C,?,M,(,有限值）,?,0,?,0,?,i,C,(,?,),d,?,?,0,?,q,C,(,0,?,),?,q,C,(,0,?,),?,?,u,C,(,0,?,),?,u,C,(,0,?,),q,C,(,0,?,),?,q,0,u,C,(,0,?,),

5、?,U,0,则有,q,t,?,0,?,时，,若,C,(,0,?,),?,q,0,u,C,(,0,?,),?,U,0,故换路瞬间，电容相当于电压值为,U,的电压源；,0,q,C,(,0,?,),?,0,u,C,(,0,?,),?,0,则应有,t,?,0,?,时，,q,若,C,(,0,?,),?,0,u,C,(,0,?,),?,0,则换路瞬间，电容相当于短路。,?,?,(,t,),?,?,(,t,),?,t,u,(,?,),d,?,L,L,0,L,?,?,t,?,0,?,t,1,?,i,L,(,t,),?,i,L,(,t,0,),?,u,(,?,),d,?,L,?,?,L,t,0,?,t,0,?,

6、0,?,t,?,0,?,?,?,(,0,),?,?,(,0,),?,u,(,?,),d,?,L,?,?,0,?,L,?,L,?,?,1,0,?,?,i,L,(,0,?,),?,i,L,(,0,?,),?,?,u,L,(,?,),d,?,L,0,?,?,0,?,u,L,?,M,?,?,L,(,0,?,),?,?,L,(,0,?,),?,?,i,L,(,0,?,),?,i,L,(,0,?,),?,0,?,0,?,u,L,(,?,),d,?,?,0,?,L,(,0,?,),?,?,0,t,?,0,?,时，,?,若,则有,L,(,0,?,),?,?,0,i,L,(,0,?,),?,I,0,I,0,的电

7、流源,i,L,(,0,?,),?,I,0,故换路瞬间，电感相当于电流值为,?,L,(,0,?,),?,0,?,t,?,0,?,时，,若,则有,L,(,0,?,),?,0,i,L,(,0,?,),?,0,i,L,(,0,?,),?,0,故换路瞬间，电感相当于开路。,换路定律,q,c,(0,+,),= q,c,(0,),u,C,(0,+,) =,u,C,(0,),换路瞬间，若电容电流保持为有,限值，则电容电压（电荷）换路前后,保持不变。,换路瞬间，若电感电压保持为有,?,L,(0,+,)=,?,L,(0,),限值，则电感电流（磁链）换路前后,i,L,(0,+,)=,i,L,(0,),保持不变。,注

8、意,电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立,的条件。,换路定律反映了能量不能跃变。,小结,求初始值的步骤,:,1.,由换路前电路（稳定状态）求,u,C,(0,),和,i,L,(0,),；,2.,由换路定律得,u,C,(0,+,),和,i,L,(0,+,),。,3.,画,0,+,等效电路。,a.,换路后的电路,b.,电容（电感）用电压源（电流源）替代。,（取,0,+,时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流,方向相同）。,4.,由,0,+,电路求所需各变量的,0,+,值。,例,9-1,电路如图所示，开关闭合,时电路已达稳态。,t,0,时,打开开关，求,i,C,(0+),。,解：,(1),由,0

9、,电路求,u,C,(0,),i,10k,+,10k,40k,10V,-,u,C,(0,)=8V,(2),由换路定律,+,u,C,-,+,i,+,C,40k,u,C,10V,S,-,-,i,i,+,C,+,10k,10V,8V,-,-,0,+,等效电路,电容,用电,压源,替代,u,C,(0,+,) =,u,C,(0,)=8V,(3),由,0,+,等效电路求,i,C,(0,+,),10,?,8,i,C,(0,?,),?,?,0.2mA,10,例,9-2,电路如图所示，,t=0,时电路已处于稳态，,t=0,时闭合,开关,S ,求,u,L,(0+),。,应用换路定律,:,1,?,4,?,i,L,(0,

10、+,)=,i,L,(0,) =2A,+,+,由,0,+,等效电路求,u,L,(0,+,),10V,S,L,u,-,1,?,+,10V,-,i,L,L,-,解,先求,i,L,(0,?,),4,?,1,?,+,10V,-,4,?,2A,+,u,L,-,电感,用电,流源,替代,i,L,电感,短路,u,L,(0,?,),?,?,2,?,4,?,?,8V,10,i,L,(0,?,),?,?,2A,1,?,4,9-2,一阶电路的零输入响应,无外施激励，由动态元件的初始值引,零输入响应,起的响应。,1,、,RC,电路的零输入响应,RC,电路的零输入响应如图所示，分析过程如下：,t 0,时，,S,1,闭合，,

11、S,2,断开，,C,被充电,t =0,时，换路（开关瞬时动,作）,t 0,时，,S,1,断开，,S,2,闭合，,C,放电,S(,t,=0),C,i,+,R,u,R,电路的微分方程为,+,u,C,du,C,?,?,u,C,?,0,t,?,0,?,RC,dt,?,?,u,C,(,0,),?,U,0,?,t,?,RC,?,u,C,(,t,),?,u,C,(,0,?,),e,?,U,0,e,t,?,RC,t,?,0,du,C,U,0,i,(,t,),?,?,C,?,e,dt,R,特征方程,特征根,时间常数,t,?,RC,t,?,0,RCp+,1=0,1,p,?,?,RC,?,?,RC,U,0,i,(0

12、,?,),?,，电流发生跃变；,t,?,0,，换路时，,i,(0,?,),?,0,，但,R,时间常数,?,越小，电压、电流衰减越快，反之，则越慢；,u,t,?,0,时，,C,(0),?,U,0,e,?,U,0,；,0,u,?,0.368,U,0,；,t,?,?,时，,C,(,?,),?,U,0,e,?,1,?,u,C,(,t,0,),?,e,?,0.368,u,C,(,t,0,),）经过常数,?,，总有,u,C,(,t,0,?,?,),?,U,0,e,t,?,(3,?,5),?,。,t,?,?,；,工程上,),过渡过程的结束，理论上,?,?,1,?,t,0,?,?,t,u,c,?,U,0,e,

13、?,t,0,?,2,?,3,?,5,?,?,U,0,0.368,U,0,0.135,U,0,0.05,U,0,0.007,U,0,指数曲线上任意点的次切距长度,；,ab,都等,?,u,C,(,t,0,),ab,?,?,(,t,),u,C,0,U,0,e,(,U,0,e,?,t,0,?,t,0,?,1,?,?,?,?,(,?,),?,RC,电路,c,、,i,c,中,u,与,t,的,关系曲,线,?,?,RC,，可用改变电路的参数的办法加以调节或控制；,能量转换关系：电容不断放出能量，电阻不断消耗能量，,最后，原来储存在电容的电场能量全部为电阻吸收并转换为,热能。,2,、,RL,电路的零输入响应,R

14、L,电路的零输入响应如图所示，分析过程如下：,t 0,时，,S,1,与,b,端相接，,S,2,断开，,L,通电,t =0,时，换路（开关瞬时动作）,t 0,时，,S,1,投向,c,端，,S,2,闭合，,L,放电,?,di,L,?,R,i,L,?,0,t,?,0,?,L,?,dt,电路的微分方程及其解为,?,i,(0),?,I,(,因电感电流不能跃变,),0,?,L,?,i,L,(,t,),?,i,L,(0,?,),e,?,?,I,0,e,?,t,?,0,t,?,di,L,L,?,u,L,(,t,),?,L,?,?,R,I,0,e,时间常数,?,?,dt,R,?,t,?,t,零输入响应是在输入为

15、零时，由非零初始状态产生的，,它取决于电路的初始状态和电路的特性；,零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，因为没有外,施电源，原有的贮能总是要逐渐衰减到零的；,RL,电路,L,、,i,L,中,u,与,t,的关,系曲线,零输入比例性，若初始状态增大,N,倍，则零输入响应也,相应地增大,N,倍；,特征根具有时间倒数或频率的量纲，故称为固有频率。,时间常数求解,：换路后，把电容,C,（电感,L,）断开，求出,L,?,?,二端子间的戴维宁等效电阻,R,，,?,?,R,C,，,R,零输入响应求解：,u,C,(,t,),?,u,C,(0,?,),e,；,i,L,(,t,),?,i,L,(0,?,),e,?

16、,?,t,?,t,?,求解其它量（利用,KCL,、,KVL,、元件,VCR,）,例,9-3,图示电路中,t=0,时，开关,由,a,投向,b,，在此以前电容,电压为,U,0,，试求,t 0,时，电容电压及电流。,?,?,R,eq,C,R,eq,?,R,1,?,R,2,从,R,2,左端看进,解：,时间常数,去的等效电阻。,u,C,(,t,),?,u,C,(0,?,),e,?,t,?,?,U,0,e,?,t,(,R,1,?,R,2,),C,t,?,0,du,C,U,0,i,(,t,),?,?,C,?,e,dt,R,1,?,R,2,?,t,(,R,1,?,R,2,),C,t,?,0,例,9-4,t=0

17、,时,打开开关,S,，求,u,v,S(,t,=0),u,V,10V,+,R,=10,?,解,i,L,+,V,_,R,10k,?,V,L,=4H,i,L,(0,+,) =,i,L,(0,) = 1 A,L,4,?,4,?,?,?,?,4,?,10,s,R,?,R,V,10000,?,t,i,L,?,i,L,(0,?,),e,?,?,e,?,t,?,?,e,?,2500,t,u,V,?,?,R,V,i,L,?,?,10000,e,?,2500,t,t,?,0,9-3,一阶电路的零状态响应,零状态响应,动态元件初始能量为零，由,t0,电路中外,加激励作用所产生的响应,。,1.,RC,电路的零状态响应

18、,RC,电路的零状态响应如图所示，分析过程如下：,t 0,时，开关闭合，电容,通过,R,放电完毕,t =0,时，打开开关,t 0,时，电流源与,RC,电,路接通,?,du,c,1,?,u,C,?,I,S,t,?,0,?,C,R,?,dt,?,?,u,C,(,0,),?,0,u,C,?,u,Ch,(,t,),?,u,Cp,(,t,),t,?,?,?,u,Ch,(,t,),?,Ke,RC,t,?,0,?,?,?,u,Cp,(,t,),?,Q,?,RI,S,t,?,0,?,u,C,(,t,),?,u,Ch,(,t,),?,u,Cp,(,t,),?,Ke,?,?,t,RC,?,RI,S,t,?,0,?

19、,t,u,C,(,0,),?,K,?,RI,S,?,0,?,K,?,?,RI,S,t,RC,?,u,C,(,t,),?,?,RI,S,e,?,RI,S,?,RI,S,(1,-,e,?,t,RC,),?,u,C,(,?,),(1,-,e,?,),t,?,0,u,Cp,(,t,),为稳定分量，与外施激励的变化规律有关，又,称强制分量；,u,Ch,(,t,),对应齐次方程的通解,),取决于特征根，与外施,(,激励无关，也称为自由分量，自由分量按指数规律衰减，最终,趋于零，又称为瞬态分量。,RC,电路中,U,C,与,t,的关系曲线,2.,RL,电路的零状态响应,RC,电路的零状态响应如图所示。,类似于

20、,RC,电路，可求出零状态响应为,U,S,i,L,(,t,),?,(1,?,e,R,R,?,t,L,S(,t=,0),),?,i,L,(,?,)(1,?,e,?,),t,?,0,?,t,R,i,L,+,+,u,R,+,u,L,L,U,S,当电路达到稳态时，电容相当于开路，而电感相当于,短路，由此可确定电容电压或电感电流稳态值；,?,i,L,(,?,),相当于,L,支路的短路电流,稳态值,?,?,u,C,(,?,),相当于,C,支路的开路电压,固有响应，微分方程通解中的对应齐次方程的解，因,其随时间的增长而衰减到零，又称为暂态响应分量；,强制响应，微分方程通解中的特解，其形式一般与输,入形式相同

21、，如强制响应为常量或周期函数，又可称为稳态响,应；,RC,、,RL,电路，输入,DC,，贮能从无到有，逐步增长，,u,所以，,C,i,L,从零向某一稳态值增长，且为指数规律增长；,零状态比例性，若外施激励增大,?,倍，则零状态响应也,增大,?,倍，如果有多个独立电源作用于电路，可以运用叠加定,理求出零状态响应。,3,、,RL,电路在正弦电压激励下的零状态响应,RL,电路在正弦电压激励下的零状态响应如图所示，分析过,程如下：,电路方程：,通解为,R,i,?,L,di,?,U,m,cos(,?,t,?,?,u,),dt,i,?,i,?,i,L,自由分量：,i,?,Ae,?,?,R,?,t,?,L,

22、p,?,R,?,0,）,（特征方程,?,I,m,cos(,?,t,?,?,),强制分量：,i,d,i,R,i,?,L,?,U,m,cos(,?,t,?,?,u,),的特解,为方程,dt,U,m,?,2,2,I,?,Z,?,R,?,(,?,L,),m,?,Z,?,这里：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,tg,?,1,?,L,u,?,R,?,U,m,?,i,?,cos(,?,t,?,?,u,?,?,),?,Ae,Z,?,t,?,U,m,cos(,?,u,?,?,),由,i,L,(,0,?,),?,i,L,(,0,?,),?,0,?,A,?,?,Z,t,?,U,m,U,m,?,i,?,cos(,

23、?,t,?,?,u,?,?,),-,cos(,?,u,?,?,),e,?,Z,Z,R,R,u,R,?,R,i,?,U,m,cos(,?,t,?,?,u,?,?,),-,U,m,cos(,?,u,?,?,),e,Z,Z,?,t,?,?,L,R,di,u,L,?,L,?,U,m,cos(,?,t,?,?,u,?,?,?,90,?,),-,U,m,cos(,?,u,?,?,),e,dt,Z,Z,强制分量,i,与外施激励按相同的正弦规律变化；,?,t,?,自由分量,i,随时间增长而趋于零，自由分量指数函数,t,?,U,m,?,cos(,?,u,?,?,),与,?,e,前的系数,有关，即与开关闭合的时刻

24、有关。,u,Z,U,m,?,cos(,?,u,?,?,),?,0,i,?,0,?,a),若开关闭合时，,，则,A,?,?,u,?,?,?,2,Z,U,m,i,?,i,?,cos(,?,t,?,90,?,),Z,不发生过渡过程,U,m,U,m,?,A,?,?,cos(,?,u,?,?,),?,?,b),若开关闭合时，,u,?,?,，则,Z,Z,U,m,i,?,?,e,?,Z,?,t,U,m,U,m,i,?,cos,?,t,?,e,?,Z,Z,t,?,U,m,i,?,-2,I,m,?,-2,；,Z,T,?,?,很大（,t,?,时,R,?,0,?,?,?,?,?,i,），,衰减极慢，,2,2,RL,

25、电路与正弦电流接通后，在初始值一定条件下，电,路过渡过程与开关动作的时间有关。,零状态响应求解（直流激励）：,u,C,(,t,),?,u,C,(,?,),(1,-,e,),;,i,L,(,t,),?,i,L,(,?,)(,1,?,e,),?,?,t,?,t,?,求解其它量（利用,KCL,、,KVL,、元件,VCR,）,例,9-5,在图示电路中，,t=0,时，开关由,a,投向,b,并设在,t=0,时，开关,与,a,端相接为时已久，试求,t,0,时，电容电压及电流，并计算,在整个充电过程中电阻消耗的能量。,解：,u,C,(,0,?,),?,u,C,(,0,?,),?,0,u,C,(,t,),?,u

26、,c,(,?,),(1-,e,RC,),t,?,?,U,S,(1-,e,RC,),t,?,0,2,S,?,t,t,du,C,U,S,?,RC,i,(,t,),?,C,?,e,t,?,0,dt,R,W,R,?,?,i,(,t,),Rdt,?,?,0,?,2,?,0,U,e,R,2,S,2,t,?,RC,U,RC,dt,?,(,?,),e,R,2,2,t,?,RC,?,?,1,CU,2,S,0,2,1,2,W,C,?,CU,S,，可见,W,C,能量与,R,的大小无关。又因,2,?,W,R,例,9-6,i,L,(,t,),。,在图示电路中，,t=0,时，开关,S,闭合，求,解：可用戴维南定理将原电路

27、图,简化,+,R,eq,10H,U,oc,i,L,6,U,oc,?,?,18,?,15,V,R,eq,?,(1.2/6),?,4,?,5,?,6,?,1.2,U,oc,L,10,i,L,(,?,),?,?,3,A,?,?,?,?,2,s,R,eq,R,eq,5,?,i,L,(,t,),?,3(1,?,e,?,t,2,),A,t,?,0,例,9-7,如图所示，开关闭合前电路已得到稳态，求换路后的电流,i,L,(t),及电压源发出的功率。,解：,i,L,(0-)=0,时利用戴维南定理等效,U,S,i,L,(,?,),?,R,?,t,L,2,L,?,?,?,R,eq,R,?,?,R,t,2,L,R,

28、t,2,L,U,S,i,L,(,t,),?,i,L,(,?,)(1,?,e,),?,(1,?,e,R,di,L,U,S,u,L,?,L,?,e,dt,2,?,R,t,2,L,),u,L,U,S,i,R,?,?,e,R,2,R,?,R,t,2,L,?,总电流：,R,2,?,U,S,1,2,L,t,（,1,?,e,）,功率：,p,?,U,S,*,i,?,R,2,U,S,1,i,?,i,L,?,i,R,?,（,1,?,e,R,2,）,9-4,一阶电路的全响应,全响应,电路的初始状态不为零，同时又有外加激励,源作用时电路中产生的响应。,一阶电路的全响应分析如下：,通解,u,C,(,t,),?,Ke,-

29、,t,RC,?,RI,S,t,?,0,又因,u,C,(0),?,K,?,RI,S,?,U,0,?,K,?,U,0,?,RI,S,t,-,RC,?,u,C,(,t,),?,RI,S,?,(,U,0,?,RI,S,),e,t,?,0 (,?,?,RC,),t,-,?,?,令,I,?,0,，可得零输入响应,u,(,t,),?,U,e,?,S,C,1,0,原图中,?,t,-,?,令,U,?,0,，可得零状态响应,u,(,t,),?,RI,(1,?,e,?,),0,C,2,S,?,显然,u,C,1,(,t,),?,u,C,2,(,t,),?,U,0,e,-,t,?,?,RI,S,(1,?,e,?,),?

30、,RI,S,?,(,U,0,?,RI,S,),e,-,t,-,t,?,?,u,C,(,t,),即,全响应,=,（零输入响应）,+,（零状态响应）,全响应也可以分解为暂态响应和稳态响应。,u,C,(,t,),?,(,U,0,?,RI,S,),e,-,t,?,t,?,RI,S,?,U,(,?,),u,C,(,t,),?,U,(0),?,U,(,?,),e,-,?,全响应,=,暂态响应（固有响应）,+,稳态响应（强制响应）,例,9-8,U,S,?,12,V,t,?,0,u,C,(0),?,4,V,R,?,1,?,C,?,5,F,u,C,(,t,),及,i,C,(,t,),u,C,1,(,t,),?,

31、4,e,u,C,3,(,t,),?,?,8,e,求,u,C,(,t,),-,t,-,t,t,?,-,u,C,2,(,t,),?,12,(,1,?,e,?,),?,u,C,4,(,t,),?,u,C,(,?,),?,12,V,u,C,(,t,),?,u,C,1,(,t,),?,u,C,2,(,t,),?,4,e,-,t,?,?,12,(,1,?,e,?,),?,12,?,8,e,?,V,?,0,.,2,t,-,t,-,t,或,u,C,(,t,),?,u,C,3,(,t,),?,u,C,4,(,t,),?,12,?,(,?,8,e,),?,12,?,8,e,?,0,.,2,t,V,du,C,?,0

32、,.,2,t,i,C,(,t,),?,C,?,5,?,1,.,6,e,A,t,?,0,dt,无论是把全响应分解为零输入响应和零状态响应，还是分,解为暂态响应和稳态响应，都只是从不同角度去分析全响应的。,而全响应总是由初始值、特解和时间常数三个要素所决定的。,在直流电源激励下，如用,f(t),表示电路的响应，,f(0+),表,示该电压或电流的初始值，f()表示响应的稳定值，,表示,电路的时间常数，则,f(,t,),可表示为,f,(,t,),?,f,(,?,),?,?,f,(0,?,),?,f,(,?,),?,e,?,t,?,t,?,0,响应,f(t),主要由,f(0+),、,f(),和,三要素决

33、定，因此称,f(0+),、,f(),和,为一阶电路的三要素。只要求出这三个要素,可由公式,直接写出电路的全响应，这种方法称为三要素法。该式子被称,为一阶电路的三要素公式。,三要素法求解电路步骤,:,确定初始值,f(0+),在换路前电路中求出,u,C,(0-),或,i,L,(0-),，如果,0-,时电路稳定，,则电容,C,视为开路，电感,L,用短路线代替。根据换路定律得,u,C,(0+)=u,C,(0-),，,i,L,(0+)=i,L,(0-),。,L,R,eq,，则,?,?,R,eq,C,或,?,?,求出戴维宁等效电阻,R,eq,确定新稳态值,f(),由换路后,t =,的等效电路求出。电容,C

34、,视为开路，电感,L,视为短路。,求时间常数,例,9-9,已知：,t0,时电路处于稳态，,t=0,时闭合开关，求,换路后的,u,C,(t),u,c,(V),2,1A,2,?,+,3F,1,?,u,C,0.667,-,2,2,0,t,解,?,1,?,V,2,?,1,3,2,2,2,u,C,(,?,),?,?,1,?,V,?,?,R,等,C,?,?,3,?,2,s,2,?,1,3,3,2,2,?,0.5,t,2,4,?,0.5,t,u,C,?,?,(2,?,),e,?,?,e,V,t,?,0,3,3,3,3,u,C,(,?,),?,9-5,一阶电路的阶跃响应,阶跃响应,激励为单位阶跃函数时，电路中

35、产,生的零状态响应。,1,、阶跃函数,单位阶跃函数定义：,?,?,0,?,(,t,),?,?,?,?,1,(,t,?,0),(,t,?,0),?,(,t,),1,0,t,t=0,时无定义，函数在,t=0,这一点是不连续的。该函数在时,(0,?,0,?,),内发生跃变，阶跃幅度为,1,，故称为单位阶跃函数。,域,单位阶跃函数的波形如图所示。,?,单位阶跃函数的延迟,?,(,t-t,0,),1,0,t,0,t,?,0,(,t,?,t,0,),?,(,t,?,t,0,),?,?,?,1,(,t,?,t,0,),?,(,t,),?,?,?,(,t,?,t,0,),向右平移,t,o,?,(,t,?,t,

36、0,),可看作是,?,(,t,),在时间轴上向右平移后的结果,（一般认为,0,），所以把它称作延迟的单位阶跃函数。,2,、阶跃函数的作用,阶跃函数表示电源作用,t,= 0,合闸,u,(,t,) =,A,?,(,t,),阶跃函数可用来“起始”任意一个,f(t),。,?,f,(,t,),t,?,t,0,f,(,t,),?,(,t,?,t,0,),?,?,?,0,t,?,t,0,阶跃函数和延时阶跃函数可表示分段直流信号，矩形脉,冲等。,f,(,t,),?,?,(,t,),?,?,(,t,?,t,0,),积分式中对单位阶跃函数的处理,?,?,0,f,(,t,),?,(,t,),dt,?,?,f,(,t

37、,),dt,0,?,?,?,?,f,(,t,),?,(,t,),dt,?,?,f,(,t,),dt,0,?,例,9-11,试用阶跃函数分别表示下图中的脉冲串、正负脉,冲和梯形信号。,解：,f,1,(,t,),?,?,(,t,),?,?,(,t,?,t,0,),?,?,(,t,?,2,t,0,),?,?,(,t,?,3,t,0,),?,?,(,?,1),?,(,t,?,kt,0,),k,?,f,2,(,t,),?,?,(,t,),?,2,?,(,t,?,t,0,),?,?,(,t,?,2,t,0,),f,3,(,t,),?,A,1,?,(,t,?,t,0,),?,(,A,2,?,A,1,),?,

38、(,t,?,t,1,),?,A,2,?,(,t,?,t,2,),k,?,0,3,、阶跃响应,电路对,单位阶跃函数,的,零状态响应,称为单位阶跃响应。求,单位阶跃响应就是零状态响应。其求法与零状态响应的方法相,?,(,t,),即可。例如：,RC,一阶电路中，,同，只要把输入改为,t,?,?,u,(,t,),?,(1,?,e,),?,(,t,),U,S,?,?,(,t,),，则单位阶跃响应,C,令,例,9-12,求图示零状态,RL,电路在图中所示脉冲电压作用下,的电流，其中,L,?,1,H,R,?,1,?,。,解：该电路的零状态响应为,u,(,t,),i,(,t,),?,(1,?,e,R,?,t,

39、?,),u,(,t,),?,A,?,(,t,),?,A,?,(,t,?,t,0,),?,?,A,A,i,(,t,),?,i,(,t,),?,i,(,t,),?,(,1,?,e,?,),?,(,t,),?,(,1,?,e,R,R,?,(,t,?,t,0,),?,t,?,A,(,1,?,e,),?,(,t,),?,A,(,1,?,e,),?,(,t,?,t,0,),t,t,?,t,0,?,),?,(,t,?,t,0,),u,(,t,),?,5,?,(,t,?,2),V,u,C,(0),?,10,V,，,例,9-13,RC,电路如图所示，已知,i,(,t,),。,求电流,u,C,(0),?,?,0.

40、5,t,解：零输入响应,i,(,t,),?,?,R,e,?,(,t,),?,?,5,e,?,(,t,),t,?,2,?,5,?,0.5 (,t,?,2),?,i,(,t,),?,e,?,(,t,?,2),?,2.5,e,?,(,t,?,2),零状态响应,R,?,t,?,i,(,t,),?,i,(,t,),?,i,(,t,),?,?,5,e,?,0.5,t,?,(,t,),?,2.5,e,?,0.5 (,t,?,2),?,(,t,?,2),9-6,一阶电路的冲激响应,1,、冲激函数,?,(,t,),?,0,（当,t,?,0,）,?,?,定义,?,?,?,(,t,),dt,?,1,?,?,?,?,

41、其定义可通过下图,(a),来描述。该函数波形与横轴包围的,面积等于,1,。（,b,）为单位冲激函数，,(c),为延时的冲激函数。,单位脉冲函数,?,?,或,t,?,?,0,t,?,-,?,2,2,?,p,?,(,t,),?,?,?,1,-,?,?,t,?,?,?,2,2,?,?,(,t,),函数可看成单位脉冲函数,p,?,(,t,),的一种极限，当一个单,?,位脉冲函数的宽度变得越来越窄时，它的幅度越来越大，当,?,?,0,时，幅度就变为无限大，但其面积仍为,1,；,单位延时冲激函数,?,(,t,?,t,0,),?,0,?,t,?,t,0,?,?,?,?,?,(,t,?,t,0,),dt,?,

42、1,?,?,?,?,2,、冲激函数的性质,冲激函数是阶跃函数的导数,t,?,1,t,?,0,?,?,(,?,),d,?,?,?,?,?,0,t,?,0,?,?,?,(,?,),d,?,?,?,(,t,),?,t,d,?,(,t,),?,?,(,t,),dt,单位冲激函数的“筛分性质”,由于,t0,时，,?,(,t,),?,0,，所以对任意在,t=0,时连续的函数,f(t),，,f,(,t,),?,(,t,),?,f,(0),?,(,t,),有,?,?,?,f,(,t,),?,(,t,),dt,?,?,?,?,f,(0),?,(,t,),dt,?,f,(0),?,?,(,t,),dt,?,f,(

43、0),?,?,对于在,t=t,0,时连续的函数,f(t),，有,f,(,t,),?,(,t,?,t,0,),?,f,(,t,0,),?,(,t,?,t,0,),有,?,?,?,f,(,t,),?,(,t,?,t,0,),dt,?,f,(,t,0,),?,(,t,),为偶函数,?,(,?,t,),?,?,(,t,),3,、电容电压和电感电流的跃变,1,）电容电压的跃变,1,?,u,C,(,t,),?,u,C,(,t,0,),?,C,?,t,t,0,id,?,1,0,?,?,u,C,(0,?,),?,u,C,(0,-,),?,?,idt,C,0,-,Q,?,i,(,t,),1,u,C,(0,?,)

44、,?,u,C,(0,-,),?,?,Q,C,u,C,(0,?,),?,u,C,(0,-,),?,i,(,t,),1,u,C,(0,?,),?,u,C,(0,-,),?,C,2,）电感电流的突变,1,t,i,L,(,t,),?,i,L,(,t,0,),?,?,ud,?,L,t,0,1,0,?,?,i,L,(0,?,),?,i,L,(0,-,),?,?,udt,L,0,-,*,?,u,(,t,),，则,a,）若在,t=0,时，施加于电感的冲激电压为,1,i,L,(0,?,),?,i,L,(0,-,),?,?,L,否则,i,L,(0,?,),?,i,L,(0,-,),若无冲激电压，电感电流不能突变。

45、,b,）,若在,t=0,时，施加于电感的端电压为单位冲激电,压,?,u,(,t,),则,1,i,L,(0,?,),?,i,L,(0,-,),?,L,换路后，纯电容或仅由电容及电压源构成的回路中，,电容电压可能突变；如电容电压发生突变，则有冲激电流流,过电容；,换路后，纯电感或由电感及电流源构成的割集中，电,感电流可能跃变；如电感电流发生突变，电感两端出现冲激,电压。,4,、冲激响应,(,t,),：零状态电路对单位冲激信号的响应；,1,）冲激响应,h,t,?,0,?,时的初始状,(,t,),产生的在,2,）计算方法：先计算由,?,态，然后求解由这一初始状态产生的零输入响应（前述方法），,h,(,

46、t,),；,即为,t0,时冲激响应,t,?,0,?,时电容电压及电感电流初始值的确定,3,）,冲激电源作用于电路的瞬间,电感应看成开路，不论电,1,2,W,?,L,i,感原来是否有电流,(,因电感贮能,L,L,为有限值，电感电流,2,应为有限值，故电感之中不应出现冲激电流,),；,冲激电源作用于电路的瞬间，电容应看成短路，不论,1,2,W,?,C,u,C,C,为有限值，电容电,电容原来是否有电压,(,因电容贮能,2,压应为有限值，故电容两端不应出现冲激电压,),。,4,）,RC,电路中电容电压的冲激响应,解：将电容看作短路,(t=0),时，冲激电流全部流过电容,1,1,?,u,C,(0,?,)

47、,?,u,C,(0),?,?,u,(,0,?,),?,C,C,t,t,?,?,1,?,h,(,t,),?,u,(,0,?,),e,?,e,?,t,?,0,C,t,?,1,?,h,(,t,),?,e,?,?,(,t,),C,5,）,RL,电路中电感电流及电压的冲激响应,解：把电感开路,(t=0),，冲激电压全部出现于电感两端,1,1,?,i,(0,?,),?,i,L,(0,?,),?,i,L,(0,?,),?,L,L,1,h,i,(,t,),?,e,L,?,t,?,?,?,(,t,),dh,i,(,t,),R,?,h,u,(,t,),?,L,?,?,(,t,),?,e,?,(,t,),dt,L,

48、?,t,例,9-14,试确定图示电路中的电感电流及电压的冲激响应。,解：,t=0,时，电感看作开路,u,1,(0),?,k,1,?,(,t,),?,0.6,?,(,t,),u,2,(0),?,k,2,?,(,t,),?,0.4,?,(,t,),u,2,(0),出现在电感两端，使电感电压发生跃变,冲激电压,k,2,i,L,(0,?,),?,?,4,A,L,R,eq,?,R,1,/,/,R,2,?,240,?,，由,t,t0,时，,R,1,与,R,2,并联，,?,0,?,等效电,路可知,u,L,(0,?,),?,?,R,eq,i,L,(0,?,),?,?,240,?,4,?,?,960,V,?,t

49、,?,h,i,(,t,),?,i,L,(0,?,),e,?,?,4,e,?,2400,t,?,(t),A,h,u,(,t,),?,0.4,?,(,t,),?,960,e,?,2400,t,?,(,t,),V,5,、由阶跃响应求冲激响应,冲激响应,h(t),与阶跃响应,s(t),的关系,d,?,(,t,),?,(,t,),?,dt,ds,(,t,),?,h,(,t,),?,dt,求冲激响应的另一种方法，先求阶跃响应，再求阶跃响,应的导数，便可得到冲激响应。,例,9-15,利用冲激响应是阶跃响应的导数性质，求解图示,电路中电容电压的冲激响应。,u,(,t,),的阶跃响,解：该电路电容电压,应为,s

50、,(,t,),?,R,(1,?,e,t,?,RC,),?,(,t,),t,?,RC,d,d,?,h,(,t,),?,s,(,t,),?,R,?,(,t,),?,e,dt,dt,?,R,?,(,t,),?,?,(,t,),e,1,?,e,C,?,t,RC,?,t,RC,?,?,(,t,),?,t,RC,1,?,e,RC,?,(,t,),?,?,(,t,),9-7,二阶电路的零输入响应,二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路。在二阶电,路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件的初始值,决定。串联电路,RLC,和并联电路,GLC,为最简单的二阶电路。,如图所示，假设电容,原已充电，其电压为,U,

51、o,，,电感中的初始电流为,I,o,。,t = 0,，开关,S,闭合，此电,路的放电过程即是二阶电,路的零输入响应，分析如,下：,?,u,c,?,u,R,?,u,L,?,0,du,c,u,R,?,Ri,?,?,RC,dt,du,c,i,?,?,C,dt,2,d,u,c,di,u,L,?,L,?,?,LC,2,dt,dt,1,、电路方程,d,u,C,d,u,C,LC,?,RC,?,u,C,?,0,d,t,d,t,2,、方程的解,设,u,C,?,Ae,代入上式,得到特征方程,:,pt,2,LCP,?,RCP,?,1,?,0,2,特征根：,?,R,?,R,?,4,L,/,C,P,?,2,L,2,R,

52、R,2,1,?,?,?,(,),?,2,L,2,L,LC,所以,u,c,?,A,1,e,p,1,t,?,A,2,e,p,2,t,R,R,2,1,p,1,?,?,?,(,),?,2,L,2,L,LC,R,R,2,1,p,2,?,?,?,(,),?,2,L,2,L,LC,u,C,(,0,?,),?,u,C,(,0,?,),?,U,0,i,(,0,?,),?,i,(,0,?,),?,I,0,du,C,i,?,?,C,dt,du,C,dt,t,?,0,I,0,?,?,C,?,A,1,?,A,2,?,U,0,?,I,0,?,?,p,1,A,1,?,p,2,A,2,?,?,C,?,U,0,?,0,I,0,

53、?,0,p,2,U,0,?,p,1,U,0,A,1,?,A,2,?,p,2,?,p,1,p,2,?,p,1,零状态响应的三种情况,L,R,?,2,C,U,0,u,C,?,(,p,2,e,p,1,t,?,p,1,e,p,2,t,),p,2,?,p,1,du,C,CU,0,p,1,p,2,p,1,t,U,0,p,2,t,p,1,t,p,2,t,i,?,?,C,?,(,e,?,e,),?,?,(,e,?,e,),dt,p,2,?,p,1,L,(,p,2,?,p,1,),U,0,di,p,1,t,p,2,t,u,L,?,L,?,?,(,p,1,e,?,p,2,e,),dt,p,2,?,p,1,di,?

54、,0,dt,ln(,p,2,/,p,1,),t,m,?,p,2,?,p,1,L,R,?,2,C,R,?,?,2,L,1,R,2,?,?,?,(,),LC,2,L,2,R,2,1,2,(,),?,?,?,?,?,j,?,2,L,LC,p,1,?,?,?,?,j,?,p,2,?,?,?,?,j,?,?,0,?,?,?,?,2,2,?,?,?,arctan,?,?,?,?,0,cos,?,?,?,?,0,sin,?,e,j,?,?,cos,?,?,j,sin,?,?,j,?,e,?,j,?,?,cos,?,?,j,sin,?,p,1,?,?,?,0,e,p,2,?,?,?,0,e,j,?,U,0,p

55、,1,t,p,2,t,u,C,?,(,p,2,e,?,p,1,e,),p,2,?,p,1,U,0,j,?,(,?,?,?,j,?,),t,?,j,?,(,?,?,?,j,?,),t,?,?,?,0,e,e,?,?,0,e,e,?,j,2,?,?,U,0,?,0,?,e,?,?,t,e,j,(,?,t,?,?,),?,e,j,2,?,j,(,?,t,?,?,),?,U,0,?,0,?,e,?,?,t,sin(,?,t,?,?,),du,C,U,0,?,?,t,?,e,sin(,?,t,),电流为,i,?,?,C,dt,?,L,U,0,?,0,?,?,t,di,e,sin(,?,t,?,?,),电感电压,u,L,?,L,?,?,dt,?,L,R,?,2,C,R,p,1,?,p,2