医用高等数学：1-1-函数

1、第一章,函数,极限,研究的主要对象,研究的基础和方法,函数与极限,函数是变量之间相互联系、相互制约关系的抽象表示，是事物运动、变化及相互影响的复杂关系在数量方面的反映；极限刻画了变量的变化趋势，是研究函数的重要方法本章内容主要包括函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的主要性质,二、初等函数,三、分段函数,一、函数的概念,第一节 函数,四、函数的几个简单性质,一、函数的概念,变量：在过程中可取不同数值的量,常量：在某过程中始终保持同一数值的量,常用字母 表示,常用字母 表示,例如：人的身高，在研究少儿发育成长的过程中是变量，而在研究成人的健康状况时通常认为是常量,注意：一个量究竟是常量还

2、是变量，不是绝对的，要根据具体过程和具体条件来确定,函数概念的历史,最早提出函数,概念的是17世纪德国数学家,莱布尼茨:“函数”一词表示幂，如,1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家伯努利把函数定义为“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。,伯努利所强调的是函数要用公式,函数概念的历史,1755年瑞士数学家欧拉把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”。在欧拉的定义中，就不强调函数需要用公式表示了。他认为“函数是随意画出的一条曲线,1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义

3、：“在某些变数间存在者一定的关系，当一经给定某一变数的值，其他变数的值可随这而确定时，则将最初的表示叫自变量，其他各表示叫做函数。,函数概念的历史,1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的,的定义,的函数是这样的一个数，它对于每一个,都有确定的值，并且随着,一起变化。函数可以由解析式,给出，也可以由几个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”，这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以来求出每一个,的对应值,1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立,与,之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果,对于

4、,的每一个值,总有一个完全确定的值与之对应,则,是,的函数。”，这个定义抓住了概念的本质属性,因此，这个定义曾被比较长期的使用着,自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念竞赛现在课本里用的了,按照一定的规律,定义域,自变量,因变量,则称 是 的函数,记为,因变量与自变量之间的对应规律称为函数关系,所有函数值的集合称为函数的值域,与自变量的值相对应的因变量的值称为函数值,定义1-1 设,是同一变化过程中的两个变量,如果对,于变量,的每一个允许的取值,变量,总有一个确定的值与之对应,在实际问题中的定义域是由实际问题的实际意义决定的,2) 定义域,3)对应规律的表示方法

5、,公式法,图像法,列表法,使表达式或实际问题有意义的自变量集合,1) 函数的两个要素,定义域和对应规律,注意,例11,在出生后16个月期间内，正常婴儿的体重近似满足以下关系式,公式法,例12,监护仪自动记录了某患者一段时间内体温,的变化曲线，如下图（图像法）所示,例13,某地区统计了某年112月中当地流行性出血热的发病率，见表1-1（表格法,二、函数的几种简单特性,1有界性,设函数,在区间,内有定义，如果存在一个正数,使对所有的,恒有,则称函数,在,内是有界的如果不存在这样的正数,则称,在,内是无界的,例如,在,一，+）内是有界的,在,1，+）内是有界的，但在（o，1）内是无界的,2单调性,设

6、,是函数,的定义区间,内的任意两点,且,若,则称,在,内是单调,递增的；若,则称,在,内是单调递,减的,增函数,减函数,例如,在（一，）内是单调递增的,在,，）内是单调递减的，而在（0，）内是单调递增的,3奇偶性,如果对于函数,定义域内的任意点,恒有,则称,是偶函数；如果对于函数,定义域内的任意点,恒有,则称,为,奇函数偶函数的图像是关于,轴对称的，而奇函数的图,像是关于坐标原点对称的,偶函数,奇函数,例如,都是偶函数；而,都是奇函数,4周期性,对于函数,如果存在正的常数,使得,恒成立，则称,为周期函数，满足这,个等式的最小正数,称为函数的周期,例如,都是周期函数，周期为,也都是周期函数，周期

7、为,周期为,周期为,5). 反函数（ inverse function,的反函数记成,其反函数,减,减),1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质,2) 函数,对称,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,指数函数,反三角函数讲解,三、初等函数,1基本初等函数,1）常数函数,为任意实数,2）幂函数,为任意实数,3）指数函数,4）对数函数,5）三角函数,6）反三角函数,等,三角函数中常用公式,和差化积公式,积化和差公式,注：在后面的极限及微积分计算中可能会用到,2、复合函数,定义1-2,设变量,是变量,的函数，变量,又是变量,的函数，即,

8、如果变量,的某些值通过变量,可以确定变量,的值，则称,是,的复合函数,记为,变量,称为中间变量。复合函数的概念可以推广到由多个函数，通过多个中间变量传递而构成的情形,例14,试通过,求,关于,的复合函数,解：自变量、中间变量依次代入得,例15,设,试求,解,如果由两个函数复合而成的函数的定义域为空集，则此复合函数无意义（或称它们不能复合）例如，由,复合而成的函数,因,其定义域为空集，即函数,无意义,在后面的很多计算问题中，往往需要把复合函数的中间变量找出来，把它“分解”为若干个基本初等函数或由它们通过四则运算而得到的简单函数形式，以便于利用公式进行计算,例16,将下列复合函数“分解”为简单函数,解,练习将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数,解 (1) 最外层是二次方，即,次外层是正弦，即,从外向里第三层是幂函数,最里层是多项式，即,所以，分解得,最外层是对数，即,次外层是正切，即,从外向里第三层是指数函数，即,最里层是简单函数，即,所以，分解得,3初等函数,定义1-2,由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数,初等函数,四、分段函数,对于其定义域内自变量,不同的值,要用两个或两个以,上