无穷大与无穷小 课件

1、目录,教学目的,:,2,、了解无穷小量与函数极限的关系与无穷小量的阶,.,1,、理解无穷小量、大量的概念，掌握无穷小量的性质,.,3,、掌握无穷小量与无穷大量关系,.,1.3,无穷小量与无穷大量,目录,对于函数,y,=,f,(,x,),，,若自变量,x,在某个变化过程中，,函数,f(x),的极限为零,则称在该变化过程中，,f,(,x,),为,无穷小,记作,1,、,无穷小：,一,、无穷小与无穷大的定义,常用,?,?,?,等表示,.,0,lim,?,y,即,:,以零为极限的变量称为,无穷小量,. (,简称无穷小,),目录,例：,判,断下列变量是否为无穷小量,?,(1),当,x,?,0,时,x,2

2、是否为无穷小量,;,(2),当,x,?,0,时, cos,x,是否为无穷小量,;,(3),当,x,?,时, (1/,x,),是否为无穷小量,;,0,l,i,m,),1,(,2,0,?,?,x,x,?,1,cos,lim,),2,(,0,?,?,x,x,?,解,:,0,1,lim,),3,(,?,?,?,x,x,?,.,0,2,是无穷小量,时,当,x,x,?,?,.,co,0,不是无穷小量,时,当,sx,x,?,?,.,1,是无穷小量,时,当,x,x,?,?,?,注,:,求极限,无穷小量是以零为极限的变量,无穷小的判断方法,目录,2,、无穷大：,如果自变量,x,在某个变化过程中，函数,f,(,x

3、,),的绝对值越来越大且可以无限增大，则称在该变,化过程中的，,f,(,x,),无穷大。记作,?,?,),(,lim,x,f,?,?,),(,lim,x,f,?,?,),(,lim,x,f,分类：正无穷大：,负无穷大，,.,注意,:,虽然函数,f,(,x,),的极限不,存在,但是它有确定的变化,趋势,所以,借用极限符号来,表示这种变化趋势,.,目录,例：,判断,时,在,0,x,1,?,x,是否为无穷大量,?,?,?,?,?,?,x,x,1,lim,0,?,?,?,?,?,?,x,x,1,lim,0,?,?,?,?,x,x,1,lim,0,时的无穷大,为,0,1,?,?,x,x,解,o,x,y,

4、?,?,0,x,),0,(,1,?,?,?,?,x,x,?,?,?,0,x,),0,(,1,?,?,?,?,x,x,?,注,: 1,、判断方法,求极限,目录,练习,:,判断在给定趋向下,下列变量是无穷大、无穷小或两者皆非,.,3,.,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,.,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,x,?,在,时,，,、,2,2,2,1,.,(,),(,0,),(,1,),x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,1,1,1,2,.,(,0,),(,),(,1,),x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,目录,2,2,l,i,m,.,x,x,x,x,?,?,?,

5、?,?,?,?,?,当,时,是,无,穷,大,量,2,2,2,1,.,(,),(,0,),(,1,),x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,o,x,y,?,?,x,?,?,x,2,2,0,2,2,1,l,i,m,0,0,.,l,i,m,1,1,.,x,x,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,当,时,是,无,穷,小,量,当,时,不,是,无,穷,小,、,大,量,目录,1,1,1,l,i,m,1,1,.,x,x,x,x,?,?,?,当,时,不,是,无,穷,小,、,大,量,o,x,y,?,?,x,?,?,x,1,1,1,2,.,(,0,),(,),(,1,),x,x,x,x,x,x

6、,?,?,?,?,0,1,1,l,i,m,0,.,x,x,x,x,?,?,?,?,?,当时,是,无,穷,大,量,1,1,l,i,m,0,.,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,当,时,是,无,穷,小,量,说明：,1.,一个变量是否为无,穷小、,无穷大与自变量的变化过程,有关,.,目录,3.,无穷小、无穷大是变量,不能与很小及很大的数混淆,2.,零是常数中唯一的无穷小,.,0,0,lim,0,?,?,x,?,0,l,i,m,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,x,?,?,0,l,i,m,0,.,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,.

7、,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,x,?,?,0,0,.,x,?,?,是,无,穷,小,其,余,则,不,是,无,穷,小,、,大,量,3,.,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,.,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,x,?,在,时,，,、,说明：,目录,1.,有限个,无穷小的代数和仍然是无穷小,2.,有限个,无穷小的积仍然是无穷小,注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,.,是无穷小，,时,故,例,n,n,n,n,1,0,1,l,i,m,:,?,?,?,?,?,?,n,),1,1,1,(,lim,项和,但,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,（在自变量的同一

8、变化过程中）,二,、无穷小的性质,.,0,1,?,?,.,1,1,不是无穷小,之和为,个,故,n,n,目录,3.,有界变量,与无穷小的积仍然是无穷小,有界变量：,y=sinu,y=cosu.,目录,x,x,x,1,sin,lim,0,?,?,例：求,),0,(,0,lim,),1,(,0,无穷小量,时,当,x,x,x,x,?,?,?,?,),1,sin,(,1,|,1,sin,|,),2,(,是有界变量,又,x,x,?,?,.,0,1,si,n,l,i,m,),3,(,0,?,?,x,x,x,故,解,:,分析,当,x,0,时, sin(1/,x,),在,-1, 1,之间摆动无极限,但是当,x,

9、0,时,x,是无穷小量,.,1,sin,1,|,1,sin,|,是有界变量,又因为,x,x,?,所以,利用无穷小量的性质来求极限,.,目录,三、无穷小量与函数极限的关系,定理的重要意义,:,1.,将极限的描述性定义转化为量化性的精确形式,;,A,),(,l,i,m,3,.,1,?,x,f,定理,?,A,x,f,?,?,),(,.,0,.,),(,0,?,?,?,?,?,?,x,x,x,A,x,f,或,其中,或,函数,f,(,x,),可以表示成,:,极限,A,与一个无穷小,?,之和,.,2.,可以作为极限运算的证明的依据,.,即,:,在同一变化过程中,函数,f,(,x,),极限是,A,的充要条件

10、为,:,目录,四、无穷小与无穷大的关系,定理：在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小,;,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,.,:,2,时的无穷大量,是当,函数,例如,?,?,?,x,x,y,2,1,1,x,y,?,则,为,无穷小,意义,:,关于无穷大的讨论,可归结为关于无穷小的,讨论,.,目录,，,因为,0,10,0,1,3,l,i,m,2,3,?,?,?,?,?,x,x,x,利用无穷小与无,穷大的关系求,极限,.,0,A,.,1,3,3,2,其倒数为无穷,是无穷小量,时,当,?,?,?,?,x,x,x,?,?,?,?,?,3,1,lim,2,3,x,x,x,所以,错误写法：,?,?,?,?,?,

11、?,?,?,?,?,?,0,10,),3,(,l,i,m,),1,(,l,i,m,3,1,l,i,m,3,2,3,2,3,x,x,x,x,x,x,x,解,分析,将,x,3,代入函数中,分子趋于,10;,分母趋于,零,不能直接求极限,.,考虑用无穷大与无穷小关系求极限。,例,3,1,lim,2,3,?,?,?,x,x,x,求,目录,练习：,4,4,1,2,lim,2,1,lim,1,2,2,2,2,1,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,x,x,x,x,x,、,、,求函数极限：,x,x,x,x,1,si,n,),(,l,i,m,.,3,2,0,?,?,?,求,x,x,x,1,cos,lim,

12、.,4,2,0,?,求,x,x,x,cos,1,lim,.,5,?,?,求,目录,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,4,4,1,2,l,i,m,0,1,0,1,2,4,4,l,i,m,.,2,1,l,i,m,0,1,0,1,l,i,m,.,1,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,?,?,解,1,1,sin,0,),(,lim,.,3,2,0,?,?,?,?,x,x,x,x,?,1,1,cos,0,lim,.,4,2,0,?,?,?,x,x,x,?,1,co,s,0,

13、1,lim,.,5,?,?,?,?,x,x,x,?,0,1,si,n,),(,l,i,m,2,0,?,?,?,?,?,x,x,x,x,0,1,cos,lim,2,0,?,?,?,x,x,x,0,cos,1,lim,?,?,?,?,x,x,x,目录,例,(1),y,=,x2,- 4,解,.,),4,(,2,0,),4,(,lim,2,2,2,是无穷,时,当,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,x,?,.,),4,(,),4,(,lim,2,2,是,无,穷,时,当,又,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,x,?,分析, (1),要使,y,=,x2,- 4,是无穷小,即,x2,-

14、 4,0 ,只要,1,1,),2,(,?,?,x,y,下列变量中,当,x, ?,是无穷小,;,当,x, ?,是无穷大,.,x2,4 ,所以当,x,2,时,y,=,x2,- 4,是无穷小,.,目录,.,1,1,0,1,1,lim,是,无,穷,小,时,当,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,x,?,，,，,即,无,穷,大,，,只,需,要,使,1,:,0,),1,(,1,1,?,?,?,?,x,x,x,分析, (2),.,),1,(,0,1,1,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,即,只,需,要,使,解,.,1,1,1,1,1,lim,1,是,无,穷,大,时,当,?,?,?,?,?,?,

15、?,x,x,x,x,?,1,1,),2,(,?,?,x,y,目录,五、,无穷小的阶,X,1,0.5,0.1,0.01,0.001,?,0,2x,2,1,0.2,0.02,0.002,?,0,x,2,1,0.25,0.01,0.0001,0.000001,?,0,o,x,y,),1,1,(,1,1,2,x,y,?,x,y,?,x,y,2,?,2,例：当,x,?,0,时，,x,，,2x,，,x,2,都是,无穷小，但它们趋于,0,的速度,却不一样。,目录,0,lim,0,lim,:,?,?,?,?,?,?,，,即,过程中的无穷小,是在自变量的同一变化,，,设,定义,;,0,),lim,(,0,lim

16、,),1,(,）,（,记作,低阶的无穷小，,是比,或称,高阶的无,是比,则称,或,，,如果,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,;,),0,(,l,i,m,),2,0,是同阶,与,则称,为常数且,，,如果,（,?,?,?,?,?,?,?,c,c,c,x,x,.,1,lim,),3,?,?,?,?,?,?,记,作,是,等,价,无,穷,小,与,，,则,称,如,果,（,?,，,0,lim,2,0,?,?,x,x,x,lim,2,0,?,?,?,x,x,x,或,例,;,2,高阶的无穷小,是比,则称,x,x,目录,例,：当,x0,时，比较下列无穷小的阶,x,x,和,2,4,2,x,x

17、,和,2,2,3,2,x,x,和,高阶的无穷,是比,时,x,x,x,x,x,x,x,x,2,0,2,0,0,0,lim,lim,?,?,?,?,?,?,?,(,求比值的极限）,高,阶,的,无,是,比,时,2,4,2,0,2,4,0,0,0,lim,lim,x,x,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,为同阶的无穷,与,时,2,2,2,2,0,3,2,0,3,2,3,2,lim,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,解,目录,练习,：当,x,时，比较下列无穷小的阶,x,x,2,1,和,2,1,1,x,x,和,2,1,2,x,x,和,2,1,2,1,lim,2,1,lim,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,x,x,x,?,0,1,lim,1,1,lim,1,1,lim,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,x,x,x,x,x,?,0,2,1,lim,