弹塑性力学3弹性力学解题方法

1、第,3,章,弹性力学解题方法,按位移求解弹性力学问题,按应力求解弹性力学问题,平面问题和应力函数,半逆解法,广义胡克定律,1678,年，,R. Hooke,发表了固体受力后应力和应变关,系的定律,胡克定律。,“有多大伸长，就有多大力”,1,?,?,x,?,?,(,?,y,?,?,z,),?,?,?,?,?,x,?,E,E,E,E,?,xy,?,zx,1,?,zx,?,?,xy,?,?,y,?,?,y,?,?,(,?,x,?,?,z,),G,G,E,?,yz,1,?,yz,?,?,z,?,?,z,?,?,(,?,x,?,?,y,),G,E,?,x,?,y,?,z,各向同性体的胡克定律还可以用应变

2、表示应力。,?,x,?,?,?,2,G,?,x,?,y,?,?,?,2,G,?,y,?,z,?,?,?,2,G,?,z,?,xy,?,G,?,xy,?,yz,?,G,?,yz,?,zx,?,G,?,zx,E,?,?,?,Lam,弹性常数,(,1,?,?,)(,1,?,2,?,),3-1,按位移求解弹性力学问题,弹性力学的一般问题中，共包含,15,个未知函数，,将用,15,方程来求解。,对于各向同性的弹性体：,3,个平衡微分方程；,6,个几何方程（微分方程）；,6,个物理方程（广义胡克定律）。,边界条件（与上述方程组成封闭的定解问题）,弹性力学问题解法的分类：,取,位移,作为基本未知量。,取,应

3、力,作为基本未知量。,位移法,应力法,按位移求解弹性力学问题时，取,u,v,w,作为基本未知量。,几何方程,物理方程,?,u,?,?,G,(,?,v,?,?,u,),xy,?,x,?,?,?,2,G,?,x,?,y,?,x,消去应变,?,w,?,v,?,v,?,yz,?,G,(,?,),?,y,?,?,?,2,G,?,y,?,z,?,y,?,u,?,w,?,w,?,zx,?,G,(,?,),?,z,?,?,?,2,G,?,z,?,x,?,z,消去应力,平衡方程,Lam,位移方程,E,?,G,?,?,G,?,?,G,?,(,1,?,?,)(,1,?,2,?,),1,?,2,?,?,?,2,(,?

4、,?,G,),?,G,?,u,?,f,x,?,0,?,x,?,?,2,(,?,?,G,),?,G,?,v,?,f,y,?,0,?,y,?,?,2,(,?,?,G,),?,G,?,w,?,f,z,?,0,?,z,力的边界条件,l,?,x,?,m,?,yx,?,n,?,zx,?,F,x,l,?,yx,?,m,?,y,?,n,?,yz,?,F,y,l,?,zx,?,m,?,zy,?,n,?,z,?,F,z,消去,应力,?,u,?,v,?,u,?,w,?,u,l,(,?,?,2,G,),?,mG,(,?,),?,nG,(,?,),?,F,x,?,x,?,x,?,y,?,x,?,z,?,u,?,v,?,

5、v,?,w,?,v,lG,(,?,),?,m,(,?,?,2,G,),?,nG,(,?,),?,F,y,?,y,?,x,?,y,?,y,?,z,?,u,?,w,?,v,?,w,?,w,lG,(,?,),?,mG,(,?,),?,n,(,?,?,2,G,),?,F,z,?,z,?,x,?,z,?,y,?,z,?,u,?,?,G,(,?,v,?,?,u,),xy,?,x,?,?,?,2,G,?,x,?,y,?,x,?,w,?,v,?,v,?,yz,?,G,(,?,),?,y,?,?,?,2,G,?,y,?,z,?,y,?,u,?,w,?,w,?,zx,?,G,(,?,),?,z,?,?,?,2,G

6、,?,z,?,x,?,z,按位移求解弹性力学问题,优点：,未知函数的个数比较少，即仅有三个未知量,u,v,w,。,缺点：,必须求解三个联立的二阶偏微分方程。,按位移求解问题是普遍适用的方法，特别是在数值,解中得到了广泛的应用，例如在有限元法，差分法,等数值计算方法中，得到了很好的应用。,?,例,1,设有半空间体，单位体积的质量为，在水平边界,上受均布压力,q,的作用，试用位移法求各位移分量,和应力分量，假设在,z,=,h,处,z,方向的位移,w,=0,。,q,h,解：,由于载荷和弹性体,对,z,轴对称，并且为,半空间体,可以假设,u,?,0,v,?,0,w,?,w,(,z,),?,u,?,v,

7、?,w,dw,体积应变,?,?,?,?,?,?,x,?,y,?,z,dz,2,2,2,2,?,?,?,d,w,2,?,w,?,(,2,?,2,?,2,),w,?,2,?,x,?,y,?,z,dz,2,d,w,代入,Lam,位移方程,(,?,?,2,G,),2,?,?,g,?,0,dz,2,d,w,?,g,1,?,2,?,2,?,w,?,?,?,gz,?,Az,?,B,2,dz,?,?,2,G,4,(,1,?,?,),G,力的边界条件,l,?,m,?,0,n,?,?,1,F,x,?,F,y,?,0,F,z,?,?,q,dw,1,?,2,?,dw,dw,(,),z,?,0,?,?,q,?,(,?,

8、?,2,G,),z,?,0,?,q,dz,2,(,1,?,?,),G,dz,dz,1,?,2,?,1,?,2,?,1,?,2,?,?,gz,?,A,z,?,0,?,?,q,A,?,?,q,2,(,1,?,?,),G,2,(,1,?,?,),G,2,(,1,?,?,),G,位移边界条件,位移分量,应力分量,(,w,),z,?,h,?,0,B,?,1,?,2,?,1,?,2,(,1,?,?,),G,qh,?,2,?,4,(,1,?,?,),G,?,gh,2,u,?,0,v,?,0,w,?,1,?,2,?,4,(,1,?,?,),G,?,g,(,h,2,?,z,2,),?,2,q,(,h,?,z,)

9、,?,x,?,?,y,?,?,?,1,?,2,?,(,q,?,?,gz,),?,z,?,?,(,q,?,?,gz,),?,xy,?,?,yz,?,?,zx,?,0,3-2,按应力求解弹性力学问题,按应力求解弹性力学问题时，取,6,个应力分量,作为,2,2,2,2,2,基本未知量。,?,?,xy,?,?,x,?,?,y,?,?,?,?,?,变形协调,方程,物理方程,改变形式,?,y,2,?,?,x,2,2,?,1,?,?,?,x,2,(,2,?,?,y,2,2,),?,2,?,x,?,y,?,2,?,yz,?,2,?,y,消去应变,?,z,2,?,?,z,?,?,?,?,?,?,?,(,2,?,

10、2,),?,2,2,?,y,1,?,?,?,z,?,y,?,y,?,z,?,2,?,xz,?,2,?,z,?,2,?,x,?,?,2,?,?,2,?,?,?,(,2,?,2,),?,2,2,2,?,x,?,z,1,?,?,?,x,?,z,?,x,?,z,2,2,?,?,x,?,?,?,?,?,?,zx,?,?,xy,?,?,yz,?,?,(,?,?,),?,y,?,z,1,?,?,?,y,?,z,?,x,?,y,?,z,?,x,?,2,?,y,平衡方程,?,?,2,?,?,?,?,xy,?,?,yz,?,?,zx,?,?,(,?,?,),?,z,?,x,1,?,?,?,z,?,x,?,y,?,

11、z,?,x,?,y,?,2,?,z,?,?,2,?,?,?,?,xz,?,?,yz,?,?,xy,?,?,(,?,?,),?,x,?,y,1,?,?,?,x,?,y,?,z,?,y,?,x,?,z,?,f,x,1,?,?,?,?,f,x,?,f,y,?,f,z,?,?,x,?,?,?,2,?,(,?,?,),2,1,?,?,?,x,?,x,1,?,?,?,x,?,y,?,z,2,?,f,x,1,?,?,?,?,f,x,?,f,y,?,f,z,2,?,?,x,?,?,?,2,?,(,?,?,),2,1,?,?,?,x,?,x,1,?,?,?,x,?,y,?,z,2,?,f,x,1,?,?,?,?

12、,f,x,?,f,y,?,f,z,2,?,?,x,?,?,?,2,?,(,?,?,),2,1,?,?,?,x,?,x,1,?,?,?,x,?,y,?,z,2,?,f,x,?,f,y,1,?,?,2,?,?,xy,?,?,?,?,?,?,?,x,?,?,y,?,?,z,1,?,?,?,x,?,y,?,y,?,x,2,2,2,2,?,f,?,?,?,1,?,?,?,f,z,2,y,2,?,?,2,?,2,?,2,?,?,yz,?,?,?,?,?,x,?,y,?,z,1,?,?,?,y,?,z,?,z,?,y,2,2,?,f,x,?,f,z,1,?,?,?,?,zx,?,?,?,?,1,?,?,?,

13、x,?,z,?,z,?,x,2,2,相容方程,体积力为零或为常量,2,(,1,?,?,),?,2,?,?,?,x,?,?,x,2,?,0,(,1,?,?,),?,2,?,?,2,?,x,?,?,x,2,?,0,(,1,?,?,),?,2,?,?,2,?,x,?,?,x,2,?,0,(,1,?,?,),?,2,?,?,2,?,xy,?,?,x,?,y,?,0,2,(,1,?,?,),?,2,?,?,?,?,yz,?,y,?,z,?,0,2,(,1,?,?,),?,2,?,?,?,zx,?,?,x,?,z,?,0,?,2,?,0,推导参照教材,应力第一不变量是调和函数,左式两边分别作,Laplac

14、e,运算,?,2,?,2,?,x,?,0,?,2,?,2,?,xy,?,0,?,2,?,2,?,y,?,0,?,2,?,2,?,yz,?,0,?,2,?,2,?,z,?,0,?,2,?,2,?,zx,?,0,应力分量是双调和函数,按应力求解弹性力学问题,优点：,边界条件比较简单，并且得到的应力表达式,在大多数具体问题中比位移表达式简单。,缺点：,未知函数较多，所要求解的二阶偏微分方程,比较复杂。,按应力求解比按位移求解一般来说容易些。,但就解决弹性体问题的普遍性而言，按位移求解更,具有普遍性。,对于实际问题，适当的选择求解方法。,3-3,平面问题和应力函数,平面问题,平面问题的分类：,平面应力

15、问题,平面应变问题,?,平面应力问题,y,y,x,z,o,z,中面,?,z,?,0,?,yz,?,0,?,xz,?,0,?,x,?,F,1,(,x,y,),?,y,?,F,2,(,x,y,),构件几何形状特征：,薄板,外力,分布，表面不受外力作用。,:,平行于中面，沿厚度均匀,表面面力边界条件：,?,z,z,?,?,h,?,0,2,?,xz,z,?,?,h,?,0,?,yz,z,?,?,h,?,0,2,2,由于薄板厚度很小，应力,分量均匀分布,?,xy,?,F,3,(,x,y,),平面应变问题,纵向轴,构件几何形状特征：,具有很长纵向轴的柱体,横截面的大小和形状沿轴,线不变；外力与轴线垂直,并

16、且沿轴线不变；主体两,端受,固定约束,。,z,方向上位移,w,?,0,位移发生在,o,xy,平面内,w,?,0,u,?,?,1,(,x,y,),v,?,?,2,(,x,y,),根据几何方程,?,z,?,0,?,xz,?,?,yz,?,0,根据物理方程,1,?,z,?,?,z,?,?,(,?,x,?,?,y,),?,0,E,?,z,?,?,(,?,x,?,?,y,),?,z,?,?,(,?,x,?,?,y,),?,yz,?,0,?,xz,?,0,?,x,?,F,1,(,x,y,),?,y,?,F,2,(,x,y,),?,xy,?,F,3,(,x,y,),?,应力函数,在平面问题中，引进应力函数的

17、概念，往往使求解,问题变得简单。,无体力存在时,?,?,x,?,?,yx,?,?,0,?,x,?,y,?,?,yx,?,?,y,?,?,0,?,x,?,y,2,2,假定,?,?,?,?,?,?,?,x,?,2,?,y,?,2,?,xy,?,?,?,y,?,x,?,x,?,y,2,平衡方程将自然满足,?,(,x,y,),Airy,应力函数,只需求解以应力函数表示的协调方程,平面应力问题：,1,?,2,?,?,2,?,?,x,?,(,2,?,?,2,),2,G,(,1,?,?,),?,y,?,x,1,?,?,?,?,?,y,?,?,x,?,(,2,?,?,2,),2,G,(,1,?,?,),?,y

18、,?,x,2,2,变形协调方程,?,xy,1,?,?,?,?,?,G,?,x,?,y,2,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,?,4,?,0,4,?,x,?,x,?,x,?,y,4,4,4,?,?,?,?,0,2,2,边界条件,方程和给定边界,?,?,?,?,?,l,?,m,2,?,F,y,条件的函数,?,(,x,y,),?,x,?,y,?,x,2,2,?,?,?,?,l,2,?,m,?,F,x,平面问题归结为,?,y,?,x,?,y,求解满足双调和,2,2,?,例,2,图示很长的矩形柱体，材料的比重为，将其放入,形状相同的刚性槽内若不考虑摩擦力，设应力函数,2,3,2,2,的形式为,?,

19、?,Ax,y,?,By,?,Cy,?,Dx,试求各应力分量、应变分量以及位移分量。,y,解：,根据,Airy,应力函数可得,?,?,?,x,?,2,?,6,By,?,2,C,?,y,?,?,?,y,?,2,?,2,Ay,?,2,D,?,x,2,?,?,?,xy,?,?,?,?,x,?,?,2,Ax,?,?,x,?,x,?,y,2,2,h,o,a,a,x,应力边界条件,y,?,h,处，,?,xy,?,0,?,y,?,0,A,?,?,2,D,?,?,?,h,2,刚性槽的条件,?,a,?,a,?,x,dx,?,0,?,x,和,变,量,x,无,关,?,x,?,0,?,y,?,?,1,?,?,?,x,?

20、,(,1,?,?,),?,x,?,?,y,?,0,E,?,y,?,?,(,y,?,h,),?,x,?,?,?,?,1,?,?,?,x,?,?,1,?,?,6,1,?,?,2,1,?,?,1,?,?,1,(,1,?,?,)(,1,?,2,?,),?,y,?,(,1,?,?,),?,y,?,?,x,?,?,(,y,?,h,),E,E,1,?,?,u,?,?,?,x,dx,?,0,y,?,0,时,，,v,?,0,2,1,(,1,?,?,)(,1,?,2,?,),y,v,?,?,?,y,dy,?,?,(,?,hy,),?,K,K,?,0,E,1,?,?,2,?,(,y,?,h,),B,?,?,C,?,

21、?,?,h,3-4,半逆解法,?,针对求解的问题，根据材料力学已知解或弹性体的,边界形状和受力情况，假设部分应力为某种形式的,函数，从而推断出应力函数；,?,然后用方程和边界条件确定尚未求出的应力分量，,或完全确定原来假设的尚未全部定下来的应力。,?,如能满足弹性力学的全部条件，则这个解就是正确,的解答，如不能满足全部条件，则需另外假定，重,新求解。,由于根据已有解或经验作了一定假设，使得问题的,求解过程得以大大简化。,?,例,3,图示立柱（厚度为单位厚度），在其侧面上，作用,有均布剪力，试用半逆解法求其应力分布规律。,o,h,x,解：假定纵向纤维互不挤压,?,?,?,x,?,2,?,0,?,

22、y,2,?,?,(,x,y,),?,f,1,(,x,),y,?,f,2,(,x,),代入,?,?,?,?,0,2,2,y,4,4,d,f,1,(,x,),d,f,2,(,x,),?,0,?,0,上式对于,y,取任何值均应成立,4,4,dx,dx,d,f,1,(,x,),d,f,2,(,x,),y,?,?,0,4,4,dx,dx,4,4,f,1,(,x,),?,Ax,?,Bx,?,Cx,?,I,f,2,(,x,),?,Dx,?,Ex,?,Jx,?,K,3,2,3,2,?,?,y,(,Ax,?,Bx,?,Cx,),?,Dx,?,Ex,o,h,?,3,2,3,2,?,x,?,0,?,y,?,y,(,

23、6,Ax,?,2,B,),?,6,Dx,?,2,E,?,xy,?,?,3,Ax,?,2,Bx,?,C,2,对应力分量无影响,x,边界条件：,?,x,?,0,?,xy,?,0,在,x=,0,处，,?,x,?,0,?,xy,?,?,在,x=h,处，,（主要边界条件，需精确满足）,y,C,?,0,?,3,Ah,?,2,Bh,?,?,Ax,?,Bx,?,0,0,3,2,h,2,A,?,?,B,?,?,h,2,2,在,y=,0,处，,?,0,?,xy,dx,?,0,h,?,h,在,y=,0,处，,?,0,?,xy,dx,?,0,h,h,Ax,?,Bx,?,0,0,3,2,h,?,?,?,0,h,?,y,

24、dx,?,0,x,xdx,?,0,3,Dh,?,2,Eh,?,0,2,0,3,Dh,?,Eh,?,0,3,2,D,?,E,?,0,（次要边界条件，使用圣维南原理建立）,应力分量：,?,x,?,0,2,?,3,x,?,y,?,(,1,?,),y,h,h,?,3,x,?,xy,?,(,?,2,),x,h,h,o,h,?,x,y,例,:,矩形梁的纯弯曲,(1),?,?,dy,(,X,?,Y,?,0,),l,l,3,?,x,?,6,dy,?,y,?,0,?,xy,?,0,图示梁对应的边界条件：,h,y,?,?,:,?,y,2,M,?,m,in,?,?,3,dh,h,2,M,x,1,?,m,ax,?,3

25、,dh,?,0,?,xy,?,0,y,h,2,x,?,?,l,:,?,x,?,6,dy,?,xy,?,0,?,?,dy,对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。,3,l,l,常数,d,与弯矩,M,的关系：,M,1,(1),(2),?,m,in,?,?,3,dh,h,2,M,x,?,m,ax,?,3,dh,?,h,2,h,?,2,?,x,dy,?,0,?,x,y,?,dy,?,M,12,M,?,x,?,3,y,h,?,h,2,h,?,2,y,6,dy,?,dy,?,0,h,2,?,h,2,h,?,2,?,h,2,h,?,2,6,dy,dy,?,M,2,2,M,d,3,h,?,M,(,或,d,?,3

26、,),h,2,M,?,x,?,3,y,(,h,/,12,),M,?,x,?,y,I,此结果与材力中结果相同,.,位移分量的求解,（,1,）应变分量,?,x,?,M,I,y,?,?,My,?,h,3,/,12,?,y,?,0,?,(a),xy,?,0,?,x,?,1,E,(,?,x,?,?,y,),?,y,?,1,E,(,?,y,?,?,x,),?,?,xy,xy,?,G,?,1,My,?,My,x,?,E,I,?,y,?,?,E,I,?,xy,?,0,M,M,x,h,l,y,1,（,2,）位移分量,?,x,?,?,u,My,?,x,?,1,E,?,y,?,?,v,?,I,My,?,y,?,?,

27、E,I,(c),?,xy,?,?,u,?,y,?,?,v,?,x,?,0,?,u,1,My,?,x,?,?,?,x,E,I,M,x,?,f,2,?,(,x,),?,?,f,1,?,(,y,),整理得：,?,?,v,?,My,y,?,?,y,?,?,E,I,(c),?,?,?,u,?,v,xy,?,y,?,?,x,?,0,u,?,M,EI,xy,?,f,1,(,y,),(d),v,?,?,?,M,2,EI,y,2,?,f,2,(,x,),将式,得：,(d),代入,(c),中第三式，,M,EI,x,?,f,1,?,(,y,),?,f,2,?,(,x,),?,0,EI,f,1,?,(,y,),?,?

28、,?,M,(e),EI,x,?,f,2,?,(,x,),?,?,f,1,(,y,),?,?,?,y,?,u,0,f,(,x,),?,?,M,EI,x,2,2,?,?,x,?,v,0,将上式代入式（,d,），得,u,?,M,EI,xy,?,?,y,?,u,0,(f),v,?,?,?,M,2,EI,y,2,?,M,2,2,EI,x,?,?,x,?,v,0,u,?,M,EI,xy,?,?,y,?,u,0,v,?,?,?,M,(f),2,M,2,EI,y,?,2,EI,x,2,?,?,x,?,v,0,M,M,x,h,l,y,1,（,1,）两端简支,u,x,?,0,?,0,v,x,?,0,?,0,v,x

29、,?,l,?,0,M,u,?,xy,?,?,y,?,u,0,EI,(f),?,M,2,M,2,v,?,?,y,?,x,?,?,x,?,v,0,y,?,0,y,?,0,y,?,0,u,0,?,0,v,0,?,0,2,?,Ml,2,EI,?,?,l,?,v,0,?,0,?,?,Ml,2,EI,u,?,M,(,x,?,l,),y,v,?,M,EI,2,?,2,EI,(,l,?,x,),x,?,M,2,2,EI,y,(3-3),2,EI,2,EI,梁的挠曲线方程：,v,?,M,y,?,0,2,EI,(,l,?,x,),x,与材力中结果相同,（,2,）悬臂梁,边界条件,u,x,?,l,?,0,v,x,?

30、,l,?,0,?,h,?,?,?,y,?,?,2,h,?,?,2,?,M,u,?,xy,?,?,y,?,u,0,EI,(f),?,M,2,M,2,v,?,?,y,?,x,?,?,x,?,v,0,2,EI,2,EI,h/2,h/2,由式（,f,）可知，此边界条件无法满足。,边界条件改写为：,u,x,?,l,?,0,v,x,?,l,?,0,y,?,0,y,?,0,?,v,?,x,x,?,l,y,?,0,?,0,（中点不动）,（轴线在端部不转动）,M,M,2,l,?,?,?,0,l,?,?,l,?,v,0,?,0,?,u,0,?,0,?,EI,2,EI,得：,u,0,?,0,Ml,v,0,?,?,2,EI,2,Ml,?,?,EI,M,u,?,?,(,l,?,x,),y,EI,M,?,M,2,2,v,?,?,(,l,?,x,),?,y,2,EI,2,EI,挠曲线方程：,(3-4),h/2,h/2,M,2,v,|,y,?,0,?,?,(,l,?,x,),与材料力学中结果相同,2,EI,讨论：,若取固定端边界条件为：,u,x,?,l,?,0,v,x,?,l,y,?,0,y,?,0,（中