概率论第一章1-2

1、,4,古典概型,检验：古典概型,若随机试验,E,满足：,样本空间,S,只含有有限个元素,:,S,=,e,1,试验中，每个基本事件发生是等可能的,.,P,e,1,?,P,e,2,?,L,?,P,e,n,n,S,?,U,e,k,e,k,互不相容,k,?,1,1,?,P,S,?,P,e,1,?,P,e,2,?,L,P,e,n,P,e,?,1,i,n,i,?,1,2,L,n,.,e,n,若事件,A,包含,k,个基本事件,即,A,?,?,e,i,1,?,U,?,e,i,2,?,UL,U,?,e,i,k,?,则有,P,?,A,?,?,P,?,?,e,i,1,?,?,?,P,?,?,e,i,2,?,?,?,

2、L,?,k,n,?,A,包含的基本事件数,S,中的基本事件总数,?,P,?,?,e,i,k,?,?,1.,加法原理,基本计数原理,无论通过哪种方法都,可以完成这件事，,则完成这件事总共,有,n,1,+,n,2,+ +,n,m,种方法,.,设完成一件事有,m,种方式，,第一种方式有,n,1,种方法，,第二种方式有,n,2,种方法,；,第,m,种方式有,n,m,种方法,例如：从北京到上海可以坐火车也可以坐飞机，如果每日,火车有,3,个班,北京,上海,飞机有,2,个班次,则此人有,3+2=5,种方法从北京到上海。,2.,乘法原理,设完成一件事有,m,个步骤，,第一个步骤有,n,1,种方法，,第二个步

3、骤有,n,2,种方法,；,第,m,个步骤有,n,m,种方法,必须通过每一步骤,才,算完成这件事，,则完成这件事共有,n,1,?,n,2,?,?,?,n,m,种不同的方法,.,例如,:,有一位女士有二件上衣和三条裙子,则该女士可以有几种打扮方式。,2,3=6,种打扮,红,白,兰,绿,黑,3,有重复排列,从含有,n,个元素的集合中随机抽取,k,次，每次取一,个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,1,2,k,n,n,n,n,共有,n,k,种排列方式,.,4,无重复排列,从含有,n,个元素的集合中随机抽取,k,次，每次取一个,，取后不放回，将所取元素排成一列，,1,2,k,n,n,-1,n,-2

4、,k,n,k,n,n,-,k,+1,n,!,A,?,P,?,n,(,n,?,1)(,n,?,2),L,(,n,?,k,?,1),?,共有排列方式,:,(,n,?,k,)!,n,个不同元素中任取,k,个元素的排列数,k = n,时称全排列,A,n,n,?,P,n,n,?,n,(,n,?,1)(,n,?,2),L,2,?,1,?,n,!,5,组合：,从,n,个不同元素中任取,k,个元素并成一组,（不考虑其间顺序）称为一个组合，此种组合总数为：,P,n,!,C,?,?,k,!,(,n,?,k,)!,k,!,k,n,k,n,?,排列与组合关系式,：,A,?,P,?,C,?,k,!,P,C,?,k,!,

5、k,n,k,n,k,n,k,n,k,n,C,?,1,C,?,C,0,n,k,n,n,?,k,n,0,n,(1,?,k,?,n,),n,n,n,C,?,C,?,L,?,C,?,2,1,n,6,分组,：,n,个不同元素分为,k,组，各组元素,数目分别为,r,1,r,2,r,k,的分法总数为,n,!,r,1,?,r,2,?,L,r,k,?,n,r,1,!,r,2,!,L,r,k,!,r,1,个,元素,r,2,个,元素,r,k,个,元素,n,个元素,因为,C,?,C,r,1,n,r,2,n,?,r,1,n,!,L,C,?,r,1,!,r,2,!,L,r,k,!,r,k,r,k,取球问题,例,1,一口袋

6、装有,6,只球，其中,4,只白球、,2,只红,球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两,种取球方式：,(a),放回抽样,第一次取一只球，观察其颜色后放,回袋中，,搅匀后再取一球。,(b),不放回抽样,第一次取一球不放回袋中，第二,次从剩余的球,中再取一球。,分别就上面两种方式求：,1,）取到的两只都是白球的概率；,2,）取到的两只球颜色相同的概率；,3,）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,?,说明：取球问题中，球，产品，人等一般都认为是可辨的。,解：,从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。,设,A= “,取到的两只都是白球,”，,B= “,取到的两只球颜色相同,”，,C= “,取

7、到的两只球中至少有一只是白球”。,(a),有放回抽样,:,样本空间中样本点个数,n,=6,6=36,（是可重复排列）,2,2,2,4,4,4,?,2,5,P,(,A,),?,2,?,?,0.444,P,(,B,),?,?,?,0.556,2,6,9,6,9,2,2,8,P,(,C,),?,1,?,P,(,C,),?,1,?,2,?,?,0.889,6,9,2,4,4,?,2,P,（,C,）,?,P,(,A,),?,P,(,恰,?,个白,),?,2,?,2,?,0.667,6,6,应,4,?,2,?,2,?,4,4,P,(,恰一次白,),?,2,6,9,(b),无放回抽样,:,法一,(,排列）,

8、：样本空间,S,中样本点的个数是,n,?,6,?,5,?,P,?,30,2,6,无重复排列,2,2,2,6,P,P,(,A,),?,P,2,4,2,6,4,?,3,2,?,?,6,?,5,5,2,2,2,6,2,P,P,(,B,),?,?,5,P,7,?,15,P,1,14,P,（,C,）,?,1,?,P,（,C,）,?,1,?,?,1,?,?,P,15,15,如果：（,P,C,）,?,P,（,A,）,?,P,（恰,?,个白）,2,4,?,2,?,2,?,4,14,?,?,?,5,6,?,5,15,(b),无放回抽取,:,（所求事件中没有顺序的要求）,法二,(,组合）,：样本空间,S,中样本点

9、的个数是,n,?,C,2,6,?,15,P,(,A,),?,C,2,4,?,3,2,2,C,2,4,2,C,2,?,2,?,15,?,5,P,(,B,),?,5,?,C,2,6,6,2,P,（,C,）,?,1,?,P,（,C,）,?,1,?,C,2,1,14,C,2,?,1,?,6,15,?,15,如果：（,P,C,）,?,P,（,A,）,?,P,（恰,?,个白）,?,2,2,?,4,14,5,?,15,?,15,?,7,15,例,2,一口袋装有,6,只球，其中,4,只白球、,2,只红,球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两,种取球方式：,(a),放回抽样,第一次取一只球，观察其颜色后放

10、,回袋中，,搅匀后再取一球。,(b),不放回抽样,第一次取一球不放回袋中，第二,次从剩余的球,中再取一球。,分别就上面两种方式求：,第一次取红球，第二次取白球的概率,解,:,D= ,第一次取红球，第二次取白球,(a),有放回抽样,:,D,= ,第一次取红球，第二次取白球,样本空间中样本点个数,n,=6,6=36,（是可重复排列）,2,?,4,2,P,(,D,),?,2,?,6,9,(b),无放回抽样,:,(,排列）：,样本空间,S,中样本点的个数是,无重复排列,2,?,4,4,P,(,D,),?,?,30,15,?,注：试验不同样本空间不同，,A,中所含样本,点数不同。,n,?,6,?,5,?

11、,P,?,30,2,6,例,3,设有,N,件产品，其中有,D,件次品，今从中任,取,n,件，问其中恰有,k,(,k,?,D,),件次品的概率是多少,?,（不放回抽样和放回抽样两种方式,),1,）,不放回抽样,解：,在,N,件产品中抽取,n,件，取法共有,C,种，,k,D,n,N,又,在,D,件次品中取,k,件，所有可能的取法有,C,种，,在,N-D,件正品中取,n-k,件,所有可能的取法有,C,n,?,k,N,?,D,种，,由乘法原理知：在,N,件产品中取,n,件，其中恰有,k,件次品的取法共有,C,C,k,D,n,?,k,N,?,D,种，,k,n,?,k,于是所求的概率为：,p,?,C,D,

12、C,N,?,D,C,n,N,此式即为,超几何分布,的概率公式,。,2,）,有放回抽样,从,N,件产品中有放回地抽取,n,件产品进行排列，可,能的排列数为,N,n,个，,(,样本总数）,。,而在,N,件产品,中取,n,件，其中恰有,k,件次品,的排列数共有,C,k,k,n,?,k,n,D,(,N,?,D,),于是所求的概率为：,P,?,C,k,k,N,?,D,),n,?,k,n,D,(,D,n,N,n,?,C,k,D,k,?,k,n,(,N,),(1,?,N,),此式即为,二项分布,的,概率公式。,例,4,袋中有,a,只白球和,b,只红球。现在把球一只只随,机的取出来不放回，,求第,k,(1,?

13、,k,?,a,?,b,),次取出,的一只球是白球的概率,解法,1,：,E,：把,a,只白球和,b,只红球都编上不同的号码，,把取出的球依次放在,a+b,个位置上。（如图）,1,k,a+b,S,中基本事件总数,:,（,a+b,）！,a,?,(,a,?,b,?,1)!,A,包含的基本事件个数，,a,?,(,a,?,b,?,1)!,a,P,?,?,(,a,?,b,)!,a,?,b,此结果与,k,无关，,这与日常生活的经验是一致的。,解法,2,：,把,a,只白球和,b,只红球编上不同的号码，,我们只考虑前,k,只球。即把取出的前,k,只球依次放,在,k,个位置上，如图,S,中基本事件,总数,:,P,k

14、,a,?,b,k,a,?,P,k,?,1,a,?,b,?,1,A,包含的基本事件个数,:,a,?,P,P,?,P,k,?,1,a,?,b,?,1,k,a,?,b,a,?,a,?,b,小结,1,、试验,E,是无放回抽取，,当事件,A,无次序要求可用组合，也可用排列计数，例,1(b),当,A,有次序要求时，必须要用排列计数。（例,2,）,2,、试验,E,是有放回抽取,，可重复排列问题，例,1,，,2,，,3,、试验,E,是从,n,件产品中任取,m,件，可视为一次,从中取,m,件，可用组合计数。也可看作每次取一件，,取后不放回连取,m,次。可用排列记数，,要由所求问题而定。,4,、古典概率,，其分子

15、与分母的计数方法要一致。,3,分球入盒问题,例,1,将,m,只球（可分辨）随机的放入,N,(,N,?,m,),个,盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率,(,设盒子的,容量不限）。,解：,将,m,只球放入,N,个盒子中去,共有,N,?,N,?,L,?,N,?,N,种放法,n,而每个盒子中至多放一只球,共有,N,?,(,N,?,1),?,L,?,N,?,(,m,?,1),?,P,种放法,m,N,故,N,?,(,N,?,1),?,L,?,N,?,(,n,?,1),P,p,?,?,.,m,N,N,m,N,m,例,2,、,将,n,只球随机地放入,N,（,N,?,n,）个盒子中去,（设盒子的容量不限），

16、试求下列事件的概率。,A=,某指定的一个盒子中没有球,B=,某指定的,n,个盒子中各有一个球,C=,恰有,n,个盒子中各有一个球,D=,某指定的一个盒子中恰有,m,个球,(,m,n,),解,把,n,个球随机地分配到,N,个盒子中去,(,n,N,),n,基本事件总数为,:,N,?,N,?,L,?,N,?,N,种放法,事件,A,：指定的盒子中不能放球，因此，,n,个球中的,每一个球可以并且只可以放入其余的,N,-1,个盒子中。,n,n,总共有,(,N,?,1,),种放法。因此,(,N,?,1),P,(,A,),?,n,N,事件,B,：指定的,n,个盒子中，每个盒子中各放一球，,共有,n,!,种放法

17、，因此,n,!,P,(,B,),?,事件,C,：恰有,n,个盒子，其中各有一球，即,N,个盒子,n,中任选出,n,个，选取的种数为,C,N,在这,n,个盒子中各分配一个球，,n,个盒中各有,1,球,(,同上,),，,n,n,!,种放法；事件,C,的样本点总数为,C,N,?,n,!,N,n,C,?,n,!,P,P,(,C,),?,(,?,),n,N,N,事件,D,：指定的一个盒子中，恰好有,m,个球，这,m,个球可从,n,个,球中任意选取，共有,C,n,m,种选法，而其余,n,-,m,个球可以任意分,配到其余的,N,-1,个盒子中去，共有,(,N,-1),n-m,种，所以事件,D,所,包含的样本

18、点总数为,C,n,m,(,N,-1),n-m,n,N,n,N,n,C,(,N,?,1),P,(,D,),?,n,N,m,n,n,?,m,1,?,?,1,?,?,(,?,C,?,?,?,1,?,?,?,N,?,?,N,?,m,n,m,n,?,m,),分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以,归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，,不可弄错。,(1),生日问题：,n,个人的生日的可能情况（,每个人生日是,365,天之,一）,，相当于,n,个球放入,N=365,个盒子中的可能情况,(,设一年,365,天,),；,(2),旅客下车问题,(,电梯问题,),：一列火车中有,n

19、,名旅客，它在,N,个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于,n,个球分到,N,个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；,(3),住房分配问题：,n,个人被分配到,N,个房间中；,(4),印刷错误问题：,n,个印刷错误可能出现在一本具有,N,页书的,任何一页，错误,?,球，页,?,盒子。,（,5,）有,n,封信随机的投放在,N,个信筒中（筒内信数不限）；,例,3(,生日问题,):,某人群有,n,个人，他们中至少有,两人生日相同的概率有多大？,设每个人在一年,(,按,365,天计,),内每天出生的可,能性都相同,相当于,n,个球放入,N=365,个盒子中,则,他们生日各不相同的概率（,恰有,n,

20、个盒子中各有一个,n,n,C,N,?,n,!,P,N,球,）为,P,(,C,),?,(,?,),n,n,N,N,于是,n,个人中至少有两人生日相同的概率为,P,1,?,N,n,N,n,人数,20 0.411,21 0.444,22 0.476,23 0.507,24 0.538,30 0.706,40 0.891,50 0.970,60 0.994,至少有两人同生日的概率,例,4,、,将,n,只球（可分辨）随机地放入,N,（,N,?,n,）个盒子,中去（设盒子至多容纳一个球），试求下列事件的概率。,B=,某指定的,n,个盒子中各有一个球,C=,恰有,n,个盒子中各有一个球,解,把,n,个球随机

21、地分配到,N,个盒子中去,(,n,N,),n,基本事件总数为,:,N,?,(,N,?,1,),?,?,?,N,?,(,n,?,1,),?,P,N,种放法,事件,B,：指定的,n,个盒子中，每个盒子中各放一球，,n,!,共有,n,!,种放法，因此,P,(,B,),?,n,P,N,事件,C,：恰有,n,个盒子，其中各有一球，即,N,个盒子,n,C,N,中任选出,n,个，选取的种数为,在这,n,个盒子中各分配一个球，,n,个盒中各有,1,球,(,同上,),，,n,n,!,种放法；事件,C,的样本点总数为,C,N,?,n,!,P,(,C,),?,1,分组问题,例,1,将,15,名新生随机地平均分配到,

22、3,个班中去，这,15,名新生中有,3,名是优秀生。问：,(1),每个班各分配到一,名优秀生的概率是多少？,(2) 3,名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？,解：,15,名新生平均分配到,3,个班级中去的分法总数为：,C,5,15,?,C,5,10,?,C,5,5,15,?,14,?,13,?,12,?,11,10,?,9,?,8,?,7,?,6,5,?,4,?,3,?,2,?,1,15,!,?,?,?,?,5,!,5,!,5,!,5,!,?,5,!,?,5,!,(1),每个班各分配到一,名优秀生,=A,：将,3,名优,秀生分配到,3,个班级，使每个班级都有一名优秀,生的分法共有,3!,种。

23、其余,12,名新生平均分配到,3,个班级中的分法共有,C,4,?,C,4,4,12,8,?,C,4,?,12!/,(4!,4!,4!),种，,每个班各分配到一,名优秀生的分法总数为：,3!,?,12!/(4!4!4!),于是所求的概率为：,p,(,A,),?,3!,?,12,!,15,!,3!,?,12,!,?,4!,4!,4!,25,4!,4!,4!,/,5!5!5!,?,15,!,?,5!5!5!,?,91,?,0.2747,.,(2) 3,名优秀生分配到同一个班级的概率为：,12,!,15,!,3,?,12,!,?,5!,6,p,2,?,3,?,/,?,?,?,0.0659,.,2!5!

24、5!,5!5!5!,2!,?,15,!,91,三名优秀生分配,在同一班级内,其余,12,名新生，一个班级分,2,名，,另外两班各分,5,名,C,2,12,?,C,5,10,?,C,5,5,例,:,某公司生产的,15,件产品中,有,12,件是正品,3,件是次,品。现将它们随机地分装在,3,个箱中,每箱装,5,件，,设,:A=,每箱中恰有一件次品, B=,三件次品都在同一,箱中,。,求,: P(A),和,P(B),。,例,30,名学生中有,3,名运动员，将这,30,名学生平均分成,3,组，求：,（,1,）每组有一名运动员的概率；,（,2,）,3,名运动员集中在一个组的概率。,随机取数问题,例,1,

25、在,12000,的整数中随机地取一个数,问,1),求取到的数能被,6,整除的概率,(2),求取到的数能被,8,整除的概率,(3),求取到的数既不能被,6,整除也不能被,8,整除的概率,解,设,A,为事件“取到的数能被,6,整除”,B,为事件,P,(,C,),?,P,(,A,B,).,“取到的数能被,8,整除”，,333,2000,所以,P,(,A,),?,因为,333,?,?,334,2000,6,250,2000,故得,P,(,B,),?,.,由于,?,250,2000,8,?,1,?,P,(,A,U,B,),P,(,AB,),?,P,(,A,U,B,),?,1,?,P,(,A,),?,P,(,B,),?,P,(,AB,).,2000,由于,83,?,?