《海大概率教案》PPT课件.ppt

1、一、离散型随机变量的分布律,二、常见离散型随机变量的概率分布,三、小结,第二节 离散型随机变量 及其分布律,说明,一、离散型随机变量的分布律,定义,离散型随机变量的分布律也可表示为,解,则有,例1,二、常见离散型随机变量的概率分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,则称 X 服从 (01) 分布或两点分布.,1.两点分布,实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从 (01) 分布.,实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,则随机变量 X 服从(0 1)分布.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有

2、两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,2.等可能分布,如果随机变量 X 的分布律为,实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.,(1) 重复独立试验,3.二项分布,(2) n 重伯努利试验,实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验.,实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利

3、试验.,(3) 二项概率公式,且两两互不相容.,称这样的分布为二项分布.记为,二项分布的图形,例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.,分析,这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.,例2,解,图示概率分布,解,因此,例3,有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少?,例4,故所

4、求概率为,二项分布的最大值及近似计算,1) 二项分布的最大值,4. 泊松分布,泊松分布的图形,把随机现象中事件的发生看作“流”的时候，如果事件流满足：(1)平稳性。即流的发生次数只与时间间隔t的长短有关，而与初始时刻无关；2)无后效性。即任一时间t0前流的发生与t0后流的发生无关；(3)普通性。即当时间间隔t很小时，流至多发生一次。则“流”称为泊松流，其概率分布服从普阿松分布。（证明略）,什么样的随机现象服从泊松分布？,如商店里等待服务的顾客数，电话交换台的呼唤数，火车站的乘客数，铸件的气孔数，棉布的疵点数，田地里一定面积上的杂草数，房间里单位面积上的尘埃数，等等，都属于泊松分布的随机变量。泊

5、松分布被称为空间散布点子的几何模型。,最大值,泊松分布的最大值与经典题型,例 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？,解:,设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数=5的泊松分布.,设商店在月底应进某种商品m件,求满足,P X m 0.95,的最小的m .,进货数,销售数,求满足,P X m 0.95,的最小的m.,查泊松分布表得,于是得,m=9件,即,二项分布的泊松(poisson)逼近,在很多应用问题中，我们常见这样的贝努利试验，其中，相对地说，n大，p小，

6、而乘积=np大小适中。在这种情况下，有一个便于使用的近似公式。 定理(泊松定理) 在贝努利试验中，以p代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数n有关，如果np ，则当n 时， 在应用中，当p相当小（一般当p0.1)时，我们用下面近似公式,证 记=np，则,二项分布的普阿松(poisson)逼近,设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例4 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,例5 为了保证设备正常工

7、作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?,解,合理配备维修工人问题,由泊松定理得,故有,例6 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时

8、不能及时维修的概率的大小.,解,按第一种方法,发生故障时不能及时维修”,故有,即有,按第二种方法,故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为,例7 (人寿保险问题)在保险公司里 有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取200元.问 (1)保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少?,保险公司在1月1日的收入是 250012=30000元,解 设X表示这一年内的死亡人数,则,保险公司这一年里付出200X元.假定 200X30000,即X 15人时

9、公司亏本.,于是,P公司亏本=P X 15=1-PX 14,由泊松定理得,P公司亏本,(2) 获利不少于一万元,即 30000 -200X 10000,即X10,P获利不少于一万元=PX10,例8. 进行独立重复试验,每次成功的概率为p,令X表 示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数,求X 的分布律。,解:m=1时,m1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,PX=k=P第k次试验时成功并且 在前k-1次试验中成功了m-1次,习作题. 进行独立重复试验,每次成功的概率为p,令X 表示直到出现首次成功为止所进行的试验次 数,求X 的分布律。,5. 几何分布,若随机变量 X 的分布律为,则称 X

10、 服从几何分布.,实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.,所以 X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.,解,几何分布的无记忆性,在贝努利试验中，等待首次成功的时间服从几何分布。现在假定已知在前m次试验中没有出现成功，那么为了达到首次成功所再需要的等待时间也还是服从几何分布，与前面的失败次数m无关，形象化地说，就是把过去的经历完全忘记了。因此无记忆性是几何分布所具有的一个有趣的性质。但是更加有趣的是，在离散

11、型分布中，也只有几何分布才具有这样一种特殊的性质。,若是取正整数值的随机变量，并且，在已知k的条件下，=k+1的概率与k无关，那么服从几何分布。（证明略）,什么样的随机现象服从几何分布？,例9 设X服从几何分布,则对任何两个正整数,这一性质称为几何分布的无记忆性,意指几何分布对过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了.,6 .巴斯卡分布,在事件A发生的概率为p的贝努利试验中，若以记A第r次出现时的试验次数，则为随机变量，它可能取的值为r,r+1,，其概率分布为巴斯卡分布。 显然当r=1时，即为几何分布。,返回,对某批N件产品进行不放回抽样检查，若这批产品中有M件次品，现从整批产品中随机抽出n

12、件产品，则在这n件产品中出现的次品数v是随机变量，它取值0，1，2，n，其概率分布为超几何分布。,7. 超几何分布,在无放回抽样中,当样本总数N很大,而n很 小时,超几何分布可近似用二项分布描述.,直观解说,例 纺织厂女工照顾800个纺锭,每一纺锭在某一短时间内发 生断头的概率为0.005(设短时间内最多只发生一次断头). 求在这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率.,分析 设断头次数为随机变量X,则XB(800,0.005),超几何分布、二项分布和泊松分布都是重要的离散型随机变量的概率分布。有时，他们的概率计算会十分繁冗。当试验次数n很大时，可以推导出这三个分布间有一种近似关系式 这里，第

13、一个等式要求n很大，且n/N较小，取p=M/N即成立。第二个等式要求n很大时成立。实际使用时，n20即可，当n50时，效果更好。而泊松分布可通过查表计算，比较简单。,超几何分布、二项分布和泊松分布之间的关系,例2 设一批产品共2000个,其中有40个次品.随机抽取100个样品,求样品中次品数的概率分布,若抽样方式是:(1)不放回抽 样;(2)放回抽样.,想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律来 描述,非离散型的该如何描述？ 如:联想电脑的寿命X是一个随机变量,对于你来说,你 是否在意PX5年还是PX5年零1分钟.,离散型随机变量的分布,两点分布,均匀分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,三、小结,Jacob