差分与求根问题

1、问题,1,：建模时碰到导数模型怎么办？,其一般形式为,:,?,dy,?,?,f,(,x,y,),a,?,x,?,b,?,dx,?,?,y,(,x,0,),?,y,0,前提条件：,函数,f,(,x,y,),连续,且关于,y,满足李普希兹（,Lipschitz,）条件,:,f,(,x,y,),?,f,(,x,y,),?,L,y,?,y,.,L,为常数。这样由常微分,方程的理论知,:,(,1,),初值问题,(,1,),的解,y,(,x,),存在且唯一,.,2020/4/4,1,初值问题数值解的提法,所谓初值问题的数值解,法，即寻求问题的,解,y,(,x,),在一系列离散节点,a,?,x,0,?,x,

2、1,?,x,2,?,?,?,x,n,?,?,?,x,N,?,b,上的值,y,(,x,n,),的近似值,y,n,(,n,?,0,1,?,N,),通常将步长,h,n,取为常数,h,，,相邻两个节点的间距,h,n,?,x,n,?,1,?,x,n,称为步长。,x,n,?,x,0,?,nh,n,?,0,1,2,?,.,2020/4/4,2,对微分方程进行数值求解,首先要将微分方程离散化,.,一般采用以下几种方法,:,(1),用差商近似导数,dy,dx,(,x,n,y,n,),y,?,x,n,?,1,?,?,y,?,x,n,?,?,f,?,x,n,y,(,x,n,),?,?,x,n,?,1,?,x,n,进

3、一步,:,令,y,n,?,1,?,y,(,x,n,?,1,),y,n,?,y,(,x,n,),dy,y,n,?,1,?,y,n,?,dx,h,2020/4/4,3,(2),用数值积分近似积分,x,n,?,1,x,n,?,dy,dx,?,dx,x,n,?,1,x,n,?,f,(,x,y,),dx,(,n,?,0,1,?,),x,n,?,1,即,y,(,x,n,?,1,),?,y,(,x,n,),?,?,x,n,?,1,x,n,f,(,x,y,(,x,),dx,进一步,:,令,y,n,?,1,?,y,(,x,n,?,1,),y,n,?,y,(,x,n,),?,2020/4/4,x,n,f,(,x,

4、y,(,x,),dx,?,hf,(,x,n,y,n,),?,y,n,?,1,?,y,n,宽,高,实际上是矩形法,4,(3),用,Taylor,多项式近似并可估计误差,h,y,(,x,n,?,1,),?,y,(,x,n,?,h,),?,y,(,x,n,),?,hy,(,x,n,),?,y,(,?,),2,!,2,h,?,y,(,x,n,),?,hy,(,x,n,),?,y,(,x,n,),2,!,2,进一步,:,令,y,n,?,1,?,y,(,x,n,?,1,),y,n,?,y,(,x,n,),y,n,?,1,?,y,n,?,hf,(,x,n,y,n,),y,(,x,n,?,1,),?,y,n,

5、?,1,h,?,max,y,(,x,),2,a,?,x,?,b,2,Taylor,展开方法的处理手续繁琐，演绎过程冗长,繁杂。所以，现实中应用较少。,2020/4/4,5,?,差分方法,?,目标：将寻求微分方程的解,y,(,x,),的分析问题转化,为计算离散值,y,n,的代数问题,?,差分：,相邻函数值之差,?,采用差分格式（步进方式），求解过程随着节,点排列的次序一步一步向前推进，即利用,y,n,y,n,-1,y,n,-2,计算,y,n,+1,的递推公式,?,由于计算模型仅含一个变元,y,n,+1,2020/4/4,，问题规模减小,6,?,两类差分格式,?,单步法：,直接利用上一步的信息,y

6、,n,设计某,种嵌套结构来提高差分格式的精度，如,Runge-Kutta,方法,?,线性多步法,：利用前面多步的老信息,y,n,y,n,-1,y,n,-2,通过线性组合生成高精度的差,分格式,2020/4/4,7,1.,Euler,方法,已知初值问题的一般形,式为,?,y,?,?,f,(,x,y,),a,?,x,?,b,?,?,y,(,x,0,),?,y,0,用差商近似区间左端点的导数,(,1,),y,(,x,n,?,1,),?,y,(,x,n,),y,?,(,x,n,),?,h,y,(,x,n,?,1,),?,y,(,x,n,),?,h,y,?,(,x,n,),?,y,(,x,n,),?,h

7、f,?,x,n,y,(,x,n,),?,Euler,格式,问题转化为,?,y,n,?,1,?,y,n,?,hf,(,x,n,y,n,),?,?,y,0,?,y,(,x,0,),(,n,?,0,1,2,3,.),8,2020/4/4,例,求解初值问题,(,步长,h,?,0,.,1,),2,x,?,?,y,?,?,y,?,y,?,?,y,(,0,),?,1,?,(,0,?,x,?,1,),解,f,(,x,y,),?,y,?,2,x,/,y,初值问题的迭代公式为,:,?,y,n,?,1,?,y,n,?,hf,(,x,n,y,n,),?,y,n,?,h,(,y,n,?,2,x,n,/,y,n,),?,

8、?,y,(,0,),?,1,解的表达式,:,y,?,1,?,2,x,2020/4/4,9,近似解,0 1.,0.1 1.1,0.2 1.1918,0.3 1.2774,0.4 1.3582,0.5 1.4351,0.6 1.5090,0.7 1.5803,0.8 1.6498,0.9 1.7178,1.0 1.7848,精确解,y0 - 1,y0.1 - 1.0954,y0.2 - 1.1832,y0.3 - 1.2649,y0.4 - 1.3416,y0.5 - 1.4142,y0.6 - 1.4832,y0.7 - 1.5492,y0.8 - 1.6125,y0.9 - 1.6733,y1

9、.0 - 1.7321,2020/4/4,10,欧拉方法的几何解释：,dy,则,斜率,|,(,x,0,y,0,),?,f,?,x,0,y,0,?,dx,由于,f,?,x,0,y,0,?,及,?,x,0,y,0,?,已知，必有切线方程。,由点斜式写出切线方程,：,dy,y,?,y,0,?,?,x,?,x,0,?,|,(,x,0,y,0,),?,y,0,?,(,x,?,x,0,),f,(,x,0,y,0,),dx,2020/4/4,11,由,?,x,0,y,0,?,出发求解曲线,y,?,y,?,x,?,的切线（存在！）,等步长,为,h,，则,x,1,?,x,0,?,h,，可由切线算出,y,1,：,

10、y,1,?,y,0,?,hf,（,x,0,y,0,）,逐步计算出,y,?,y,(,x,),在,x,n,?,1,点的值：,y,n,?,1,?,y,n,?,hf,（,x,n,y,n,）,n,?,0,，,1,，,2,，,?,注：,这是“折线法”而非“切,线法”，即除第一个点是曲线,切线外，其余点则不是！,Euler,格式精度较低，仅为,1,阶！,2020/4/4,Y=y(x),a,x,1,x,2,b,12,用向后差商近似区间右,端点处的导数：,y,?,x,n,?,1,?,?,y,?,x,n,?,y,?,?,x,n,?,1,?,?,h,则得隐式,Euler,格式：,?,y,n,?,1,?,y,n,?,

11、hf,?,x,n,?,1,y,n,?,1,?,?,?,y,?,x,0,?,?,y,0,隐式,Euler,格式精度仍很低，还是,1,阶！,2020/4/4,13,用中心差商近似区间左,端点处的导数：,y,?,x,n,?,1,?,?,y,?,x,n,1,?,y,?,?,x,n,?,?,2,h,则得,Euler,两步格式：,?,y,n,?,1,?,y,n,?,1,?,2,hf,?,x,n,y,n,?,?,?,y,?,x,0,?,?,y,0,Euler,两步格式精度较前两种有所提高！,但：需借助于某种一步法另提供一个开始值,y,1,。,2020/4/4,14,已知初值问题的一般形,式为：,?,y,?,

12、?,f,(,x,y,),?,?,y,(,x,0,),?,y,0,x,n,?,1,a,?,x,?,b,(,1,),对上面第一个方程的两端从,x,n,到,x,n,+1,进行积分,:,y,(,x,n,?,1,),?,y,(,x,n,),?,?,y,(,x,n,?,1,),?,y,(,x,n,),?,?,x,n,?,1,x,n,h,?,y,n,?,1,?,y,n,?,?,f,(,x,n,y,n,),?,f,(,x,n,?,1,y,n,?,1,),?,2,梯形格式,2020/4/4,h,f,(,x,y,(,x,),dx,?,?,f,?,x,n,y,(,x,n,),?,?,f,?,x,n,?,1,y,(,

13、x,n,?,1,),?,?,2,x,n,f,(,x,y,(,x,),dx,?,hf,?,x,n,y,(,x,n,),?,是,显,式,Euler,格,式,与,隐,式,Euler,格,式,的,算,术,平,均,，,比,Euler,精度高一些（,2,阶），但计算量较大,15,改进的,Euler,方法,将梯形格式与显式,Euler,格式结合，形成,预报校正系统,：,预报值,对,n,?,0,，,1,，,2,，,?,?,y,n,?,1,?,y,n,?,hf,?,x,n,y,n,?,?,h,校正值,?,y,?,f,?,x,n,y,n,?,?,f,?,x,n,?,1,y,n,?,1,?,?,n,?,1,?,y,

14、n,?,?,2,?,h,?,?,y,n,?,1,?,y,n,?,2,(,K,1,?,K,2,),?,?,K,?,f,(,x,y,),作等价变换,:,?,1,n,n,?,K,2,?,f,(,x,n,?,1,y,n,?,hK,1,),?,?,?,y,(,x,0,),?,y,0,实际计算中只迭代一次，这样建立的预报校正系统称作,改进的欧拉公式,。,2020/4/4,16,例,求解初值问题,(,步长,h,?,0,.,1,),2,x,?,?,y,?,?,y,?,y,?,?,y,(,0,),?,1,?,(,0,?,x,?,1,),解,f,(,x,y,),?,y,?,2,x,/,y,解的表达式,:,y,?,

15、1,?,2,x,h,?,y,?,y,?,(,K,?,K,),n,?,1,n,1,2,?,2,?,?,K,?,f,(,x,y,),作等价变换,:,?,1,n,n,?,K,2,?,f,(,x,n,?,1,y,n,?,hK,1,),?,?,?,y,(,x,0,),?,y,0,2020/4/4,17,精确解,y0 - 1,y0.1 - 1.0954,y0.2 - 1.1832,y0.3 - 1.2649,y0.4 - 1.3416,y0.5 - 1.4142,y0.6 - 1.4832,y0.7 - 1.5492,y0.8 - 1.6125,y0.9 - 1.6733,y1.0 - 1.7321,Eu

16、ler,近似解,0 1.,0.1 1.1,0.2 1.1918,0.3 1.2774,0.4 1.3582,0.5 1.4351,0.6 1.5090,0.7 1.5803,0.8 1.6498,0.9 1.7178,1.0 1.7848,改进,Euler,近似解,0 1.,0.1 1.0959,0.2 1.1841,0.3 1.2662,0.4 1.3434,0.5 1.4164,0.6 1.4860,0.7 1.5525,0.8 1.6165,0.9 1.6782,1.0 1.7379,2020/4/4,18,Euler,方法的收敛性和精度分析,?,Euler,显式、隐式格式与改进的,Eu

17、ler,格式是收敛的,?,称,某个差分格式具有,m,阶精度,，如果其对应的近似,关系式对于次数,m,的多项式均能准确成立，而对,于,y,=,x,m,+1,不准确,?,显式,Euler,格式：,1,阶,?,隐式,Euler,格式：,1,阶,?,梯形格式：,2,阶,2020/4/4,19,2.,龙格,-,库塔,(Runge-Kutta),方法,理论上,公式阶数越高，精确度越高，但计算量过大,y,(,x,n,?,1,),?,y,(,x,n,),?,hf,?,?,y,(,?,),?,平均斜率,只要对平均斜率提供一种算法，便可由上式导出一种,计算格式,改进的,Euler,格式：,观察,h,?,y,?,y

18、,?,(,K,?,K,),n,?,1,n,1,2,?,Euler,格式：,2,?,K,?,f,(,x,y,),?,1,n,n,?,y,n,?,1,?,y,n,?,hK,1,?,K,?,f,(,x,?,h,y,?,hK,),?,2,n,n,1,K,?,f,(,x,y,),?,n,n,?,1,?,2020/4/4,20,共同的特点是,:,用,f,(,x,y,),在,某,点,上,的,值,的,线,性,组,合,来,计,算,y,n,?,1,避免计算函数,f,(,x,y,),的偏导数，提高了精度,给我们的启示：,设法在,x,n,x,n,+1,上多预报几个点的斜率，,对它们进行加权平均作为平均斜率,r,?,?

19、,y,n,?,1,?,y,n,?,h,?,?,i,K,i,i,?,1,?,i,?,2,.,r,?,?,K,1,?,f,(,x,n,y,n,),?,i,?,1,?,K,i,?,f,(,x,n,?,p,i,h,y,n,?,h,?,?,ij,K,j,),?,j,?,1,?,这里,?,i,p,i,?,ij,均为常数,.,2020/4/4,上式称为,r,阶,Runge,-,Kutta,方法，简称,R,-,K,方法,21,当,r,1,时，一阶,R-K,格式,?,K,1,?,f,(,x,n,y,n,),?,?,y,n,?,1,?,y,n,?,hK,1,Euler,格式,改进的,Euler,格式,特例,1,：

20、,当,p,=1,=1/2,时,h,?,?,y,n,?,1,?,y,n,?,2,?,K,1,?,K,2,?,?,?,K,1,?,f,(,x,n,y,n,),?,K,?,f,(,x,y,?,hK,),n,?,1,n,1,?,2,?,当,r,2,时，二阶,R-K,格式,?,y,n,?,1,?,y,n,?,h,?,(,1,?,?,),K,1,?,?,K,2,?,?,?,K,1,?,f,(,x,n,y,n,),?,K,?,f,(,x,y,?,phK,),n,?,p,n,1,?,2,?,K,1,?,f,(,x,n,y,n,),特例,2,：,当,p,=1/2,?,?,?,h,?,x,1,y,n,?,K,1,

21、?,?,K,2,?,f,?,?,n,?,?,2,=1,时,?,2,?,?,?,y,?,n,?,1,?,y,n,?,hK,2,2020/4/4,Euler,中点,格式,22,r,?,3,时，得到三阶的,Kutta,格式,h,?,?,y,n,?,1,?,y,n,?,6,?,K,1,?,4,K,2,?,K,3,?,?,K,1,?,f,?,x,n,y,n,?,?,?,三阶,R-K,方法,.,?,?,?,h,?,K,2,?,f,?,x,1,y,n,?,K,1,?,?,n,?,?,?,2,2,?,?,?,?,?,K,3,?,f,?,x,n,?,1,y,n,?,h,(,?,K,1,?,2,K,2,),?,.

22、,?,h,?,y,?,y,n,?,?,K,1,?,2,K,2,?,2,K,3,?,K,4,?,n,?,1,?,6,?,?,K,1,?,f,?,x,n,y,n,?,?,?,?,h,?,x,1,y,n,?,K,1,?,四阶经典,R-K,格式,?,K,2,?,f,?,?,n,?,?,2,?,2,?,?,?,?,h,?,K,?,f,?,?,x,1,y,n,?,K,2,?,3,?,?,n,?,?,2,2,?,?,?,?,?,K,4,?,f,?,x,n,?,1,y,n,?,hK,3,?,.,2020/4/4,23,利用,3,阶、,4,阶,R,-,K,公式求解初值问题,(,步长,h,?,0,.,1,),例,

23、2,x,?,?,y,?,?,y,?,y,?,?,y,(,0,),?,1,?,(,0,?,x,?,1,),?,h,?,y,?,y,n,?,?,K,1,?,2,K,2,?,2,K,3,?,K,4,?,1,?,n,?,6,?,h,?,K,1,?,f,?,x,n,y,n,?,?,?,y,?,y,?,K,?,4,K,?,K,?,n,?,1,n,1,2,3,?,6,?,?,?,?,h,?,K,1,?,f,?,x,n,y,n,?,?,x,1,y,n,?,K,1,?,f,?,K,?,?,2,?,?,?,n,?,2,?,?,2,?,?,?,?,?,?,K,2,?,f,?,x,1,y,n,?,h,K,1,?,?,

24、?,h,?,n,?,?,?,?,2,K,3,?,f,?,x,1,y,n,?,K,2,?,2,?,?,?,?,?,n,?,?,2,2,?,?,?,?,?,K,?,f,x,y,?,h,(,?,K,?,2,K,),.,?,n,?,1,n,1,2,?,3,?,?,K,4,?,f,?,x,n,?,1,y,n,?,hK,3,?,.,解,f,(,x,y,),?,y,?,2,x,/,y,2020/4/4,24,精确解,y0 - 1,y0.1 - 1.09545,y0.2 - 1.18322,y0.3 - 1.26491,y0.4 - 1.34164,y0.5 - 1.41421,y0.6 - 1.48324,

25、改进,Euler,近似解,0 1.,0.1 1.09774,0.2 1.18757,0.3 1.27129,0.4 1.35013,0.5 1.42499,0.6 1.49657,3,阶,R-K,近似解,0 1.,0.1 1.09544,0.2 1.18322,0.3 1.26491,0.4 1.34165,0.5 1.41422,0.6 1.48326,2020/4/4,25,精确解,y0 - 1,y0.1 - 1.09545,y0.2 - 1.18322,y0.3 - 1.26491,y0.4 - 1.34164,y0.5 - 1.41421,y0.6 - 1.48324,3,阶,R-K,

26、近似解,0 1.,0.1 1.09544,0.2 1.18322,0.3 1.26491,0.4 1.34165,0.5 1.41422,0.6 1.48326,4,阶,R-K,近似解,0.0 1,0.1 1.09545,0.2 1.18322,0.3 1.26491,0.4 1.34164,0.5 1.41422,0.6 1.48324,2020/4/4,26,问题：,讨论单变量非线性方程,f,(,x,),?,0,的求根问题,由于函数,f,(,x,),的复杂性，在绝大多数情况下没,有根的显式表达式。,出发点：,数值方法求根的近,似值,重点研究,多项式方程,f,(,x,),?,a,0,x,?,

27、a,1,x,n,n,?,1,?,?,?,a,n,?,1,x,?,a,n,(,a,0,?,0,),其中系数,a,i,(,i,?,0,1,?,n,),为实数,.,的求根问题,2020/4/4,27,一般提法与结论,若,f,(,x,*),?,0,则,x,称为函数,f,(,x,),的零点,若,f,(,x,),?,(,x,?,x,),g,(,x,),g,(,x,),?,0,.,其中,m,为正整数，且,则,:,(,1,),当,m,?,1,时，称,x,为单根，,(,2,),当,m,?,1,称,x,为,m,重根，或,x,为,f,(,x,),的,m,重零点,.,若,x,是,f,(,x,),的,m,重零点,且,g

28、,(,x,),充分光滑，则,f,(,x,),?,f,?,(,x,),?,?,?,f,*,*,(,m,?,1,),*,*,*,*,*,*,m,*,(,x,),?,0,f,*,(,m,),(,x,),?,0,.,*,n,次方程在复数域有且只,有,n,个根，本章不涉及复根,2020/4/4,28,1.,根的搜索,与一般连续函数方程,f,(,x,),?,0,一样，通常对,n,?,3,的多项式方程求根多可,采用迭代法求根,搜索法：,先求出使,f,?,(,x,),?,的点，然后将这些点放在定义,0,域内，从而将定义域分成几部分，算出驻点处,的函数值，即可知道方程的有根区间。,2020/4/4,29,根的二

29、分搜索法,设,f,(,x,),在,a,b,上连续且单调，,f,(,a,),?,f,(,b,),?,0,，则在,a,b,有且仅有一个单实根,x,。,根存在，但未必好求，可用二分法。不妨假设,f,(,a,)0,，,f,(,b,)0,，取中点,x,0,=(,a,+,b,)/2,，,(1),若,f,?,x,0,?,?,0,则根为,x,?,x,0,；,若,f,?,x,0,?,?,0,，令,a,1,?,x,0,，,b,1,?,b,；,若,f,?,x,0,?,?,0,，令,b,1,?,x,0,a,1,?,a,.,*,(,2,),对,a,1,b,1,区间重复,(1,),的计算，并产生,a,2,b,2,?,20

30、20/4/4,30,b,?,a,b,1,?,a,1,b,?,a,b,1,?,a,1,?,b,2,?,a,2,?,?,2,2,2,2,考察有根区间,a,b,，,a,a,1,?,a,a,1,?,b,1,2,a,?,b,b,1,?,2,b,x,如此反复二分下去，即,可得出一系列有根区间,?,a,b,?,?,?,a,1,b,1,?,?,?,a,2,b,2,?,?,.,?,?,a,k,b,k,?,?,.,?,a,k,b,k,?,的长度,b,k,?,a,k,?,?,b,?,a,?,/,2,?,?,?,?,?,0,其中,，,k,当,k,?,?,时,即这些区间最终必收敛,于一点,x,该点显然就是所求的根,.,

31、2020/4/4,31,*,a,a,1,?,a,a,1,?,b,1,2,a,?,b,b,1,?,2,b,x,b,k,?,a,k,b,?,a,由于,x,*,?,x,k,?,?,k,?,1,2,2,只要二分足够多次（即,k,充分大），,则有,x,*,?,x,k,?,?,这里,?,为预定的精度,.,2020/4/4,32,对分区间次数的估计：,由,b,n,?,a,n,b,?,a,x,*,?,x,n,?,?,n,?,1,?,?,2,2,ln(,b,?,a,),?,ln,?,不难得出：,n,?,?,1,ln,2,二分法的特点：,优点：对函数要求低，计算简单,缺点：收敛慢且对有偶数重根的情况不适合,202

32、0/4/4,33,例,求方程,f,(,x,),?,x,?,x,?,1,?,0,在区间,?,1,，,1,.,5,?,内的,3,一个实根,要求准确到小数点后第,2,位,.,解：,?,a,?,1,.,0,b,?,1,.,5,f,(,a,),?,0,f,(,b,),?,0,则中点,x,0,?,1,.,25,，将区间二等分，,?,f,(,x,0,),?,0,?,令,a,1,?,x,0,?,1,.,25,，,b,1,?,b,?,1,.,5,，,得新的有根区间,a,1,b,1,如此二分下去即可。现估计二分次数,x,?,x,n,?,0,.,005,?,n,?,5,.,64,所以，二分,6,次可达到要求。,20

33、20/4/4,34,*,2.,迭代法及其收敛性,基本思想,构造不动点方程，以求得近似根。即由方,程,f,(,x,)=0,变换为其等价形式,x,=,?,(,x,),，然后建立迭,代格式,x,k,?,1,?,?,(,x,k,),当给定初值,x,0,后,由迭代格式可求得数列,x,k,。此,数列可能收敛，也可能不收敛。如果,x,k,收敛于,x,*,，,则它就是方程的根。因为：,x,?,lim,x,k,?,1,?,lim,?,(,x,k,),?,?,(,lim,x,k,),?,?,(,x,),k,?,?,k,?,?,k,?,?,*,*,故,k,充分大时，,x,k,可作为方程根的近似值,2020/4/4,

34、35,按上述方法构造迭代格式来求解方程的方法,称为,简单迭代法,或,逐次迭代法,。,将方程,f,(,x,),?,0,改写为,x,?,?,(,x,),，使隐式方程显式化,按公式反复迭代,x,k,?,1,?,?,(,x,k,),k,?,0,1,?,?,(,x,),称为迭代函数,若相应的序列,x,k,：,lim,x,k,?,x,k,?,?,*,则称迭代方程收敛。,2020/4/4,36,例,求方程,f,(,x,),?,x,?,x,?,1,?,0,3,*,在,x,0,?,1,.,5,附近的根,x,.,解,:,将方程改写成下列形式,x,?,据此建立迭代公式,3,x,?,1,x,k,?,1,?,3,x,k

35、,?,1,2020/4/4,k,?,0,1,2,?,37,例,求方程,f,(,x,),?,x,?,10,x,?,20,?,0,*,3,在,x,0,?,1,.,5,附近的根,x,要求精确到六位小数。,解,将方程分别改写成下列形式,(,1,),x,?,x,?,11,x,?,20,据此建立迭代公式,3,3,(,2,),20,x,?,2,x,?,10,(,1,),x,k,?,1,?,x,k,?,11,x,k,?,20,(,2,),2020/4/4,k,?,0,1,2,?,x,n,?,1,?,20,x,n,?,10,38,2,定理,压缩映象原理,设,?,(,x,),在,a,b,上具有连续的一阶导数,，且

36、满足：,（,1,）封闭性条件：,对任意,x,?,a,b,总有,?,(,x,),?,a,b,；,（,2,）,压缩性条件：,存在常数,L,，,0,?,L,?,1,，使对,?,x,?,a,b,一致地成立,?,?,(,x,),?,L,则迭代过程,x,k,?,1,?,?,(,x,k,),对于任给初值,x,0,?,a,b,收敛于方程,x,?,?,(,x,),的根,x,*,.,且对任意的,x,0,?,a,b,x,n,?,1,?,?,(,x,n,),?,?,x,*,并有,n,*,L,x,n,?,x,?,x,1,?,x,0,1,?,L,L,越小，收敛的越快,2020/4/4,39,提,示,只要证明：,?,(,x

37、,),?,L,?,?,(,x,),?,?,(,y,),?,L,x,?,y,显然,?,x,y,?,a,b,?,(,x,),?,?,(,y,),?,?,?,?,?,?,(,?,),x,?,y,?,L,x,?,y,中,值,定,理,2020/4/4,40,迭代法的局部收敛性,定义：,对于方程,*,x,?,?,(,x,),，若在,x,的某个邻域,*,?,:,x,?,x,?,?,（,?,为足够小的定数），使,对任意初值,x,0,?,?,，,迭代格式,x,k,?,1,?,?,(,x,k,)(,k,?,0,1,2,?,),均收敛，则称该迭代格,式,在,x,附近是局部收敛的,.,*,定理,*,设,?,(,x,)

38、,在方程,x,?,?,(,x,),的根,x,的邻近有连续的一阶导,数，,在,x,的某个邻域,*,?,(,1,),当,?,(,x,),?,1,时，迭代格式,x,k,?,1,?,?,(,x,k,),局部收敛,.,*,?,(,2,),当,?,(,x,),?,1,时，迭代格式,x,k,?,1,?,?,(,x,k,),发散,.,2020/4/4,41,*,例,求方程,f,(,x,),?,x,?,10,x,?,20,?,0,3,在,x,0,?,1,.,5,附近的根,x,要求精确到六位小数。,*,解,将方程分别改写成下列形式。,1,?,x,0,?,1,.,5,?,2,(,1,),x,?,x,?,11,x,?

39、,20,?,?,?,1,(,x,),20,?,(,2,),x,?,2,?,?,?,2,(,x,),x,?,10,(,1,),?,1,(,x,),?,3,x,?,11,?,1,所以迭代法发散,.,20,40,x,?,(,2,),x,?,2,?,?,?,2,(,x,),?,?,2,?,1,2,x,?,10,(,x,?,10,),20,1,?,?,(,x,),?,2,?,2,所以迭代法收敛,.,x,?,10,2020/4/4,42,3,?,2,例,求方程,f,(,x,),?,x,?,x,?,1,?,0,3,*,在,x,0,?,1,.,5,附近的根,x,.,1,?,2,/,3,?,(,x,),?,(,x,?,1,),解：令,?,1,(,x,),?,x,?,1,，,?,1,3,1,1,1,/,3,?,(,x,),|,?,(,),?,1,在区间,1,，,2,中，,|,?,1,3,4,3,又因,1,?,2,?,?,1,(,x,),?,3,?,2,3,3,3,所以迭代法收敛,.,2,?,(,x,),?,3,x,在区间,1,，,而当,?,2,(,x,),?,x,?,1,时，,?,2,2,中,?,(,x,),|,?,1,|,?,2,所以迭代法发散,.,2020/4/4,43,迭代过程的收敛速度,从前面的定义，,当,?,?,(,x,),?