[全]中考数学圆中的计算与证明专题训练（含解析）

1、中考数学圆中的计算与证明专题训练（含解析）1.已知：如图，在 ABC 中，AB = BC = 10，以 AB 为直径作 O 分别交 AC，BC 于点 D，E，连接 DE 和 DB，过点 E 作 EFAB，垂足为 F，交 BD 于点 P（1）求证：AD = DE；（2）若 CE = 2，求线段 CD 的长；（3）在（2）的条件下，求 DPE 的面积【解析】（1）解： AB 是 O 的直径， ADB=90，即 BDAC， AB = BC， ABD CBD， ABD=CBD，在 O 中，AD 与 DE 分别是 ABD 与 CBD 所对的弦， AD = DE；（2）解： 四边形 ABED 内接于 O，

2、 CED = CAB， C = C， CEDCAB， CE / CA = CD / CB， AB = BC = 10，CE = 2，D 是 AC 的中点， CD = 10；（3）解：延长 EF 交 O 于点 M，在 Rt ABD 中，AD= 10 ，AB = 10， BD = 310 ， EMAB，AB 是O 的直径， BE = BM， BEP = EDB， BPEBED， BD / BE = BE / BP， BP = 3210 / 15 ， DP = BD - BP = 1310 / 15， SDPE：SBPE= DP：BP = 13：32， SBCD = 1/2 10 310 = 15，

3、SBDE：SBCD = BE：BC = 4：5， SBDE = 12， SDPE = 156/452.如图，AB 是半圆 O 的直径，AD 为弦，DBC = A（1）求证：BC 是半圆 O 的切线；（2）若 OCAD，OC 交 BD 于点 E，BD = 6，CE = 4，求 AD 的长【解析】（1）证明： AB 是半圆 O 的直径， D = 90， A + DBA = 90， DBC = A， DBC + DBA = 90， BCAB， BC 是半圆 O 的切线；（2）解： OCAD，O 为 AB 的中点， BEC = D = 90， BD = 6， BE = DE = 3， DBC = A，

4、 BCEBAD， CE / BD = BE / AD，即 4 / 6 = 3 / AD , AD = 4.5 .3.如图 1，在正方形 ABCD 中，以 BC 为直径作半圆 O，AE 切半圆于点 F 交 CD 于点 E，连接 OA、OE（1）求证：AOEO；（2）如图 2，连接 DF 并延长交 BC 于点 M，求 DF/FM 的值【解析】（1）证明： 四边形 ABCD 为正方形， B = C = 90，ABCD， AB 和 CD 为 O 的切线， AE 切半圆于点 F， OA 平分 BAE，OE 平分 AEC，而 ABCD， BAE + AEC = 180， OAE + OEA = 90， A

5、OE = 90， OAOE；（2）解：如图，作 FHCD 于点 H，设正方形 ABCD 的边长为 4a，则 AF = AB = 4a，OB = OC = 2a， AOE = 90， AOB + COE = 90， AOB + OAB = 90， OAB = EOC， Rt ABO Rt OCE， AB：OC = OB：CE，即 4a：2a = 2a：CE，解得 CE = a， EF = EC = a， EA = 5a，ED = 3a， FHAD， EFHEAD， FH / AD = EF / EA = EH / ED ，即 FH / 4a = a / 5a = EH / 3a， FH = 4/

6、5 a，EH = 3/5 a， DH = 3a3/5 a = 12/5 a， CH= 4a12/5 a = 8/5 a， FHCM， DF / FM = DH / CD = 3/2 .4.如图，AD 是 O 的切线，切点为 A，AB 是 O 的弦过点 B 作 BCAD，交 O 于点 C，连接 AC，过点 C 作 CDAB，交 AD 于点 D连接 AO 并延长交 BC 于点 M，交过点 C 的直线于点 P，且 BCP = ACD（1）判断直线 PC 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AB = 9，BC = 6求 PC 的长【解析】（1）解：PC 与圆 O 相切，理由为： 如图，过 C 点

7、作直径 CE，连接 EB， CE 为直径， EBC = 90，即 E + BCE = 90， ABDC， ACD = BAC， BAC = E，BCP = ACD E = BCP， BCP + BCE = 90，即 PCE = 90， CEPC， PC 与圆 O 相切；（2）解： AD 是 O 的切线，切点为 A， OAAD， BCAD， AMBC， BM = CM = 1/2 BC = 3， AC = AB = 9，在 RtAMC 中，设 O 的半径为 r，则 OC = r，OM = AMr = 62r，在 RtOCM 中，由勾股定理得：OM2 + CM2 = OC2 ， 即 （62 r）2

8、 + 32 = r2 ，解得 r = 272 / 8 ， CE = 2r = 272 / 4，OM = 62272 / 8 = 212 / 8 ， BE = 2OM = 212 / 4 ， E = MCP， RtPCM RtCEB， PC / CE = CM / EB ， PC = 27 / 7 .5.如图，点 A 在 O 上，点 P 是 O 外一点，PA 切 O 于点 A，连接 OP 交 O 于点 D，作 ABOP 于点 C，交 O 于点 B，连接 PB（1）求证：PB 是 O 的切线；（2）若 PC = 9，AB = 63 ，求图中阴影部分的面积 .【解析】（1）证明：如图1，连接 OB， OPAB，OP 经过圆心 O， AC = BC， OP 垂直平分 AB， AP = BP， OA = OB，OP = OP， APO BPO（SSS）， PAO = PBO， PA 切 O 于点 A， APOA， PAO = 90， PBO = PAO = 90， OBBP，又 点 B 在 O 上， PB 与 O 相切于点 B；（2）解：如图1， OPAB，OP 经过圆心 O， BC = 1/2 AB = 33， PBO = BCO = 90， PBC + OBC