人教版高中数学必修2《点、线、面之间的位置关系1》师用

1、.必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面【知识要点】1平面：是一个只给出描述而未下定义的最基本的原始概念，对平面这一概念应从以下三个方面注意理解：“平面”是平的；“平面”无厚度；“平面”无边界，可以向四面八方无限延展.2符号语言的记法（1）关于平面的记法平面的记法用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面用平面上的三个点来表示，如平面ABC，平面BCD用平面上的四个点来表示，如平面ABCD（2）点、线、面位置关系的符号记法l 点和直线、平面的位置关系位置关系符号表示点P在直线a上点P不在直线a上点M在平面内点M不在平面内直线a与直线b交于点Al 直线和平面的位置关系位置关系公

2、共点个数符号表示图形表示直线a 在平面内无数个直线a 与平面相交有且只有一个公共点直线a 与平面平行0l 平面和平面的位置关系位置关系公共点个数符号表示图形表示两平面平行0两平面相交斜交有无数个公共点在一条直线上垂直有无数个公共点在一条直线上3平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言【补充】公理2的三条推论：【推论1】 经过一条直线和这条直线外的一点

3、，有且只有一个平面； 【推论2】 经过两条相交直线，有且只有一个平面；【推论3】 经过两条平行直线，有且只有一个平面.【例题精讲】【例题1】下列推理错误的是（ ）A，；，.B，；，.C，.D，且A、B、C不共线与重合【变式1】下列说法不正确的是（ ）A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形.B. 同一平面的两条垂线一定共面.C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内.D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.【例题2】如图正方体中，判下列命题是否正确，并说明理由.(1) 直线在平面内；(2) 设正方形与的中心分别为、，则平面与平面的交线

4、为；(3) 由点、O、可以确定一个平面；(4) 由、确定的平面是；(5) 若直线是平面内的直线，直线是平面上的直线，若与相交，则交点一定在直线上；(6) 由、确定的平面与由、确定的平面是同一平面.【变式1】如果，=A，=B那么下列关系成立的是（ ）A. B.不在内 C.=A D.=B【变式2】平面、的公共点多于两个，则正确的命题是（ ）A.、重合 B.、至少有3个公共点 C.、至少有一条公共直线 D.、至多有一条公共直线【变式3】已知的两边AC、BC分别交平面于点E、F，又设直线AB交于点M，则点M与直线EF的位置关系为 .【变式4】如下图所示，、三点确定的平面与、三点确定的平面相于直线，且A

5、B与相交，EF与也相交作出平面ABD与平面CEF的交线作法：（1）连结AB交于G，连结EF交于H；（2）连结DG交 于 ；（3）连结CH交 于 ；（4）连结 此于即为所作的交线.【变式5】在正方体中，（1）与是否在同一平面内? （2）点是否在同一平面内? （3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线解：（1）在正方体中， 由公理2的推论可知，与可确定平面，与在同一平面内（2）点不共线，由公理3可知，点可确定平面， 点在同一平面内（3）， 点平面，平面，又平面，平面， 平面平面，同理平面平面【点评】确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线

6、外一点）【例题3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线两两相交，交点分别为，求证：直线共面证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面 因为A，B，所以AB 同理BC ，AC .所以AB，BC，CA三直线共面【解析】先依据公理2，由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1，证三条直线在平面内注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.【变式1】已知直线，且直线与都相交，求证：直线共面.【基础达标】1两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）A相交 B重合 C相交或重合

7、 D以上都不对【C】2E、F、G、H是三棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P，则点P（ ）A一定在直线AC上 B一定在直线BD上C只在平面BCD内 D只在平面ABD内【B】3用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（ ）A三 B四 C六 D八 【C】4下列说法中正确的是（ ）A空间不同的三点确定一个平面 B空间两两相交的三条直线确定一个平面C空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内【D】5给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；每两条都相交并且交点全部

8、不同的四条直线共面其中说法正确的序号依次是 6已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 4【能力提高】7正方体中，E、F、G、H、K、L分别是 的中点求证：这六点共面证明：连结和，因为 是的中点，所以 又 矩形中，所以 ，所以 可确定平面，所以 共面，同理 ，故 共面又 平面与平面都经过不共线的三点，故 平面与平面重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面同理可证，所以，E、F、G、H、K、L六点共面（证明共面问题常有如下两个方法：直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合）8（1）在平面外，求证：P，Q

9、，R三点共线证明：（1）根据公理2易知确定平面，且与有交线l，根据公理3易知，P，Q，R三点都在直线l上，即三点共线.（2）已知四边形ABCD中，ABCD，四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线（2）ABCD，AB，CD确定一个平面，易知AB，BC，DC，AD都在内，由平面的性质可知四点E，F，G，H都在上，因而，E，G，G，H必都在平面与的交线上，所以四点E，F，G，H共线.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【知识要点】1空间两条直线的位置关系：2【公理4（平行公理）】平行于同一条直线的两条直线互相平行.【定理】空间

10、中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3异面直线所成的角定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）注意：所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.【例题精讲】【例题1】已知异面直线a和b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30的直线有且仅有（ ） A1条 B2条 C3条 D4条解：过P作a，b，若Pa，则取a为，若Pb，则取b为这时

11、，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50和130记，所确定的平面为，那么在平面内，不存在与，都成30的直线 过点P与，都成30角的直线必在平面外，这直线在平面的射影是，所成对顶角的平分线其中射影是50对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130对顶角平分线的直线不存在故答案选B.【例题2】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点（1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.证明：（1） 正方体中，.又 中，E、F为中点， ， 即D、B、F、E四点共面.（2） ， .又 ， ， 即P、Q、R

12、三点共线【例题3】已知直线a/b/c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.证明：因为a/b，由公理2的推论，存在平面，使得.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.假设，则，在平面内过点C作，因为b/c，则，此与矛盾故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.【例题4】如图中，正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）

13、求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45， AB1 和CC1所成的角是45.（2）如图，连结DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直线AB1和EF所成的角A1DC1是等边三角形， A1DC1=60，即直线AB1和EF所成的角是60.点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易解题中常借助正方体

14、等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.【例题5】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且. 求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点证明：（1） 在ABD和CBD中， E、H分别是AB和CD的中点， EHBD. 又 ， FGBD EHFG 所以，E、F、G、H四点共面.（2）由（1）可知，EHFG ，且EHFG，即直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点， 由公理3知PAC 所

15、以，三条直线EF、GH、AC交于一点.点评：一般地，证明三线共点，可证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线又往往是两平面的交线.【基础达标】1分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）A异面 B 平行 C 相交 D 以上都有可能【D】2教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ）A平行 B垂直 C相交但不垂直 D异面【B】3两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）A一定是异面直线 B一定是相交直线C可能是平行直线 D可能是异面直线，也可能是相交直线【D】4把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为

16、（ ）A 12 B24 C36 D48【B】5正方体中，AB的中点为M，的中点为N，异面直线 与CN所成的角是（ ）A30 B90 C45 D60【B】EFBCMND6如图，正方体中，直线与所成角为_度 607右图是正方体平面展开图，在这个正方体中： BM与ED平行； CN与BE是异面直线； CN与BM成60角； DM与BN垂直.以上四个说法中，正确说法的序号依次是 【能力提高】8已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小解：分别取AC、AD、BC的中点P 、M 、N 连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PNAB，PMCD，于是MPN就是异面直线AB和CD成的角，

17、如右图所示. 连结MN、DN，设AB=2， PM=PN=1而AN=DN=，则MNAD，AM=1，得MN=， MN2=MP2+NP2，MPN=90，即异面直线AB、CD成90角._P_G_H_F_E_D_C_B_A9空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点证明：PEF，EF面ABC，P面ABC，同理P面ADC，P在面ABC与面ADC的交线上，又面ABC面ADC=AC，PAC，即EF、HG、AC三线共点.FEDCBAG10A是BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异面直线；

18、（2）若ACBD，AC=BD，求EF与BD所成的角.解：（1）证明：用反证法.设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线.（2）取CD的中点G，连结EG、FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角.在RtEGF中，求得FEG=45，即异面直线EF与BD所成的角为45.2.1.3 直线与平面、平面与平面的位置关系【知识要点】1直线与平面的位置关系：l 直线在平面内（有无数个公共点），记作：；l 直线与平面相交（有且只有一个公共点），记作：；l 直线与平面平行（没有公共点），记作：.2两平面的位置关系：l 平行（没有公共点），记作：；l 相交（有一条公共直线），记作：.【基础达标】1直线与平面不平行，则（ ）A与相交 B C与相交或 D以上结论都不对【C】2正方体各面所在平面将空间分成（ ）个部分.A7 B15 C21 D27【D】3若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平