小学奥数平面几何可编辑

1、小学奥数平面几何五大定律,1.,等积模型,2.,鸟头定理,3.,蝴蝶定理,4.,相似模型,5.,燕尾定理,一、等积模型,等底等高的两个三角形面积相等；,两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；,两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；,如右图,S,1,:,S,2,?,a,:,b,夹在一组平行线之间的等积变形，如右图,S,ACD,?,S,BCD,S,ACD,?,S,BCD,，如果，则可知直线,AB,平行于,CD,反之,C,D,A,B,等底等高的两个平行四边形面积相等,(,长方形和正方形可以看作特殊的,平行四边形,),；,三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；,两个平行四边形高相等

2、，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底,相等，面积比等于它们的高之比,二、鸟头定理,?,两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形,?,共角三角形的面积比等于对应角,(,相等角或互补角,),两夹边的乘积之比,?,如图在,?,ABC,中，,D,E,分别,AB,AC,是上的点如图,(,或,D,在,BA,的延长线上，,AC,上如图,(2),则,S,ABC,:,S,ADE,?,(,AB,?,AC,),:,(,AD,?,AE,),D,A,A,D,E,E,B,B,C,C,图（,1,）,图（,2,）,E,在,三、蝴蝶定理,?,任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：,S,1,:,S,2,

3、?,S,4,:,S,3,或者,S,1,?,S,3,?,S,2,?,S,4,B,A,S,2,S,1,O,S,3,S,4,D,AO,:,OC,?,?,S,1,?,S,2,?,:,?,S,4,?,S,3,?,C,蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系,?,梯形中比例关系,(,“梯形蝴蝶定理”,),：,A,S,2,a,S,1,O,S,3,B,b,C,S,4,D,S,1,:,S,3,?,a,:,b,?,?,S,1,:,S,3,:,S,2,:,S,4,?,a,:,

4、b,:,ab,:,ab,?,S,的对应份数为,?,a,?,b,?,2,2,2,2,2,四、相似模型,(,一,),金字塔模型,A,(,二,),沙漏模型,E,A,F,D,D,B,F,G,E,C,B,G,C,AD,AE,DE,AF,2,2,S,：,S,?,AF,:,AG,?,?,?,ADE,ABC,AB,AC,BC,AG,所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形,(,只要其形状不改变，,不论大小怎样改变它们都相似,),，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：,?,相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；,?,相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；,?,连接三角

5、形两边中点的线段叫做三角形的中位线,三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半,相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具,在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形,五、燕尾定理,S,?,ABO,:,S,?,ACO,?,BD,:,DC,?,在三角形,ABC,中，,AD,，,BE,，,CF,相交于同一点,O,，那么,F,O,B,D,C,A,E,上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为,?,ABO,和,?,ACO,的,形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题,目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它

6、可以存在于任何一个三角形之,中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径,.,cm,，,E,、,F,、,G,为各边中点，,H,为,AD,【例,2,】长方形的面积为,36,边上任意一点，问阴影部分面积是多少？,A,H,D,A,D,(,H,),2,E,G,E,G,B,F,C,B,F,C,【解析】特殊点法找的特殊点，把点,H,与点,D,重合，那么图形就,可变成上右图：,这样阴影部分的面积就是,?,DEF,的面积，根据鸟头定理，则有：,即,【例,3,】如图所示，长方形,ABCD,内的阴,影部分的面积之和为,70,，,AB=8,，,AD=15,，,四边形,EFGO,的面积为多少？,A,D,O

7、,E,B,F,G,C,【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形,AOE,、,DOG,和,四边形,EFGO,的面积之和，以及三角形,AOE,和,DOG,的面积之和，,进而求出四边形,EFGO,的面积,由于长方形,ABCD,的面积为,15,8=120,，所以三角形,BOC,的面积为,3,120,4=30,，所以三角形,AOE,和,DOG,的面积之和为,?,?,70,?,20,120,4,?,1,1,?,?,?,?,30,又三角形,AOE,、,DOG,和四边形,EFGO,的面积之和为,120,?,?,?,2,4,?,所以四边形,EFGO,的面积为,30-20=10,【例,4,】如图，已知,CD=

8、5,，,DE=7,，,EF=15,，,FG=6,，线段,AB,将,图形分成两部分，左边部分面积是,38,，右边部分面积是,65,，那,么三角形,ADG,的面积是多少？,A,A,C,D,B,E,F,G,C,D,B,E,F,G,【解析】连接,AF,，,BD,，,根据题意可知,CF=5+7+15=27,，,DG=7+15+6,；,15,12,7,21,S,?,BE,F,?,S,?,CBF,S,?,BE,C,?,S,?,CBF,S,S,?,S,所以，,?,S,?,AED,?,ADG,?,AEG,?,ADG,27,27,28,28,21,15,7,12,于是：,S,?,ADG,?,S,?,CBF,?,6

9、5,S,?,ADG,?,S,?,CBF,?,38,28,27,28,27,可得,S,?,?,ADG,ADG,?,40,故三角形,ADG,的面积是,40,【例,6,】如图，平行四边形,ABCD,，,BE=AB,，,CF=2CB,，,GD=3DC,，,HA=4AD,，平行四边形,ABCD,的面积是,2,，,求平行四边,形,ABCD,与四边形,EFGH,的面积比,H,H,A,B,C,E,A,G,D,F,B,C,E,G,D,F,【解析】连接,AC,，,BD,，根据共角定理,S,ABC,AB,?,BC,1,?,1,1,?,?,?,S,FBE,BE,?,BF,1,?,3,3,又,S,ABC,?,1,所以,

10、S,FBE,?,3,S,GCF,?,8,S,AEH,?,8,同理可得,S,GCF,?,8,所以,S,EFGH,?,S,AEH,?,S,CFG,?,S,DHG,?,S,BEF,?,S,ABCD,?,8,?,8,?,15+3+2,?,36,所以,S,ABCD,2,1,?,?,S,EFGH,36,18,【例,7,】如图所示的四边形的面积等于多少？,【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以,运用公式直接求面积,.,我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：,把三角形,OAB,绕顶点,O,逆时针旋转，使长为,13,的两条边重合，此,时三角形,OAB,将旋转到三角形,OCD,的位置,.,这样，

11、通过旋转后所,得到的新图形是一个边长为,12,的正方形，且这个正方形的面积就,是原来四边形的面积,.,因此，原来四边形的面积为,12,12=144.(,也可以用勾股定理,),?,ABC,?,90,?,，,AB=3,，,BC=5,，以,AC,为,【例,8,】如图所示，,?,ABC,中，,一边向,?,ABC,外作正方形,ACDE,，中心为,O,，求,?,OBC,的面积,E,E,O,A,3,B,5,C,D,O,A,3,B,5,C,D,F,90,?,，到达,?,OCF,【解析】如图，将,?,OAB,沿着点,O,顺时针旋转,的位置,AOC,?,90,?,，所以,?,OAB,?,?,OCB,?,180,?

12、,，而,?,OCF,?,?,OAB,由于,?,?,OCF,?,?,OCB,?,180,?,，,那么,B,、,C,、,F,三点在一条直线上,?,ABC,?,90,?,，,所以,?,BOF,?,?,AOC,?,90,?,，所以,?,BOF,是等腰直角三角形，且斜边,由于,OB=OF,，,1,2,BF,为,5+3=8,，所以它的面积为,8,?,?,16,4,5,根据面积比例模型，,?,OBC,的面积为,16,?,?,10,8,【例,11,】如图，平行四边形,ABCD,的对角线交于点,O,，,?,CEF,、,?,OEF,、,?,ODF,、,?,BOE,的面积依次是,2,、,4,、,4,和,6,求：求,

13、?,OCF,的面积；求,?,GCE,的面积,A,O,G,B,E,C,D,F,【解析】根据题意可知，,?,BCD,的面积为,2+4+4+6=16,，那么,?,BCO,和,?,CDO,的面积都是,16,2=8,，所以,?,OCF,的面积为,8-4=4,；,由于,?,BCO,的面积为,8,，,?,BOE,的面积为,6,，所以,?,OCE,的面积为,8-6=2,，根据蝴蝶定理，,EG,:,FG,?,S,?,COE,:,S,?,COF,?,2,:,4,?,1:,2,所以,那么,S,?,GCE,:,S,?,GCF,?,EG,:,FG,?,1:,2,S,?,GCE,1,1,2,?,S,?,CEF,?,?,2

14、,?,1,?,2,3,3,【例,12,】如图，长方形,ABCD,中，,BE:EC=2:3,，,DF:FC=1:2,，三角形,DFG,的面,积为,2,平方厘米，求长方形,ABCD,的面积,A,G,D,F,C,A,G,D,F,C,B,E,B,E,【解析】连接,AE,，,FE(,如右图）,因为,BE:EC=2:3,，,DF:FC=1:2,，,3,1,1,1,所以,S,DEF,?,(,?,?,),S,长方形,ABCD,?,S,长方形,ABCD,5,3,2,10,1,1,1,S,AED,?,S,长方形,ABCD,，,AG,:,GF,?,:,?,5:1,又因为,2,2,10,所以,S,AGD,?,5,S,

15、GDF,?,10,cm,2,S,AFD,?,12,cm,2,又因为,S,AFD,1,?,S,长方形,ABCD,6,所以长方形,ABCD,的面积是,72,平方厘米,【例,13,】如图，四边形,ABCD,是边长为,1,的正方形，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AB,，,BC,，,CD,，,DA,的中点，求阴影部分的面积,A,H,D,A,H,D,E,G,E,N,G,B,F,C,B,F,C,【解析】如右图所示，连接,AC,、,EF,设,AF,、,CE,的交点为,N,可知,AC,EF,且,AC=2EF,那么三角形,BEF,的面积为三角形,ABC,面积的,1/4,，所,以三角形,BEF,的面积为,1

16、/8,，梯形的面积为,3/8,在梯形,AEFC,中，由于,EF,：,AC=1,：,2,，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面,3,1,1,，那么,积比为,1,：,2,：,2,：,4,：，所以三角形,EFN,的面积为,?,?,1,1,1,8,1,?,2,?,2,?,4,24,四边形的面积为,?,?,8,24,6,1,1,1,?,?,4,?,而图中四个空白四边形的面积是相等的，所以图中阴影部分的面积,6,3,【例,14,】如图，已知正方形,ABCD,的边长为,4,，,F,是边,BC,的中点，,E,是边,CD,上,S,的点，且,DE,：,EC=1,：,3,，,AF,与,BE,相交于点,G,，求,ABG,A

17、,B,A,B,G,G,F,F,D,E,C,D,E,C,M,AE,，延长,AF,与,DC,的延长线交于点,M,，,F,是边,BC,的中点，所以,CM=AB=4,又,CE=3,，所以,EM=7,，则,GB,：,GE=AB,：,EM=4,：,7,所以,S,?,4,4,32,ABG,4,?,7,S,ABE,?,11,?,(4,?,4,?,2),?,11,【解析】连接,因为,【例,15,】如图，,ABCD,为正方形，,AM=NB=DE=FC=1cm,且,MN=2cm,，请问四,边形,PQRS,的面积为多少？,D,E,R,S,P,A,M,N,B,Q,F,C,D,E,R,S,P,F,C,Q,A,M,N,B,

18、MP,PC,?,【解析】由,AB,CD，有,，所以,PC=2PM,MN,DC,MQ,MB,1,?,MQ,?,QC,?,MC,又,，所以,QC,EC,2,1,1,1,所以,PQ,?,MC,?,MC,?,MC,2,3,6,所以,S,SPQR,1,2,?,?,1,?,(1,?,1,?,2),?,cm,2,6,3,【例,18,】如图，面积为,1,的三角形,ABC,中，,D,、,E,、,F,、,G,、,H,、,I,分别是,AB,、,BC,、,CA,的三等分点,求阴影部分面积,.,A,A,D,D,E,I,E,N,M,I,H,P,Q,H,B,F,G,C,B,F,G,C,【解析】令,BI,与,CD,的交点为,M,，,AF,与,CD,的交点为,N,，,BI,与,AF,的交点为,P,BI,与,CE,的交点为,Q,连接,AM,、,BN,、,CP,。,S,:,S,?,AI,:,CI,?,1:,2,S,四边形