《空间解析几何》PPT课件.ppt

1、第七章 向量代数与空间解析几何,第一节 向量及其线性运算 第二节 点的坐标与向量的坐标 第三节 向量的方向余弦及投影 第四节 数量积、向量积 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 第七节 旋转曲面和二次曲面 第八节 空间曲线及其方程,一、向量的概念 1、向量(矢量）定义：既有方向、又有大小的量。,2、向量的表示方法 用一条有向线段来表示一个向量。 有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。,3、自由向量：与起点无关的向量,4、向量相等：两向量的大小相等、方向相同。,5、向量的模：指向量的大小，即有向线段的长度。,7、向量平行(共线)：两个非零向量方向相同或相反。 *

2、零向量与任何向量都平行。,6、单位向量：模等于1的向量。 零向量：模等于0的向量。 （起点和终点重合，方向任意。）,8、向量共面：设有 个向量，当把它们的起 点重合时，若k个终点和公共起点在同一平面上，则 称这k个向量共面。,二、向量的加减法,1、加法,运用三角形法则、平行四边形法则作图。,2、加法运算规律 （1）交换律： （2）结合律：,3、减法 负向量：与 大小相同而方向相反的向量叫做 的负向量。记作,对任意的 及点O，有,三、向量与数的乘法,1、 与实数 的乘积，记作,大小,方向,向量加减及数乘向量统称为向量的线性运算。,例 在平行四边形ABCD中，设 ， 试用 和 表示向量 、 、 和

3、 这里M是平行四边形对角线的交点。,A,B,C,D,M,3、设 表示与 （ ）同方向的单位向 量，则,一、空间直角坐标系,取定一点O和三个两两垂直的单位向量 、 ，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，记为X轴（横轴）、Y轴（纵轴）、Z轴（竖轴），它们组成一个空间直角坐标系，称为OXYZ坐标系， 或表示为,右手法则：以右手握住z轴，当右手的四个手指 从正向x轴以90度转向正向y轴时，大拇指的指向 就是z轴的正向。,0,卦限的取法,A（1，-2，3） B（2，3，-4） C（2，-3，-4） D（-2，-3，1）,IV,V,VIII,III,任给向量 ， 作 以OM为对角线，三坐标轴为棱作长

4、方体，如图。,设,则,坐标分解式,坐标表示式,x,y,z称为 在三个坐标轴上的分量； 称为分向量。,说明 的坐标与原点O的位置无关，只与单位向量 有关。,二、向量的线性运算,设,则,时,三、向量的模、两点间的距离,作,则有,任取两点,两点距离公式,例1 求证以 ， ， 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。,例2 在Z轴上求与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2) 等距离的点。,例3 已知两点A（4，0，5）和B（7，1，3）。求方向和 一致的单位向量。,四、定比分点,即M坐标,一、方向角和方向余弦,1、夹角 设有非零向量 ， 。任取空间一点O，作 ， ，规定不超过 的 称为 与 的夹角。,

5、3、方向余弦:,方向余弦的特征:,例1 已知两点 和 ，求 的模、 方向余弦和方向角。,例2 设点A位于第I卦限，其向径 的模等于6，且 与x轴、y轴的夹角依次为 和 ，求点A 的坐标。,设点O及单位向量 决定u轴，作 ， 再过点M作与u轴垂直的平面，交u轴于点 ，,二、向量在轴上的投影,则 称为 在u轴上的分向量,设 ，则数 称为 在 u轴上的投影（或分量）,性质一 性质二 性质三,( 是 与u轴的夹角）,一、两向量的数量积,两向量作这样的运算, 结果是一个数量.,结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 数量积也称为“点积”、“内积”.,关于数量积

6、的说明：,证,证,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）若 为数：,若 、 为数：,例1 试用向量证明三角形的余弦定理。,数量积的坐标表达式,设,由此可知两向量垂直的充要条件为,两向量夹角余弦的坐标表示式：,例2 已知三点 、 和 ， 求 。,二、两向量的向量积,定义,向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）分配律：,（3）若 为数：,向量积还可用 三阶行列式表示,例3 设 ， ，计算,例4 已知三角形ABC的顶点是 ， 和 ，求三角形ABC的面积。,一、点的轨迹、方程的概念,若曲面S与三元方程 有下述关系： 1、曲面S上任一点的坐标都满足（1）； 2、不在曲面S上的

7、点的坐标都不满足（1）。,那么方程（1）叫做曲面S的方程，曲面S叫方程（1） 的图形。,（1）,二、平面的点法式方程,1、法线向量：若一非零向量 垂直于一平面，这向量就叫 该平面的法线向量。 通常记为,2、平面方程,问：,已知空间一点、一条直线，过这个点可以 作几个平面垂直于这条直线？,设,例1 求过点（2，-3，0）且以 为法线向量的平面方程。,例2 求过三点 、 的平面方程。,三、平面的一般方程,由,得,所以任一三元一次方程总表示一个平面,3、A=B=0时， 表示平行于xoy面的平面。 B=C=0、A=C=0时，方程分别表示平行于yoz面 xoz面的平面。,叫做平面的截距式方程，a、b、c

8、依次叫做平面在 x、y、z轴上的截距.,四、两平面的夹角,1、定义 两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。,2、两平面夹角的余弦公式,例1 求两平面 和 的夹角。,例2 一平面通过两点 和 且 垂直于平面 ，求它的方程。,一、空间直线的一般方程,设两个平面方程分别为,得到空间直线的一般方程,因为通过空间一直线L的平面有无数个，所以只要在这无数多个平面中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线L。,二、空间直线的点向式方程,1、直线的方向向量：平行于一条直线的非零向量。 记为,直线上任一向量都平行于该直线，故可以 作为该直线的方向向量。,2、问：已知空间一点

9、、一条直线，过这个点可作 几条平行于已知直线的直线？,答：有且仅有一条。,空间直线的点向式方程（或对称式方程）,设 是直线L上一点， L的方向向量为,在直线L上任取一点M， 则M坐标满足,补充定义： 的坐标m、n、p叫做直线L的一组方向数。 的方向余弦称为该直线L的方向余弦。,三、空间直线的参数方程,在直线的点向式方程中,设,得到,（其中t为参数）,只要对（2）取参数t，即得（3）,从（3）中消去参数t，即得（2）,例 用点向式方程及参数方程表示直线,四、两直线的夹角,1、定义：两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）。,2、设两直线的方向向量分别为,五、直线与平面的夹角,1、定义：当直线与平面不

10、垂直时，直线和它在 平面上的投影直线的夹角，称为直线与平面的夹角。,2、夹角正弦的坐标表示式,3、推论,直线与平面垂直,直线与平面平行或直线在平面上,1、求与两平面 和 的交线平行且过点（-3，2，5）的直线的方程。,2、求直线 与平面 的交点。,3、求过点A（2，1，3）且与直线L 垂直相交的直线方程。,平面束的方程,1、平面束：通过定直线的所有平面的全体。,设直线L的一般方程为,建立三元一次方程,其中 为任意常数，它表示的是通过直线L的 平面束方程。,例 求直线L： 在平面 上投影直线的方程。,一、旋转曲面,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫旋转曲面。这条定直线叫 旋转

11、曲面的轴。,设在yoz面上有一已知曲线C 让曲线C绕 z轴旋转一周， 就得到一个以z轴为轴的 旋转曲面。 下面来求曲面方程。,yoz面上的曲线C绕z轴旋转而成的曲面方程,绕y轴旋转的曲面方程,几种特殊的旋转曲面,1、圆锥面：直线L绕另一条与L相交的直线旋转 一周所得的旋转曲面。 两直线的交点叫圆锥面的顶点， 两直线的夹角叫圆锥面的半顶角。,L,图为顶点在原点， 旋转轴为Z轴 半顶角为 的圆锥面。,上图圆锥面方程为,或,2、旋转单叶双曲面,图中将xoz坐标面上的双曲线,绕z轴旋转一周所成的曲面。,X,Y,Z,3、旋转双叶双曲面,图中为xoz平面上的双曲线,绕x轴旋转而成。,二、二次曲面,1、定义：三元二次方程所表示的曲面。 平面称为一次曲面。,2、二次曲面的方程及其形状,（1）椭圆锥面,X,Y,z,O,（2）椭球面,（3）椭圆柱面,椭圆C称为准线， 平行于z轴的直线称为 母线。,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可以看作两个空间曲面的交线,为空间曲线的一般方程,例 方程组,表示怎样的曲线？,二、空间曲线的参数方程,其中t为参数,当 取定一个数 时，就得到曲线上一个点 ，随着t的变化，可得到曲线上的所有点。,例 求,的参数方程。,三、空间曲线在坐标面上的投影,1、已知空间曲线C和平面 。从C上每一个点 向平面作垂线，垂足所构成的曲线C1称为C在 平面 上的投影曲线。,2、准线为