代数综合题之二次函数与一元二次方程

1、代数综合题之二次函数与一元二次方程与一元二次方程相结合，往往偏向于计算、数形结合， 讨论参数范围； 或整数根或特殊解或与坐标交点等。1. 二次函数 y x2 4x 3（ 1）求其顶点坐标，及与两坐标轴的交点坐标（ 2）若 A( x1， y1)， B( x2， y2 ) 是函数 yx24x3 图象上的两点，且 x1x2 1，请比较 y1， y2 的大小关系（直接写结果）（ 3）把方程 x24x 32 的根在函数 yx24x3 的图象上表示出来2.已知二次函数y x 2bx c 的图象与 x轴两交点的坐标分别为（0），（3m0m0）m ， ）（ 1）证明 4c3b2 ；（ 2）若该函数图象的对称轴

2、为直线x 1，试求二次函数的最小值3.已知 P（ 3,m )和 Q（ 1， m ）是抛物线 y2x2bx 1 上的两点（ 1）判断关于 x 的一元二次方程2x2bx 1 =0 是否有实数根，若没有，请说明理由；（ 2）将抛物线 y 2x2bx 1的图象向上平移k（ k 是正整数） 个单位， 使平移后的图象与x 轴无交点，求 k 的最小值4.已知：关于 x 的一元二次方程x 2 （ n 2m） xm 2 mn=0 (1) 求证：方程有两个实数根 .(2) 若 mn 1=0,求证方程有一个实数根为1；(3) 在（ 2）的条件下，设方程的另一个根为a。当 x=2 时，关于 m 的函数 y 1 =nx

3、 am 与 y 2=x 2 a(n 2m)x m 2 mn 的图像交与点 A、B（点 A 在点 B的左侧），平行于 y 轴的直线 L 与 y1 、 y 2 的图像分别交与点C、 D. 当 L 沿 AB 由点 A 平移到点 B 时，求线段 CD 的最大值 .5.（ 09 天津）已知函数y x， y2x2 bx c， ，为方程y1 y20的两个根，点M（t， ）在函1T数 y2 的图象上（ 1）若1，1，求函数 y2 的解析式；321（ 2）在（ 1）的条件下，若函数y1 与 y2 的图象的两个交点为A， B ，当 ABM 的面积为时，求 t 的12 3值；（ 3）若01，当 0t1 时，试确定

4、T， ，三者之间的大小关系，并说明理由222(m2) x1 0 .6. 关于 x 的一元二次方程 (m1)x（ 1）当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（ 2）点 A 1， 1 是抛物线 y(m21)x22( m2) x 1 上的点，求抛物线的解析式；（ 3）在（ 2）的条件下，若点B 与点 A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.7. 已知关于 x 的方程 mx 23( m 1) x 2m 3 0 （ 1）求证：无论 m 取任何实数时，方程总有实数根；（ 2）若关于 x 的二次函数 y1 mx23(m 1)x

5、2m 3 的图象关于 y 轴对称 求这个二次函数的解析式；已知一次函数 y22x 2 ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1y2 均成立；y3ax2 bx c 的图象经过点（ 3）在（ 2）的条件下，若二次函数5， 0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1y3y2 均成立求二次函数y3 ax2 bx c 的解析式 .8. 已二次函数y1x22x3 及一次函数y2xm .(l) 求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；(2) 将该二次函数图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象

6、，请你在坐标系里画出这个新图象，并求出新图象与直线y2 x m 有三个不同公共点时m 的值：(3) 当 0 x 2 时，函数 y y1 y2 (m 2) x3的图象与 x 轴有两个不同公共点，求m 的取值范围练习 1. 已知抛物线 y ax24ax 4a 2 ，其中 a 是常数（1）求抛物线的顶点坐标；（ 2）若 a2 ，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点） ，求此抛物线的解析式52.已知：关于x 的方程m1 x2m 2 x 1 0 （ m 为实数）（ 1）若 y m1 x2m2 x1与 x 轴有交点，求 m 的取值范围；（ 2）若 m 是整数，且关于x 的一元二次方程 m 1 x2m 2 x 10 有两个不相等的整数根，把抛物线ym 1 x2m 2 x1向上平移 1 个单位长度，求平移后的解析式3.已知抛物线 y 3ax22 xc 。（ 1）若 a1， c1，求此抛物线与x 轴交点坐标。（ 2）若 a1，且当1x1 时，抛物线与 x 轴交点有且只有一个，求c 的取值范围。4. 已知一次函数 y1 2x，二次函数 y2 x2 1.（ 1）根据表中给出的x 的值，计算对应的函数值y1、 y2，并填在表格中：x-3-2-10123y1 2xy2 x2 1（ 2）观察第（ 1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值 y1y2