矩阵论之矩阵的分解

1、矩阵的分解一、 矩阵的三角分解定义 3.1 设(1) 若分别为下三角矩阵和上三角矩阵，则称可作分解。(2) 若分别是对角线元素为1的下三角矩阵和上三角矩阵，为对角矩阵。 则称可作分解。用Gauss消去法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵，若只用第行乘以数加到第行（）型初等变换就能把化为上三角矩阵，则有下三角形可逆矩阵 使从而有分解：例1 设，求的分解和分解。解 为求对下面的矩阵做如下行初等变换：因此 .令则再利用初等变换，有 就得到其中 一般来说，分解一般不是惟一的。下面讨论方阵的和分解的 存在性和唯一性。定理 3.1 设 则有惟一分解的充分必要条件是的顺序主子式 其中 证明：只证充分

2、性：对的阶数进行归纳证明 所以定理对成立，设定理对成立，即 则对将分块成 其中 设 比较两边，则有 (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) 由归纳假设（3.1）式成立。由非奇异，非奇异，从而由(3.2)式和(3.3)式可惟一确定和. 又从(3.4)式可唯一求得 所以分解是存在而且惟一的。 又由归纳证明过程，的阶顺序主子式 所以 推论 可逆矩阵有分解的充分必要条件是的顺序主子式 例 2 设，求的分解。解 由(3.1)(3.4)式，得到 所以 同理求得： 从(3.1)(3.4)式求得 所以 定义3.2 设矩阵有惟一的分解。若把中的和结合起来，并且用来表示，就得到唯一的分解 称为的Dooli

3、ttle分解. 练习：求矩阵 的LDU分解和Doolittle分解矩阵的满秩分解定义 3.2 设，秩()=,若存在秩为的矩阵使得 则称(3.7)式为矩阵的满秩分解。定理 3.2 对任何非零矩阵 都存在满秩分解。证明：设秩由等价标准形知道存在可逆矩阵使得 即 分块为 为的前列组成的矩阵，则且秩秩. 分解方法二：若只对作行初等变换，可得到阶梯形矩阵： 其中秩秩秩，因此有可逆矩阵 使 从而 方法是 为的前列，是化为阶梯形中的非零行。.例 4 设求的满秩分解。解 解得 ，所以， 方法 3. 我们首先考虑这样的情形： 设秩 而且的前列线性无关，则它们是的列向量的极大无关组 设 则秩 又的后列可表示为列向

4、量极大无关组的线性组合，设 则 其中 满足 因此 即 即即为满秩分解。 Hermite标准形是阶梯形中每一行第一个非零元素为1，而且该元素所在的列中其它元素为0的特殊的一种。方法三如下：(1) 用行初等变换把化为Hermite标准形。(2) 依Hermite标准形中，向量所在的列的位置为第列，相应取出的第列，得到的列向量极大无关组(3) 的Hermite标准形中非零行构成矩阵，得到的满秩分解：例 5. 用方法三求例四中的满秩分解解 用行初等变换花为Hermite标准形 则可知：秩的前两列线性无关，取出的前两列构成 因此 3.3 矩阵的奇异值分解定理 3.9 设则矩阵和矩阵具有如下性质(1) 秩

5、秩秩(2) 和的非0特征值相等.(3) 和都是半正定矩阵，当秩时，为正定矩阵，当秩时，为正定矩阵。定义 3.4 对于秩第四章 矩阵的广义逆定义 4.1 设若存在矩阵使得 则称是左可逆的，称为的一个左逆矩阵，记为 若存在矩阵 使得 则称是右可逆的，称为的一个右逆矩阵，记为定理 4.1 设则下面的条件是等价的：(1) 是左可逆的；(2)的零空间(3)秩 即的列满秩的；(4)是可逆的.定理 4.2 设，则下列条件是等价的：(1) 是右可逆的；(2) 的列空间(3) 秩即是行满秩的；(4)是可逆的.例 1 矩阵是右可逆的，不是左可逆的。由于 注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩阵。

6、 一般地，一个矩阵左可逆未必右可逆，而且左逆矩阵和右逆矩阵都不是唯一的。二、 单侧逆与解线性方程组定理 4.3 设是左可逆的，是的一个左逆矩阵，则线性方程组有形如的解的充分必要条件是 若上式成立，则方程组有唯一解 定理 4.4 设是右可逆的，则线性方程组对任何都有解。且对的任意一个右逆矩阵是其解。特别地，是方程组的一个解。 4.2 广义逆矩阵一、减号广义逆定义 4.2 设若存在矩阵使得 则称为的一个减号广义逆或1逆的全部减号广义逆的集合记为的元素用表示。定理4.5 设秩，若存在可逆矩阵和使得 则的充分必要条件是 其中是任意的。例 2 设 求的减号广义逆。解 于是 所以的减号广义逆为 其中作业：

7、求矩阵 ()的逆Moore-Penrose 广义逆定义4.3 设 若存在矩阵 使得(1) (2) (3) （H表示共轭转置）(4) .则称为的Moore-Penrose广义逆或加号广义逆，简称为的M-P逆。的任意M-P逆记为定理 4.7 若矩阵存在M-P广义逆，则的M-P逆是唯一的。定理 4.8 任意矩阵都存在M-P广义逆。设秩的一个满秩分解为 秩秩则 。例 6 求矩阵的M-逆解 首先求得的满秩分解为 故 第五章 矩阵分析5.1 向量范数的概念定义 5.1 设是数域上的线性空间，且对于的任一个向量，对应一个非负实数，满足以下条件：(1) 正定性：当且仅当(2) 齐次性：；(3) 三角不等式：对

8、任何都有则称为向量的范数，为赋范空间。例1 在维酉空间上，复向量的长度 就是一种范数，通常称这种范数为2-范数，记为。例2 证明 =是上的一种向量范数。其中.通常称这种范数为-范数，记为。例3 证明也是上的一种范数，其中，称这种范数为1-范数，记为。例4 证明是一种范数，称为向量的范数或者范数，记为。线性空间上的向量定理 2.1 设和为有限维线性空间的任意两个向量范数（它们不限于范数），则存在两个与向量无关的常数和，使得下面的不等式成立 (2.1)定义 2.2 满足不等式(2.1)的两种范数称为等价的。2.2 矩阵的范数定义 2.3 设定义一个实值函数，它满足以下三个条件(1) 非负性：当时，

9、当时，；(2) 齐次性：，(3) 三角不等式：则称为的广义矩阵范数 若多及上的同类广义矩阵范数，有(4) 相容性： 则称为的矩阵范数。定义 2.4对于上的矩阵范数和与上的同类向量范数，如果 (2.2)则称矩阵范数与向量范数是相容的。几种常用的矩阵范数例 1. 已知 下面二函数： 都是上的矩阵范数。定理 2.4 已知和上的同类向量范数，设则函数 (2.3)是上的矩阵范数，且与已知的向量范数相容。并称(2.3)给出的矩阵范数为由向量范数导出的矩阵范数，简称为从属范数。 定理 2.5 设则从属于向量的三种范数的矩阵范数依次是： (1) （2）为的最大特征值； (3) 通常称以及依次为列和范数，谱范数

10、及行和范数。矩阵幂级数定义5.7 设是一个矩阵序列。如果当时，它的个数列都收敛，即 则称矩阵序列按元素数列收敛，矩阵是它的极限。记为或者 如果至少有一个元素数列是发散的，则称该矩阵序列发散。定义 5.8 设是空间的一个矩阵序列，是的一个矩阵范数。如果存在矩阵当时，则称矩阵序列按向量范数收敛于定理5.5 设是的一个矩阵序列，它按元素数列收敛的充分必要条件是它按的任意一个矩阵范数收敛。矩阵幂级数定义 5.10 设称 为矩阵的幂级数，记为定义5.11 矩阵级数的前项的和称为矩阵幂级数的部分和。若矩阵幂级数的部分和序列收敛，则称收敛；否则，称起为发散。若则称为的和矩阵。定理 5.8 若复变量的幂级数的

11、收敛半径为，而方阵的谱半径为则(1) 当时，矩阵幂级数收敛；(2) 当时，矩阵幂级数发散。当计算的特征值比较困难时，由定理5.6知的每个范数都是谱半径的上界，只要能找到一种特殊的矩阵范数使 便可断定该矩阵幂级数是收敛的。5.5 矩阵函数一、矩阵函数的定义和性质定义5.12 设是复变量的解析函数，的收敛半径为。如果矩阵的谱半径为则称 二、矩阵函数的求法1. Jordan标准形法定理 5.9 设是复变量的解析函数，且存在可逆矩阵使得 则 其中 例 10 已知矩阵 计算和。解 的Jordan 标准形为 变换矩阵和分别为 和 且 故 当时， 故 当，故 2. 最小多项式法 设是阶矩阵的最小多项式，它的

12、次数为，若是次多项式，以去除，即得 余式或者的次数低于的次数。因此 由此可见，次数大于等于的任意矩阵多项式都可以化为次数小于等于的的多项式来计算。定理 5.10 设阶矩阵的最小多项式为 其中为的所有不同的特征值，是复变量的解析函数，令 则的充分必要条件是： 例 10 已知矩阵 计算和。我们用定理5.10提供的方法求解解：的最小多项式为令 则 解得 故 当时，故 当时，故 第六章 特征值的估计及对称矩阵的极性一、特征值的界定理 6.1 设令若表示的任一特征值，则的虚部满足不等式 (6.1)引理：设则的任一特征值满足 定义 5.1 设，记（简写为），如果则称矩阵按行严格对角占优；如果且有使得成立，

13、则称矩阵按行（弱）对角占优。同样可以定义按列对角占优。定理 5.3 设 令 如果按行严格对角占优，则 (6.5)且当时，式(6.5)中等号成立。定理 5.4（Hadamards inequality）设则有 (6.7)且式(6.7)中等号成立的充分必要条件是某或者这里表示的个列向量。定理 5.5 （Schurs inequality）设的特征值为则有 (6.9)定义5.3 设称由不等式 (6.10)在复平面上确定的区域为矩阵的第个Gerschgorin圆（盖尔圆），并用记号来表示。其中 (6.11)称为盖尔圆的半径（）定理 5.7 (Gerschgorin) 由矩阵的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，如果它是由个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有且仅有的个特征值（盖尔圆相同时重复记数，特征值相同时也重复计数）下面应用盖尔圆定理研究矩阵特征值的隔离问题。设构造对角矩阵 其中都是正数。由于 (6.12)相似于，所以与的特征值集合相同。注意到与的主对角线元素对应相等。于是有下面的推论。推论 若将(6.10)中的改作 则