大一上学期高数期末考试题

1、 A）高数期末考试（ 16分）一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共 xxcoscos?x)?d(x)的一个原函数,则x已知f(是f xx 1. . ?12n?222?(cos)?L?cos?limcos nnnn 2.?n. 1 221arcsinx?x?dx?2x1?1 3. 2 ) 16分分, 共, (本大题有4小题每小题4二、单项选择题x1?3x，则当x?1时（x设)(x)?3?3，）( x1? 4. ?(x)与)(x)(x(x)与） （B是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （A是等价无穷小； ?(xx)(x)(x)高阶的）是比 高阶的无穷小； （C） 是比 （D无穷小. 设f(x)

2、?cosx(x?sinx),则在x?0处有() 5. ?(0)?0ff(xf)(0)?2f(0)?1不可导（D）C （A）B）. （ x?(2t?x)f(x)?(t)dtFf(x)(?1,1) 6.二阶可导且在区间若上，其中0?(x)f?0，则（ ）. F(x)x?0处取得极大值；必在 （A）函数F(x)x?0处取得极小值；必在 （B）函数F(x)(0,F(0)y?F(x)0?x的拐点；C）函数 处没有极值，但点为曲线在（F(x)(0,F(0)y?F(x)0x?的拐点。处没有极值，在点（D）函数也不是曲线 1?f(t)dt , 则f(x)?xf设(x)是连续函数，且 f()?x?2() 7.

3、022xx2? 2x?x?122. ）（C）（D A（B） （ 8. 分）小题，每小题8分，共40三、解答题（本大题有5?y?x)(yx)?yy(x(0)y1)?exy?sin( 9. 以及设函数由方程确定，求7x?1?.求dx 7)1(x?x 10. x?0?xxe，?1 ?dxx求)f(设f(x)?3?2?1?x?x，02x? 11. 1f(x)?dt)(g(x)?xtf?Alim)xf( x 12.0?xA为常数. 求，设函数连续，且0?)(x)ggx(0?x. 处的连续性并讨论在1y(1)? xlnx2y?xy?913. 求微分方程满足的解. 四、 解答题（本大题10分） (0,1)(

4、x?0y?y(x 14.，且曲线上任一点已知上半平面内一曲线，过点M(x,y)x?xyx所围成轴、处切线斜率数值上等于此曲线与轴、直线000面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） y?lnxy?lnx 15.及的切线，该切线与曲线过坐标原点作曲线x 轴围成平面图形D. (1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） ?0,1)f(xq?0,1 16.，数证明对任在意的连上续且单调递减设函q1?f(xq)dxf(x)dx?. 00?f(x)dx?0f(x)cosxdx?0?,0)f

5、(x 17.且，设函数在上连续，00?.f(0)?f()?,0,（提证明：在内至少存在两个不同的点使，2121x?f(x)?)dxF(x） 示：设0解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） ?1cosx2()?c6 ex2328. . .7. 5. . 6.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导 x?y?y)(cos(y(1e?)?xyxy?0 x?y?yecos(xy)?(x)y? x?ye?xcos(xy) ?(0)?0y1x?0,y ，76dx?

6、duu?x7x解： 10.1(1?u)112?(?)du?du原式? 7u(1?u)7uu?1 1?(ln|u|?2ln|u?1|)?c 7 1277|?C|1?|xx|?ln?ln 77 101 2x?dxx2?xf(x)dx?xedx 解：11. 0?3310 2?x?dx1)(x)?1?xd(?e 30?002x?x?cos1?e?sind)(令x?xe?3? 2?3?1?2e? 4 0(0)?f0(0)?g 12. 解：由，知。x?f(u)du1u?xt?0?f(xt)?)dtxg( x(x?0) 0x?f(u?)duxf(x)?0 (g(x)?x?0) 2x x?f(u)duf(x)

7、A?0?lim?limg (0) 22xx2 0?x?0xx?f(u)?)duxf(xAA?0lim?x)lim?A?g?( ?)xg(20x?x22 ，在 处连续。0xx?0?dy2?y?lnx dxx13. 解： 22?dxdx? )Celnxdx(y?e?xx 112?x?Cx?xlnx 39 111x?xy?xln0,?(1)?Cy 939， 分）10解答题（本大题 四、x?yx2?yyd? 解：由已知且， 14.0?yyy?2x 将此方程关于 求导得 r?1,r?2.20?r?2r 解出特征根：特征方程： 21?x2xy?Ce?Ce 其通解为2121,CC? 211?)y(0)?y(

8、0?33 ，得代入初始条件 12x?x2ee?y? 33 故所求曲线方程为： 分）五、解答题（本大题101y?lnx?(x?x) 00x)xx,ln(15. 解：（1，）根据题意，先设切点为切线方程： 0001y?xx?e e由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 011y?e?1e?ey)A?dy( 2 则平面图形面积012?e?V 13 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V，则1xy?ln一周所得旋转体体积x轴及直线ex = 曲线x = e所围成的图形绕直线与V为2 1y2?dye)(eV?2 0?2?12e?3?V?V)(5eV? 216 旋转一周所得旋转体的体积 = D

9、绕直线xe 分）4六、证明题（本大题有2小题，每小题分，共12q1qq1?dx(xdx?q)ff(x)f(x)dx)dx?)f(x)dx?q(f?x 证明16. ：q0000q1?f(x)dx?q?(1?q)dxf(x) 0q?q0,qf)?(),1?f(2121?)?f(0q)?q(1?(?q(1?q)f) 21 故有：q1?f(x)dx?qdx(fx) 证毕。 0017. x?x,0?)?)f(tdt(Fx?)0,0,(在其满足在。上连续，构造辅助函数：证：0?)?F)(Fxf)F(x?()0?(0 ，且上可导。?|?dx)F(?xsinxdFcos(x)?F(x?0?f(x)cosxdx

10、?x)cosx0 由题设，有，000?x0(F)sinxdx?0)sin)F(?(0,即，使有，由积分中值定理，存在0?0(?)F ?,?(0,)(F0)?F()?F(0)?0上分别应用罗.综上可知在区间 尔定理，知存在?0?)?(f)(0,?)0?(f,()F(?)0F? ，使即和及. 212211 (B) 高数期末试题) 分共16每小题4分, 一、单项选择题 (本大题有4小题, )(?0处有x(x?sin),则在x设f(x)?cosx 18. ?)(x(0)?2f0(0)?1fff(0)?. （B）不可导 （A）C）（D1?x?3x，则当x?1时（x)?设3(x)?3，）( x?1 19.

11、 ?(x)x与)(x)与(x)） A）（B是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （是等价无穷小； ?(xx)(x)(x高阶的D）是比高阶的无穷小； （C） 是比 （无穷小. x?(2t?x)f(t)F(x)?dtf(x)(?1,1) 20.二阶可区，其中间上若导且在0?(x)?f0，则（ ）. F(x)x?0处取得极大值； 必在（A）函数F(x)x?0处取得极小值； （B）函数必在F(x)(0,F(0)y?F(x)0?x的拐点；（C）函数在 处没有极值，但点为曲线F(x)(0,F(0)y?F(x)0?x的拐点。 处没有极值，函数在点也不是曲线（D）1?f(t)dt , 则f(x)是连续函数，且 f

12、(x?x?2)?()(设fx) 21. 022xx2? 21x?x?22. ）（C） （AD） （B 16分）二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共2 ?x)(1?3limxsin 22. 0?x xcoscosx?d(x)?已知,是f(x)的一个原函数则xf xx 23. . ?12?n222?cosLcoslim?(cos?) nnnn 24.?n. 1 221x?arcsinx?dx2x1?1 25. 2 分）小题，每小题8分，共40三、解答题（本大题有5?y?x)?yy(x)xy(0)y1)?e?sin(xy 26.由方程确定，求. 以及设函数7x?1?.d求x 7)x1?x( 2

13、7. x?0x?xe，?1 ?x)?求dxf(f设(x?3?2?1?x?2x?x，0? 28. 1f(x)?dt)?)f(xt(gxlim?A)xf( x 29.0x?A为常数. 设函数且，求连续，0?)gx(g)(x0?x. 处的连续性在并讨论1?y(1)? xxy?xyln?29 30.的解求微分方程. 满足 四、 解答题（本大题10分） (0,1)?0y?y(x)(x 31.，且曲线上任一点已知上半平面内一曲线，过点M(x,y)x?xyx所围成轴、处切线斜率数值上等于此曲线与轴、直线000面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） y?lnxy?lnx 32.

14、及x 的切线，该切线与曲线轴围过坐标原点作曲线成平面图形D. (1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） ?0,1)xf(q?0,1 33.，的调递减，设函数证明对在任意上连续且单q1?f(xq)dx?f(x)dx. 00?f(x)cosxdx?0(fx)dx?0?,0)(xf 34.且，设函数上连续，在00?)?0.f(?)f(?,0（提，证明：在内至少存在两个不同的点使2121x?f(x?)dxxF()）示：设 0 ) 分16共, 分4每小题, 小题4本大题有(单项选择题一、1、D 2、A 3、C 4、

15、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） ?1cosx2()?c6 ex2328. . 6. . .7. 6. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 18. 解：方程两边求导 x?y?y)xy?0?y)?cos(xy)(e(1 x?y?ycos(xye)?(x)y? x?ye?xcos(xy) ?(0)?0y1x?0,y? ，76dx?duu?x7x解： 19.1(1?u)112?(?)原式?dudu 7u(1?u)7uu?1 1?(ln|u|?2ln|u?1|)?c 7 1277|?xC|?ln|1?ln|x? 77 101 2x?dxx)dx?xxedx?2xf

16、( 解：20. 0?33?10 2?x?dx?1)1?(?xd(e)?x 30?002?x?x?d)cos(令x?xe?e?1?sin?3? 2?3?1?2e 4 0(0)?f0?g(0) 21. 解：由。，知x?f(u)du1uxt?0?)dtg(x)?(fxt x(x?0) 0x?f(u)?)duxf(x?0 (x?g?(x)0) 2x x?f(u)duf(x)A?0?(0)?limlimg 22xx2 0x?x0?x?f(u)duxxf()?AA?0lim?A?x?limg()? )(xg20x?x22 处连续。在 ，00x?x?dy2?y?lnx dxx 解： 22.22?dxdx?

17、)lnxdx?y?e(Cexx 112?x?Cxxlnx 39 111x?xlnxy?0C?,?y(1) 939， 分） 解答题（本大题10四、x?yx?yyd?2 ，23. 解：由已知且 0?y?y2yx 求导得 将此方程关于 r?1,r?2.202?r?r? 特征方程：解出特征根：21?x2xy?Ce?Ce其通解为 2121,C?C? 211?(0)y(0)?y?33 ，得代入初始条件 12xx2?e?ye? 33 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分）1y?lnx?(x?x) 00x)x,ln(x切线方程： 24. 解：（1）根据题意，先设切点为，0001y?xx?e e由于切线

18、过原点，解出，从而切线方程为： 011y?e?1ey)A?dy(e? 2 则平面图形面积012?eV? 13 e一周所得圆锥体体积记为V，则（2）三角形绕直线x = 1xy?ln一周所得旋转体体积曲线x = e与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线V为2 1y2?dy?V?e)(e2 0?2?12e?5e3?VV?V?)( 216 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 12分，共分）2六、证明题（本大题有小题，每小题4q1qq1?dx(x?x)dxq)ff(f(x)dxx)dx?f(x)dxq()f( 25. 证明：q0000q1?f(x?q)dx?q)(fx)dx?(1 0q?)()?f(fq?0,q?,12121?()?q?(1qf)q)(fq?(1)0 21 故有：q1?f(x?