上海市虹口区高三数学三模试卷 理（含解析）

1、2016年上海市虹口区高考数学三模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1设集合M=x|0，N=x|2x1，则MN=2在ABC中，tanA=，则sin2A=3已知复数z=（i为虚数单位），表示z的共轭复数，则z=4若等比数列an的公比q满足|q|1，且a2a4=4，a3+a4=3，则（a1+a2+an）=5若函数f（x）=（xa）|x|（aR）存在反函数f1（x），则f（1）+f1（4）=6在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式如：设a，b是非零实数，且满足=tan，则=

2、7若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为，且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于8某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为（结果用最简分数表示）9若双曲线x2=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于10若复数z满足|z+3|=|z4i|（i为虚数单位），则|z|的最小值为11在极坐标系中，圆=2sin被直线sin（+）=截得的弦长为12过抛物线x2=8y的焦点F的直线与其相交于A，B两点，O为坐标原点若|AF|=6，则OAB的面积为13若关于x的方程2x|x|a|x|

3、=1有三个不同实根，则实数a的取值范围为14在平面直角坐标系中，定义为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换，我们把它称为点变换已知P1（1，0），P2（x2，y2），P3（x3，y3），是经过点变换得到的一组无穷点列，设an=，则满足不等式a1+a2+an2016的最小正整数n的值为二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15关于三个不同平面，与直线l，下列命题中的假命题是（）A若，则内一定存在直线平行于B若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于C若，=l，则lD若，则内

4、所有直线垂直于16若函数y=f（x）的图象与函数y=3x+a的图象关于直线y=x对称，且f（1）+f（3）=3，则实数a等于（）A1B1C2D417在锐角ABC中，B=60，|=2，则的取值范围为（）A（0，12）B，12）C（0，4D（0，218在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为：d（P，Q）=|x1x2|+|y1y2|现给出下列4个命题：已知P（1，2），Q（cos2，sin2）（R），则d（P，Q）为定值；已知P，Q，R三点不共线，则必有d（P，Q）+d（Q，R）d（P，R）；用|PQ|表示P，Q两点之间的距离，则|PQ|d（P，Q）；若P

5、，Q是椭圆=1上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为6则下列判断正确的为（）A命题，均为真命题B命题，均为假命题C命题，均为假命题D命题，均为真命题三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19已知函数f（x）=的图象过点和点（1）求函数f（x）的最大值与最小值；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移（0）个单位后，得到函数y=g（x）的图象；已知点P（0，5），若函数y=g（x）的图象上存在点Q，使得|PQ|=3，求函数y=g（x）图象的对称中心20已知函数f（x）=ax22ax+b（a0）在区间1，3上的最大值为5，最小值为1（1）求a，b的

6、值及f（x）的解析式；（2）设g（x）=，若不等式g（3x）t3x0在x0，2上有解，求实数t的取值范围21如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA1=3其中O1为A1C1与B1D1的交点（1）求点B1到平面D1AC的距离；（2）在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由22设椭圆C： +=1（ab0），定义椭圆C的“相关圆”E为：x2+y2=若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的右焦点重合，且椭圆C的短轴长与焦距相等（1）求椭圆C及其“相关圆”E的方程；（2）过“相关圆”E上任意

7、一点P作其切线l，若l与椭圆C交于A，B两点，求证：AOB为定值（O为坐标原点）；（3）在（2）的条件下，求OAB面积的取值范围23若数列An：a1，a2，an（nN*，n2）满足a1=0，|ak+1ak|=1（k=1，2，n1），则称An为L数列记S（An）=a1+a2+an（1）若A5为L数列，且a5=0，试写出S（A5）的所有可能值；（2）若An为L数列，且an=0，求S（An）的最大值；（3）对任意给定的正整数n（n2），是否存在L数列An，使得S（An）=0？若存在，写出满足条件的一个L数列An；若不存在，请说明理由2016年上海市虹口区高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、

8、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1设集合M=x|0，N=x|2x1，则MN=0，3）【考点】交集及其运算【分析】分别求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可【解答】解：由M中不等式变形得：（x3）（x+1）0，且3x0，解得：1x3，即M=1，3），由N中不等式变形得：2x1=20，即x0，N=0，+），则MN=0，3），故答案为：0，3）2在ABC中，tanA=，则sin2A=【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】由题意得A为钝角，且sinA=，cosA=，由此由二倍角公式得sin2

9、A【解答】解：ABC中，tanA=，sinA=，cosA=，sin2A=2sinAcosA=3已知复数z=（i为虚数单位），表示z的共轭复数，则z=1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由求得z【解答】解：z=，z=故答案为：14若等比数列an的公比q满足|q|1，且a2a4=4，a3+a4=3，则（a1+a2+an）=16【考点】等比数列的通项公式【分析】由等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出（a1+a2+an）【解答】解：等比数列an的公比q满足|q|1，且a2a4=4，a3+a4=3，由|q|1，解得，a1+a2+an=，则（a1+

10、a2+an）=16故答案为：165若函数f（x）=（xa）|x|（aR）存在反函数f1（x），则f（1）+f1（4）=1【考点】反函数【分析】根据f（x）存在反函数f1（x），得出f（x）是定义域上的单调函数，求出a的值以及f（x）的解析式，即可求出f（1）+f1（4）的值【解答】解：函数f（x）=（xa）|x|=，且f（x）存在反函数f1（x），f（x）是定义域R的单调增函数，a=0，f（x）=，f（1）+f1（4）=1+（2）=1故答案为：16在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式如：设a，b是非零实数，且满足=tan，则=【考点】两角和与差的正切函数【分析】先把已

11、知条件转化为tan=tan（+）利用正切函数的周期性求出，即可求得结论【解答】解：因为tan=tan（+）且tan=+=k+=k+tan=tan（k+）=故答案为：7若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为，且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设球的半径为5，圆锥底面半径为3，则圆锥的高为9，代入体积公式计算即可得出比值【解答】解：设球的半径为5，则圆锥的底面半径为3，球心到圆锥底面的距离为=4内接圆锥的轴截面为锐角三角形，圆锥的高为4+5=9V球=，V圆锥=27V球：V圆锥=27=故答案为：8某小区有排成一排的

12、8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为（结果用最简分数表示）【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数，再求出这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起，包含的基本事件个数，由此能求出这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率【解答】解：某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，基本事件总数n=，这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起，包含的基本事件个数m=，这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为：p=故答案为：9若双曲线x2=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6

13、【考点】双曲线的简单性质【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论【解答】解：双曲线的渐近线为y=bx，不妨设为y=bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d=b=2，则c=3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：610若复数z满足|z+3|=|z4i|（i为虚数单位），则|z|的最小值为【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】设z=a+bi，（a，bR）由|z+3|=|z4i|（i为虚数单位），可得=，化为：6a+8b7=0再利用原点到直线的距离公式即可得出【解答】解：设z=a+bi，（a，bR）|z+3|=|z4i|（i为虚数单位），=，化为：

14、6a+8b7=0|z|=的最小值为原点（0，0）到直线l：6a+8b7=0的距离，： =，故答案为：11在极坐标系中，圆=2sin被直线sin（+）=截得的弦长为2【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】利用，2=x2+y2，即可把极坐标方程化为直角坐标方程，进而得出弦长【解答】解：圆=2sin即2=2sin，化为：x2+y2=2y，配方为：x2+（y1）2=1，可得圆心C（0，1），半径r=1直线sin（+）=展开为： +cos=，可得直角坐标方程：1=0圆心C满足直线方程：0+11=0，截得的弦长=2r=2故答案为：212过抛物线x2=8y的焦点F的直线与其相交于A，B两点，O为坐标原点若|A

15、F|=6，则OAB的面积为6【考点】抛物线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得A的坐标（4，4），再由三点共线的条件：斜率相等，可得B的坐标，由OAB的面积为|OF|xAxB|，计算即可得到所求值【解答】解：抛物线x2=8y的焦点F（0，2），准线为y=2，由抛物线的定义可得|AF|=yA+2=6，解得yA=4，可设A（4，4），设B（m，），由A，F，B共线可得，kAF=kBF，即=，解得m=2（4舍去），即有B（2，1），则OAB的面积为|OF|xAxB|=2|42|=6故答案为：613若关于x的方程2x|x|a|x|=1有三个不同实根，则实数a的取值范围为（

16、，2）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】首先进行转化，再对x进行分类讨论，由二次函数的图象以及性质得到a的范围【解答】解：方程2x|x|a|x|=1有三个不同实根，函数y=2x|x|a|x|1有3个不同的零点，y=，对称轴为x=，与y轴交点为（0，1）a0时，不符合条件，a0，且0a，故答案为：（，2）14在平面直角坐标系中，定义为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换，我们把它称为点变换已知P1（1，0），P2（x2，y2），P3（x3，y3），是经过点变换得到的一组无穷点列，设an=，则满足不等式a1+a2+an2016的最小正整数n的值为11【考点】进行简

17、单的合情推理【分析】根据条件即可求得点P1，P2到P7的坐标，从而可以求出向量，的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，a5=16，从而便可看出数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求出前n项和为2n1，从而可以得到2n2017，这样便可判断出最小正整数n的值【解答】解：由条件得，P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（4，0），P6（4，4），P7（0，8）；a1=（0，1）（1，1）=1，a2=（1，1）（2，0）=2a3=（2，0）（2，2）=4，a4=（2，2）（0，4）=8，a5=（0，4）（4，4）=1

18、6，数列an是首项为1，公比为2的等比数列；a1+a2+an=2n1，由a1+a2+an2016得，2n12016；2n2017；210=1024，211=2048，满足a1+a2+an2016的最小正整数n=11，故答案为：11二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15关于三个不同平面，与直线l，下列命题中的假命题是（）A若，则内一定存在直线平行于B若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于C若，=l，则lD若，则内所有直线垂直于【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据空间线面位置关系的

19、判定和性质判断或距离说明【解答】解：对于A，假设=a，则内所有平行于a的直线都平行，故A正确；对于B，假设内存在直线a垂直于，则，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设=c，=d，在内任取一点P，作PMc于点M，PNd于点N，则PM，PN，且PM、PN不可能共线又l，l，PMl，PNl又PMPN=P，PM，PN，l故C正确对于D，假设=a，则内所有平行于a的直线都平行，故D错误故选：D16若函数y=f（x）的图象与函数y=3x+a的图象关于直线y=x对称，且f（1）+f（3）=3，则实数a等于（）A1B1C2D4【考点】反函数【分析】设（x，y）为函数y=f（x）的图象上的一点，则关于直

20、线y=x对称的点为（y，x）代入函数y=3x+a可得：f（x）=alog3（x）即可得出【解答】解：设（x，y）为函数y=f（x）的图象上的一点，则关于直线y=x对称的点为（y，x）代入函数y=3x+a可得：x=3y+a，y+a=log3（x），即f（x）=alog3（x）f（1）+f（3）=3，a0+alog33=3，解得a=2故选：C17在锐角ABC中，B=60，|=2，则的取值范围为（）A（0，12）B，12）C（0，4D（0，2【考点】平面向量数量积的运算【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围【解答】解：以B为原点

21、，BA所在直线为x轴建立坐标系，B=60，|=|=2，C（1，），设A（x，0）ABC是锐角三角形，A+C=120，30A90，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），1x4，则=x2x=（x）2，的范围为（0，12）故选：A18在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为：d（P，Q）=|x1x2|+|y1y2|现给出下列4个命题：已知P（1，2），Q（cos2，sin2）（R），则d（P，Q）为定值；已知P，Q，R三点不共线，则必有d（P，Q）+d（Q，R）d（P，R）；用|PQ|表示P，Q两点之间的距离，则|PQ|d（P，Q）；若P，Q是椭圆=1上

22、的任意两点，则d（P，Q）的最大值为6则下列判断正确的为（）A命题，均为真命题B命题，均为假命题C命题，均为假命题D命题，均为真命题【考点】进行简单的合情推理【分析】先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可【解答】解：已知P（1，2），Q（cos2，sin2）（R），则d（P，Q）=|1cos2|+|2sin2|=sin2+2sin2=2为定值；故正确，已知P，Q，R三点不共线，设P（1，0），Q（0，0），R（0，1），则d（P，Q）=|xPxQ|+|yPyQ|=1，d（Q，R）=|xQxR|+|yQyR|=1d（P，R）=|xPxR|+|yP

23、yR|=1+1=2，此时d（P，Q）+d（Q，R）=d（P，R）；d（P，Q）+d（Q，R）d（P，R）不成立，故错误，若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|=，d（P，Q）=|x1x2|+|y1y2|，2（a2+b2）（a+b）2，|x1x2|+|y1y2|，即|PQ|d（P，Q），则|PQ|d（P，Q）=d（P，Q），故正确，若P，Q是=1上的任意两点，d（P，Q）的最大，设P（cos，2sin），Q（cos，2sin）；则d（P，Q）=|x1x2|+|y1y2|=2（cos+2sin）=6sin（+），则d（P，Q）的最大值为6；故正确，故选：D三、解答题（本大题共5题，满分74

24、分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19已知函数f（x）=的图象过点和点（1）求函数f（x）的最大值与最小值；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移（0）个单位后，得到函数y=g（x）的图象；已知点P（0，5），若函数y=g（x）的图象上存在点Q，使得|PQ|=3，求函数y=g（x）图象的对称中心【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）利用条件求得m、n的值，可得函数的解析式，从而求得它的最值（2）根据g（x）的解析式，点Q（0，2）在y=g（x）的图象上，求得的值，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：

25、（1）易知f（x）=msin2xncos2x，则由它的图象过点和点，可得，解得故故函数f（x）的最大值为2，最小值为2（2）由（1）可知：于是，当且仅当Q（0，2）在y=g（x）的图象上时满足条件，由0，得故由，得于是，函数y=g（x）图象的对称中心为：20已知函数f（x）=ax22ax+b（a0）在区间1，3上的最大值为5，最小值为1（1）求a，b的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）=，若不等式g（3x）t3x0在x0，2上有解，求实数t的取值范围【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断【分析】（1）解关于a，b的方程组，求出a，b的值从而求出函数的解析式即可；（2）问题转化为t

26、22+1=2+在x0，2上有解，通过换元法求出t的范围即可【解答】解：（1）由f（x）=a（x1）2+ba（a0）及条件，可得，解得 a=1，b=2故f（x）=x22x+2（2）由（1）可得g（x）=x+2，于是题设条件得3x+2t3x0在x0，2上有解，即t22+1=2+在x0，2上有解，令=u，1，x0，2，则t2+在u，1上有解当u，1时，2+，1，于是t1，因此，实数t的取值范围为（，121如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA1=3其中O1为A1C1与B1D1的交点（1）求点B1到平面D1AC的距离；（2）在线段BO1上，是否存

27、在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）用向量法，找出平面上一点D1与此点B1相连的线段所对应的向量，求出其在平面法向量上的投影的绝对值即可得到点到面的距离（2）由题意设，可求，的坐标，若，可得=0，解得的值，即可得解【解答】（本题满分14分） 本题共2个小题，每小题解：（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC与BD的交点O为原点，以射线OA、OB、OO1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系由已知条件，相关点的坐标为A（2，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），

28、O1（0，0，3），B1（0，1，3），D1（0，1，3）设平面D1AC的法向量为，由，得，令z=1，则因，故点B1到平面D1AC的距离为（2）设，则由，得又，故当时，于是，在线段BO1上存在点P，使得APCD1；此时22设椭圆C： +=1（ab0），定义椭圆C的“相关圆”E为：x2+y2=若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的右焦点重合，且椭圆C的短轴长与焦距相等（1）求椭圆C及其“相关圆”E的方程；（2）过“相关圆”E上任意一点P作其切线l，若l与椭圆C交于A，B两点，求证：AOB为定值（O为坐标原点）；（3）在（2）的条件下，求OAB面积的取值范围【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）求得抛

29、物线的焦点，可得c=1，由a，b，c的关系可得a，进而得到椭圆方程和圆E的方程；（2）讨论切线l的斜率不存在，求出方程，可得交点A，B，求得向量OA，OB的坐标，可得AOB为90；l的斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，计算向量OA，OB的数量积，即可得证；（3）求得AOB的面积，讨论直线l的斜率，运用弦长公式和基本不等式，求得最值，由不等式的性质，即可得到所求范围【解答】解：（1）由抛物线y2=4x的焦点（1，0）与椭圆C的右焦点重合，可得c=1，又因为椭圆C的短轴长与焦距相等，则b=c=1a=，故椭圆C的方程为： +y2=1，其“

30、相关圆”E的方程为：x2+y2=；（2）证明：当切线l的斜率不存在时切线方程为x=，与椭圆的两个交点为（，）或（，）此时=0，即AOB=90；当切线l斜率存在时，可设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0则=16k2m24（1+2k2）（2m22）0，即为1+2k2m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，可得y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2+km（）+m2=，由l与圆x2+y2=相切，可得d=，化为3m2=2k2+2，则=x1x2+y1y2=0，即AOB=90综上

31、所述AOB=90为定值；（3）由于，求SOAB的取值范围，只需求出弦长|AB|的取值范围当直线l的斜率不存在时，可得|AB|=，SAOB=；当直线l的斜率存在时，|AB|=，由=，故，故，当且仅当4k2=，即k=时，于是|AB|的取值范围为因此SOAB的取值范围为23若数列An：a1，a2，an（nN*，n2）满足a1=0，|ak+1ak|=1（k=1，2，n1），则称An为L数列记S（An）=a1+a2+an（1）若A5为L数列，且a5=0，试写出S（A5）的所有可能值；（2）若An为L数列，且an=0，求S（An）的最大值；（3）对任意给定的正整数n（n2），是否存在L数列An，使得S（An）=0？若存在，写出满足条件的一个L数列An；若不存在，请说明理由【考点】数列的应用【分析】（）根据题意，a1=a5=0，a2=1，a4=1，再根据|ak+1ak|=1求出a3=0或2，可以得出符合题设的E数列A5；（2）由于An为L数列，且a1=an=0，|ak+1ak|=1，n必须是不小于3的奇数，S（A