理论力学质点的振动PPT课件

1、动 力 学,西北工业大学 支希哲 朱西平 侯美丽,质点的振动,94 质点的强迫振动,93 质点的衰减振动,92 质点的自由振动,91 概 述,第九章 质点的振动,动 力 学,目录,9-1 概 述,振动实例, 振动是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。,9-1 概 述, 振动 是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。, 线性振动的运动微分方程都是线性的。实际系统往往要经过近似处理才能化成线性的。, 在质点受到扰动而脱离其平衡位置后，会受到一个恒指向这平衡位置而促使质点返回的力，这种力称为恢复力。,几 个 概 念, 当恢复力的大小和质点到平衡位置的距离成正比时，则称为线性恢复力。,

2、质点振动时还可能受阻力作用，这里只考虑与速度一次方成正比的线性阻力。,9-1 概 述,9-2 质点的自由振动,质量一弹簧系统,9-2 质点的自由振动,自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。,简单的模型为下面所示的质量一弹簧系统。,9-2 质点的自由振动,质点受到初始扰动后，将得到初位移和初速度，此后质点在弹簧力维持下的运动，即为自由振动。,自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型如图(a)所示的质量一弹簧系统。,9-2 质点的自由振动,一、自由振动的微分方程及其解,取坐标轴Ox，原点O是质点M的平衡位置。如图（a ）所示。当M的坐标是x时，弹簧作用于M的力F的大小表示成,因F

3、恒指向平衡位置O，故它可写成,于是，质点M的运动微分方程写成,或,式中c称为弹簧的刚度系数，简称刚度。,9-2 质点的自由振动,引入参量,则上式可写成标准形式,这就是在线性恢复力单独作用下，质点受初扰动后的无阻尼自由振动微分方程，它是二阶常系数线性齐次微分方程。,其通解为,把上式对时间求导数，得,9-2 质点的自由振动,当 t=0时，质点的初坐标和初速度,令t=0且 和 ，就可以确定积分常数,和,这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是,9-2 质点的自由振动,这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是,通常把上二式写成,利用三角变换，可以确定,9-2 质点的自由振动,可见，质点

4、无阻尼自由振动是简谐振动，其运动如图所示。,9-2 质点的自由振动,二、自由振动的基本参数,（1）振幅和相角,由式（a）可见质点相对于振动中心（平衡位置）的最大偏离,称为振幅。（0t+）称为相角，而称为初相角。由式 （b）可见，振幅和初相角都和运动的初始扰动 ( ) 有关。,T,A,O,t,x,A,9-2 质点的自由振动,（2）周期和频率,每重复一次运动状态所需的时间间隔，称为周期，并用T 表示。,每隔一个周期T，相角应改变 0T=2。因此，周期可以表示成,周期一般以s计。,周期仅和系统本身的固有参数（质量m与刚度）有关，而和运动的初始条件无关。,T,A,O,t,x,A, 周期,9-2 质点的

5、自由振动,每2秒内振动的次数称为圆频率，表示为,单位时间内振动的次数，称为频率，记作 f。,0 只和系统的固有的性质有关，而和运动的初始条件无关系。因此，0称为系统的固有频率或自然频率。, 频率,T,A,O,t,x,A,9-2 质点的自由振动,用s代表当物块在重力G 和弹簧力F0的作用下在平衡位置静止时弹簧所具有的变形，即静变形（如图a）。,以平衡位置O作为原点，令轴Ox铅直向下，则当物块在任意位置x时，弹簧力F在轴x上的投影 Fx=-k( s+x)（如图b）。,（1）,显然，由平衡条件G -F0=0有,可得物块的运动微分方程,M,l0, s,（a）,三、铅直悬挂质量一弹簧系统,9-2 质点的

6、自由振动,或,其中 ，可见，M 仍在平衡位置附近作无阻尼自由振动。,利用弹簧自由悬挂时的静伸长s，来求出系统的固有频率，有,考虑到关系式 ，上式写成,与水平质量一弹簧系统比较，铅直悬挂质量一弹簧系统质点上只有增加了一个常力，这力只引起平衡位置的改变，而不影响振动的规律（如周期、频率、相位）。,即,M,x,x,O,G,F,如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kn ，圆盘对杆轴的转动惯量为J。,9-2 质点的自由振动,9-2 质点的自由振动,解：,圆盘绕杆轴转动微分方程为,或,振动周期,9-2 质点的自由振动,kn,O,如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kn ，圆盘对杆轴的转

7、动惯量为J。,例9-1 求单摆(数学摆)的运动规律。,O,m,0,l,9-2 质点的自由振动, 例题9-1,把单摆看成一个在圆弧上运动的质点 M，设其质量为 m，摆线长 l 。又设在任一瞬时质点 M具有速度 v ，摆线 OM与铅垂线的夹角是 。,通过悬点 O 而垂直于运动平面的固定轴 z 作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理,动量矩,解：,力矩,9-2 质点的自由振动, 例题9-1,从而可得,化简即得单摆的运动微分方程,9-2 质点的自由振动,动量矩,力矩,动量矩定理, 例题9-1,单摆的运动微分方程,微小摆动中， 值始终很小，可以认为 sin ，则,9-2 质点的自由振动,与幅角和初始条件无

8、关。, 例题9-1,例9-2 利用静变形求并联弹簧和串联弹簧两种情形的直线振动系统的固有频率。,k1,k2,W,k1,k2,W,k=k1+k2,W,W,9-2 质点的自由振动, 例题9-2,1. 并联情形。,固有频率,上式说明并联弹簧的等效刚度系数为,k1,k2,W,解：,设弹簧刚度系数分别为k1和k2 ，在W重力作用下作铅直平动，静变形为s ，有,9-2 质点的自由振动, 例题 9-2,选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替并联的两弹簧 ，使它在相等的变形下，产生与并联的两弹簧相等的恢复力，有,设弹簧刚度系数分别为k1和k2 ，在W重力作用下，两弹簧的总静变形s等于单个弹簧的静变形之和，有,2. 串

9、联情形。,由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力W相等，于是,9-2 质点的自由振动, 例题 9-2,选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替串联的两弹簧 ，使它的静变形s等于串联的两弹簧静变形之和1 s+2 s。,固有频率,串联弹簧的等效刚度系数为,得,9-2 质点的自由振动, 例题 9-2,弹簧串联后的刚度系数减小，柔度系数增大。,9-2 质点的自由振动, 例题 9-2,k1,O,k2,1,2,1,2,k1,O,k2,m,v,提升重物系统中，钢丝绳的横截面积S2.89104 m2，材料的弹性模量E200 GPa。重物的质量m6000 kg，以匀速v0.25 ms1下降。当重物下降到l25 m时，钢丝绳上端

10、突然被卡住，求重物的振动规律。,l,例 题 9-3, 振 动, 例题,钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块系统，弹簧的刚度为,设钢丝绳被卡住的瞬时t0，这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为广义坐标，则系统的振动方程为,解：,方程的解为,例 题 9-3, 振 动, 例题,利用初始条件,求得,方程的解为,例 题 9-3, 振 动, 例题,如图为一摆振系统，杆重不计，球质量为 m ，摆对轴O的转动惯量为J。弹簧刚度系数为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求此系统微小振动的运动微分方程及振动频率。,例 题 9-6, 振 动, 例题,例 题 9-6, 振 动, 例题,解：,摆于水平位置处

11、，弹簧已有压缩量0，由平衡方程MO(Fi)=0，有,以平衡位置为原点，摆在任一小角度处，弹簧压缩量为0+ d。摆绕轴的转动微分方程为,将式(a)代入上式，得,例 题 9-6, 振 动, 例题,上式移项，可化为标准形式的无阻尼自由振动微分方程,则此摆振系统的固有频率为,例 题 9-6, 振 动, 例题,9-3 质点的衰减振动,9-3 质点的衰减振动,本节将讨论质点在有阻尼时的自由振动，但只限于与速度一次方成正比的介质阻力，这种阻力称为线性阻力（或粘滞阻力）。,如图示系统在介质里运动中，质点M将受到介质阻力的作用。,其中，c称为粘滞阻力系数（以 为单位），表示质点在单位速度时，所受的阻力值，其大小

12、与介质和物体的形状等因素有关，可由实验测定。式中负号表示阻力与速度的方向恒相反。,在微振动情况下，速度不大，可以认为阻力Fd与速度v 的一次方成正比，即有,一、质点的衰减振动,9-3 质点的衰减振动,取物块的平衡位置作为坐标原点O，轴Ox沿直线向下。当物块在位置O时，弹簧拉力F0= ks,与表观重力G（已扣除浮力）相互平衡，即有,物块运动时， ，,考虑到， 上式简化成,代入参量,则上式写成,质点的运动微分方程写成,(称为阻尼系数),（1）,9-3 质点的衰减振动,这就是在线性恢复力和线性阻力作用下质点运动微分方程的标准形式。式中称为阻尼系数。,此式是二阶常数线性齐次方程，这个方程具有形式如 e

13、zt 的解，把 ezt 代入，得到特征方程，即,z值与比值/k有关。有三种不同的情形：,（1） 0 称为小阻尼，,（2） = 0 称为临界阻尼，,（3） 0 称为大阻尼。,特征方程的解为,9-3 质点的衰减振动,当 0 时，特征方程具有一对共轭复根,引入参量 ，则式(1)的通解可以写成,我们将只讨论小阻尼 0情形。,式中，B1和B2是积分常量，由运动的初始条件来决定。,9-3 质点的衰减振动,令B1+B2=C1，i(B1B2)=C2，则上述通解可改写成,式中，新的积分常量C1和C2仍可以由运动的初始条件来决定。,根据欧拉公式,把上式对时间t求导数，得质点速度的一般表达式,9-3 质点的衰减振动

14、,从而解得,于是，质点的运动方程写成,或者通过三角函数的变换，把上式写成,运动的初始条件：当t=0时， ；将它们代入上式，得到,(2),(3),9-3 质点的衰减振动,1. 由式(2)或式(3)可以看到，由于小阻尼的影响，物块不再进行振幅不变的简谐运动。,式中,结果分析讨论,(2),(3),9-3 质点的衰减振动,2. 因子sin(t+)表明物块仍周期性地通过平衡位置O而交替地向点O的两侧偏离。,这样的运动称为衰减振动，但习惯上仍把 称为它的周期，而Aet称为它的振幅。与无阻尼自由振动相比较，衰减振动也称为有阻尼自由振动。,(3),3。 因子Aet表示这些偏离的可能最大值，但它是随时间而不断减

15、小的，最后趋近于零。,9-3 质点的衰减振动,二、阻尼对周期Td的影响,上式可改写成,式中，T是无阻尼自由振动周期。, 因为衰减振动中 0 ，可见，由于小阻尼的存在，使振动的周期 Td相对于无阻尼时的周期 T 来说有所增长。,9-3 质点的衰减振动,例如，当 时，,可见，当阻尼系数 比 0 小得多时，阻尼对周期的影响并不显著，在初步计算中甚至可以直接用 T 代替 Td 。,1。当 0 时，周期 Td 无限地增长，(Td),从而运动失去往复性。,2。而当 很小时，即 0 时，Td可近似地表示为,仅增加0.12 5 %.,9-3 质点的衰减振动,在任意瞬时t1，振幅是,三、阻尼对振幅Ae-t的影响

16、,由于阻尼的存在，振幅 Ae-t 随时在减小。为了说明振幅衰减的快慢，可作如下分析,时间逐次增加半周期 ，则瞬时振幅将分别是,因此，有比值,=常数,即，每隔半个周期的振幅按等比级数递减。,(3),9-3 质点的衰减振动,减缩率（或对数减缩率）表示每经过半个周期后振幅的衰减程度。由于振幅是按等比级数递减的，即使阻尼很小，振幅的衰减也是迅速的。,即，每经过半个周期，振幅就缩减15%。经过10个周期，振幅将变成原来振幅的(0.855)20=0.043，只有原来的4.3%。,通过以上讨论可见，小阻尼（ 0 ）对周期的影响很小，可以忽略不计，而对振幅的影响却是非常显著的。当 0 时，运动将失去往复性。,

17、 公比 称为减缩率。,称为对数减缩率。,仍以 = 0.050 为例，这时减缩率是,1. 小阻尼 ( 0) 情形,9-3 质点的衰减振动,大阻尼(v1)情形,临界阻尼(v1)情形,大阻尼( 0 )情形与临界阻尼( 0 )情形,令,9-3 质点的衰减振动,这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减,v1,v1,x,O,t,大阻尼(v1)情形,临界阻尼(v1)情形,大阻尼( 0 )情形与临界阻尼( 0 )情形,例9-3 图示为一种液体减振器装置的简化模型。悬挂在弹簧下端的物块M与圆筒A内的活塞B相固连，简内充满粘性液体。活塞上钻有许多圆孔，当物块M上下振动时，液体从孔中往复流过，给活塞一正比

18、于速度的阻力。设物块连同活塞的质量 m=1 kg，弹簧的刚度系数k=3 920 Nm。已知物块开始运动后经过10个周期，振幅减到初值的1 40。求阻尼系数和阻力系数c。,9-3 质点的衰减振动, 例题 9-3,解：由题意知，物块M的运动是衰减运动。阻尼系数可通过减缩率来求出。已知经过10周期，振幅减缩到初始的140，即有,故有,取自然对数，求得对数减缩率,另一方面，考虑到,=0.184 4,9-3 质点的衰减振动, 例题 9-3,因而阻尼系数为,即,以值代入式（2），求得,但固有频率,于是，求得阻尼系数为,c=2 m=213.67=7.34 kgs,9-3 质点的衰减振动, 例题 9-3,(1

19、),其实，当 0 时，在式（1）和式（2）的根式中，与 (0 )2 相比较可以忽略1，用这种近似计算求得的结果是足够精确的。,在本例中 0 ，可以取Td近似地等于T。于是有,因而,9-3 质点的衰减振动, 例题 9-3,9-4 质点的强迫振动,9-4 质点的强迫振动,假定振动物块 M 还受到扰力S的作用 Sx=Hsinpt，其中 H 称为力幅，表示扰力的最大值；p 称为扰力变化的频率。H 和 p 都可以认为仅决定于扰力的来源而与物块的运动无关。,取物块M的平衡位置作为原点O，轴Ox铅直向下。在任意瞬时t，物块M的运动微分方程写成,一、有阻尼强迫振动,9-4 质点的强迫振动,考虑到平衡关系 ，仍

20、引用 ，并引入新的参数 ，则上式化为,这就是质点强迫振动的微分方程的标准形式，它是非齐次的二阶常系数线性微分方程。,(9-25),方程的通解由两部分组成，即,9-4 质点的强迫振动,特解x2可以写成,把特解x2及其导数,代入微分方程方程的标准形式得,方程的通解由两部分组成，即,9-4 质点的强迫振动,从而可以解得,故得在小阻尼 nk 情况下的物块的运动规律,式中，积分常数 A 和由运动的初始条件来确定。,(9-27),(9-28),(9-29),令pt=0 和 ，得两个等式,9-4 质点的强迫振动,可见，在小阻尼情况下，质点的运动由两部分组成：第一部分x1是初始扰后的衰减振动，经过一段时间后它

21、就消失了；第二部分x2是等振幅的简谐运动，这就是强迫振动；它是由扰力引起的，只要扰力继续存在，它就以扰力频率进行下去，不会衰减。这是强迫振动的一个基本特征。,其运动如图所示。,9-4 质点的强迫振动,在临界阻尼和大阻尼的情况下，x1消失得更快，剩下的仍是不衰减的强迫振动x2。,表明，强迫振动的振幅 B 和相位差只决定于系统本身的特性和干扰力的性质，与运动的初始条件无关。,(9-27),(9-28),由式,9-4 质点的强迫振动,下面着重讨论强迫振动振幅B对振动系统的参量 k、n 以及扰力频率 p 的依赖关系。,显然，B0 表示在常力H作用下弹簧的静偏离，而B则表示在周期性扰力作用下强迫振动中的

22、最大动偏离。 称为放大系数，,引入无量纲参数,(9-31),令,9-4 质点的强迫振动,由图可以看出下列情况：,下图示出在不同v值时随z的变化的曲线（幅-频曲线）。,9-4 质点的强迫振动,(1) 当z值接近于零时，即扰力频率很低时， 的值接近于1，强迫振动的振幅 B 接近于静偏离B0（低频强迫振动）。,引入无量纲参数,z,v,相当于缓慢加载,9-4 质点的强迫振动,（2）当 z 1 ，即扰力频率 p 远大于固有频率k时， 表示强迫振动的振幅几乎等于零（高频强迫振动）。,引入无量纲参数,z,v,来不及振动,9-4 质点的强迫振动,可见，这时强迫振动的振幅 B 和阻尼系数成反比。特别是如n0,则

23、B（共振）。,（3）当z=1，即 p=k 时，由式,可得,9-4 质点的强迫振动,当 1-2v2 0 时， z = 0 给出的极小值。而 给出的极大值，这时强迫振动的振幅也达到最大值，即所谓峰值。对应的扰力频率称为峰值频率，用pp代表，则由式(c)得,（4）放大系数具有极大值。,取函数,求导数,（a）,（b）,（c）,9-4 质点的强迫振动,在式(9-27)中，令P=Pp，可得强迫振动的振幅峰值，以Bp代表，有,如果阻尼很小，nk，则由式（9-33）和式（9-34）可得,(9-27),(9-34),(9-35),峰值频率,(9-33),9-4 质点的强迫振动,可以看出，在小阻尼下发生共振（p=

24、k）时，振幅B已接近于峰值Bp。,(9-35),9-4 质点的强迫振动,特别注意：如果阻尼趋向于零； n0,则由式（9-32）可给出共振的振幅和由式（9-34）给出强迫振动的振幅峰值Bp都趋向无穷大。,共振频率 p=k 有时也称临界频率，并用Pcr代表。,（9-32）,（9-34）,v= 0,9-4 质点的强迫振动,（5）阻尼对强迫振动振幅有不同的影响。,可知当增大阻尼能使放大系数值和振幅的峰值变小。可见，阻尼对强迫振动振幅及其峰值起抑制作用。,(9-31),（9-34）,由,9-4 质点的强迫振动,由图可以看出，当阻尼很小（即nk ）且pppk 时，阻尼对强迫振动振幅的影响特别明显。,当p在

25、所谓共振区（工程上一般取 ）内时，有必要考虑阻尼对强迫振动振幅有影响，为此应由式,再次指出，阻尼虽然对强迫振动有抑制作用，但强迫振动仍是等幅的简谐振动，并不随时间而衰减。,v,但在p远离共振区时，阻尼对强迫振动振幅有影响很小，可以忽略，因而可按下面所讲的无阻尼强迫振动计算振幅。,计算振幅。,9-4 质点的强迫振动,二、无阻尼强迫振动,在上式中令 n=0，得,非齐次方程的通解也包括两部分，即,其中，x1是非齐次方程 给出的自由振动解,而x2是非齐次方程的特解，表示强迫振动，当 时,代入方程(9-25)就可以确定系数,(9-25),(9-25),(9-36),(9-37),9-4 质点的强迫振动,

26、因此，无阻尼强迫振动的规律写成,这个形式在 k p 时适用，这时发生无阻尼低频强迫振动，它的相位与扰力的相位相同。,当 k p 时，上式改写成,这时发生无阻尼高频强迫振动，它的相位与扰力的相位相差。,(9-36a),(9-36b),9-4 质点的强迫振动,质点的全部运动由两个不衰减的简谐振动 x1和 x2 叠加而成，即,注意：在 p 和 k 不可通约的情况下，两个简谐运动的合成结果是非周期性的。,把上式代入方程 ，应得恒等式,它在任何瞬时t都成立，比较上式两边，求得,在共振情况（p=k），方程 的特解x2是,(9-38),(9-39),9-4 质点的强迫振动,与自由振动的规律相比，习惯上把这里

27、的系数 称为无阻尼共振的振幅。,可见，当共振时，质点的无阻尼强迫振动规律写成,注意：在这种情况下，仍叠加有等幅的自由振动。,(9-40),x2,9-4 质点的强迫振动,可见，当共振时，质点的无阻尼强迫振动规律写成,由式(9-40)可见，无阻尼共振的振幅是与时间t成正比增大的，这种情况称为共振的暂态（或瞬态），以区别有阻尼时自由振动衰减后的稳态等幅强迫振动。,(9-40),x2,例9-4 在图所示系统中，弹簧的刚度系数是c,下端挂有质量是m的物块M，上端与振动着的基础相固连。假设基础连带弹簧上端按规律=rsinp pt作铅直振动，求由此而引起的物块M的绝对运动。,9-4 质点的强迫振动, 例题

28、9-4,注意到 cs=mg ，并令 k2=cm，则上式化成,解：取弹簧上端不动时物块的平衡位置O作为固定坐标系的原点，令轴Ox铅直向下。在任意瞬时t，物块M的坐标是x，它这时受重力G和弹簧F的作用。,物块M的运动微分方程写成,这是无阻尼强迫振动的标准微分方程。,弹簧的变形,9-4 质点的强迫振动, 例题 9-4,可见，由于弹簧悬点的简谐运动，使挂在下端的物块受到一个按正弦规律而变化的干扰力，因而物块将作强迫振动。,讨论 弹簧刚度对物块运动的影响。,表明M的运动与弹簧上端悬点的运动接近于一致。事实上，当弹簧的刚度极大时，可以看作物块和悬点刚性地联结在一起，因而两者将进行相同的运动。,1.设弹簧刚度大（即c值很大)，有 kp，则,强迫振动的部分,9-4 质点的强迫振动, 例题 9-4,3.如果弹簧的刚度