数值分析第一次作业matlab实验报告

1、几种线性方程组迭代算法的MATLAB实现和性能比较用有限差分方法（五点差分格式）求解正方形域上的Poisson方程边值问题用MATLAB语言编写算法程序求解线性方程组的算法程序，采用下列方法，比较计算结果和算法性能，对计算结果给出讨论。一、算法实现解：由差分格式可得:写成矩阵形式：Au=f其中：其中：(1)用Jacobi迭代法求解线性方程组functionu,k,er,t=xsgs(n)% Jacobi迭代法% U 表示方程组的解；h 表示步长； A 表示迭代矩阵；k 表示迭代次数；n 表示非边界点数% f 表示线性方程组A*U=f的右端矩阵f ；e 表示允许误差界；er 表示迭代误差% t

2、表示计算时间tic;b(2:n+1,2:n+1)=(n+1)(-2)*2;u=zeros(n+2,n+2);e=10(-9);for k=1:1000 %迭代求解 er=0; ub=u; for j=2:n+1 for i=2:n+1 u(i,j)=(ub(i-1,j)+ub(i+1,j)+ub(i,j-1)+ub(i,j+1)+b(i,j)/4; er=er+abs(u(i,j)-ub(i,j); %估计当前误差 end end er=er/n2; if ere,break; end %判断是否达到计算精度，如果达到则退出循环endtoc;t=toc;end计算结果：u =0 0 0 0 0

3、 0 0 0 0 0 00 0.0256 0.0413 0.0508 0.0560 0.0577 0.0560 0.0508 0.0413 0.0256 00 0.0413 0.0686 0.0859 0.0955 0.0986 0.0955 0.0859 0.0686 0.0413 00 0.0508 0.0859 0.1088 0.1216 0.1258 0.1216 0.1088 0.0859 0.0508 00 0.0560 0.0955 0.1216 0.1364 0.1412 0.1364 0.1216 0.0955 0.0560 00 0.0577 0.0986 0.1258 0

4、.1412 0.1462 0.1412 0.1258 0.0986 0.0577 00 0.0560 0.0955 0.1216 0.1364 0.1412 0.1364 0.1216 0.0955 0.0560 00 0.0508 0.0859 0.1088 0.1216 0.1258 0.1216 0.1088 0.0859 0.0508 00 0.0413 0.0686 0.0859 0.0955 0.0986 0.0955 0.0859 0.0686 0.0413 00 0.0256 0.0413 0.0508 0.0560 0.0577 0.0560 0.0508 0.0413 0.

5、0256 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0k = 304er = 9.7771e-10t = 0.0140(2)用块Jacobi迭代法求解线性方程组function u,k ,er,t = xsbgs( n )%块Jacobi迭代法% u 表示方程组的解h 表示步长；k 表示迭代次数；n 表示非边界点数；% f 表示线性方程组A*u=f的右端矩阵f；q 表示n+2维向量；a 表示方程组系数矩阵的下对角线元素 % b 表示方程组系数矩阵的主对角线元素；c 表示方程组系数矩阵的上对角线元素；d 表示追赶法所求方程的右端向量% e 表示允许误差界；er 表示迭代误差；l 表示系数矩阵A所

6、分解成的下三角阵L中的下对角线元素 l(i)；z 表示系数矩阵A所分解成的上三角阵U中的主对角线元素 z(i)tic;f=2*1/(n+1)2*ones(n+2,n+2);a=-1*ones(1,n);b=4*ones(1,n);c=-1*ones(1,n);u=zeros(n+2,n+2);e=10(-9);for k=1:1000 %迭代求解 er=0; ub=u; for j=2:n+1 d(1:n)=f(2:n+1,j)+ub(2:n+1,j-1)+ub(2:n+1,j+1); x=zg(a,b,c,d); %用追赶法求解 u(2:n+1,j)=x; er=er+norm(ub(:,j

7、)-u(:,j),1); end er=er/n2; if ere,break;end %判断是否达到计算精度，如果达到则退出循环endtoc;t=toc;end计算结果：u =0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.0256 0.0413 0.0508 0.0560 0.0577 0.0560 0.0508 0.0413 0.0256 00 0.0413 0.0686 0.0859 0.0955 0.0986 0.0955 0.0859 0.0686 0.0413 00 0.0508 0.0859 0.1088 0.1216 0.1258 0.1216 0.1088 0.0859

8、0.0508 00 0.0560 0.0955 0.1216 0.1364 0.1412 0.1364 0.1216 0.0955 0.0560 00 0.0577 0.0986 0.1258 0.1412 0.1462 0.1412 0.1258 0.0986 0.0577 00 0.0560 0.0955 0.1216 0.1364 0.1412 0.1364 0.1216 0.0955 0.0560 00 0.0508 0.0859 0.1088 0.1216 0.1258 0.1216 0.1088 0.0859 0.0508 00 0.0413 0.0686 0.0859 0.095

9、5 0.0986 0.0955 0.0859 0.0686 0.0413 00 0.0256 0.0413 0.0508 0.0560 0.0577 0.0560 0.0508 0.0413 0.0256 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0k = 163er =9.5903e-10t = 0.4118(3)用共轭斜量法求解线性方程组function x,k,t = cg( n )%共轭向量法求解线性方程组a=zeros(n2);for i=1:n2 %储存A矩阵 a(i,i)=4; if i+n1e-9 k=k+1; w=a*p; t=q0/(p*w);%求迭代步长 x=x+t*p;

10、 r=r-t*w; q=r*r; s=q/q0; p=r+s*p;%新的搜索方向 q0=q;endtoc;t=toc;x=reshape(x,9,9);endx =0.0256 0.0413 0.0508 0.0560 0.0577 0.0560 0.0508 0.0413 0.02560.0413 0.0686 0.0859 0.0955 0.0986 0.0955 0.0859 0.0686 0.04130.0508 0.0859 0.1088 0.1216 0.1258 0.1216 0.1088 0.0859 0.05080.0560 0.0955 0.1216 0.1364 0.14

11、12 0.1364 0.1216 0.0955 0.05600.0577 0.0986 0.1258 0.1412 0.1462 0.1412 0.1258 0.0986 0.05770.0560 0.0955 0.1216 0.1364 0.1412 0.1364 0.1216 0.0955 0.05600.0508 0.0859 0.1088 0.1216 0.1258 0.1216 0.1088 0.0859 0.05080.0413 0.0686 0.0859 0.0955 0.0986 0.0955 0.0859 0.0686 0.04130.0256 0.0413 0.0508 0.0560 0.0577 0.0560 0.0508 0.0413 0.025