常微分方程阶段(2)复习题

1、常微分方程第二阶段试题一 .单选题1.函数 ycos( xC ) （其中 C 为任意常数）所满足的微分方程是（）( A) ysin( xC ) ；(B) y 2y 21；(C ) ysin( xC ) ；( D ) y 22 y22 。2. 二阶线性齐次微分方程的两个解y1 (x) , y2 ( x) 成为其基本解组的充要条件是（）（ A）线性无关（ B）朗斯基行列式为零（ C）1( x)（常数）（ D）线性相关2 ( x)=C3. 二阶线性齐次微分方程的两个解y1 (x) , y2 ( x) 不是基本解组的充要条件是（）（ A）线性无关（ B）朗斯基行列式不为零（ C）1 (x)C（常数）（

2、 ）线性相关2 (x)4. 线性齐次微分方程组dxA(t ) x 的一个基本解组的个数不能多于（）dt（ A） n-1（ C） n+1n+2（ B）n（ D）5 n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数不能多于（）个（ A）n（ B） n-1（ C） n+1（ D）n+26.设常系数线性齐次方程特征方程根r1,21, r3, 4i ，则此方程通解为（）（ A） y(C1C 2 x)e xC3 cos xC4 sin x ； （ B） yC1e xC2 cos x C3 sin x ；（ C） yC1exC 2 cos xC3 x sin x ；（ D） yC1e x(C2x) cos xC3 s

3、in x7. 方程y 2 yxe2x 的特解具有形式（）。（ A） y* Axe2x ;（ B）（ C） y* x( Ax B)e2 x ;（ D）y*( AxB)e2 x ;y*x2 (AxB)e2 x 。8. 微分方程 yy x sin 2x的一个特解应具有形式（）（ A） ( Ax B) cos2x(CxD ) sin 2x（ B） ( Ax 2Bx) cos2x（ C） A cos2xB sin 2 x（D） ( Ax B)cos 2x9. 微分方程 y2 y 1 0 的通解是（）（ A） y(C1C 2 x)e x ；（B） yC1 exC 2e x ；（ C） yC1C 2 e 2

4、 x1 x ；（C） yC1 cos xC2 sin x1 x 。2210. 容易验证： y1 coswx, y2sin wx( w0) 是二阶微分方程 yw 2 y 0 的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。 （式中 C1 , C2 为任意常数）（）（ A） yCwxC2sinwx（ ）yC1 coswx2sin wx1 cosB（ C） y C1 coswx2C1 sinwx（ ）y2coswxC2 sin wxDC111. 微分方程 yyex1 的一个特解应有形式()（ A）aexb；（ B）axexbx；（ C）aexbx ；Dx（ ） axe b12. 微分方程 yysin x 的一

5、个特解应具有形式 ()（A） A sin x（B） A cosx（C） AsixB cosx（D） x( A sin xB cos x)13. 微分方程 yyx cos2 x 的一个特解应具有形式（）（ A） ( Ax B) cos2x(CxD ) sin 2x（ B） ( Ax 2Bx) cos2x（ C） A cos2xB sin 2 x（D） ( AxB)cos 2x14. 微分方程 y 2 y 10 的通解是（）（ A） y(C1 C 2 x)e x ；（B） yC1 exC 2e x ；（ C） yC1C 2 e 2 x1 x ；（C） yC1 cos xC2 sin x1 x 。1

6、5. 设线性无关的函数22q(x) y = f (x) 的y1 , y2 , y3 都是二阶非齐次线性方程yp( x) y解， C1 ,C2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（）（ A）C1 y1C 2 y2y3；（ ） 112y2(C12) y3 ；BC y CC（ C） C1 y1C 2 y2(1 C1C 2 ) y3 ； （ D） C1 y1C 2 y2(1 C1C 2 ) y316. 方程 yy0 的通解是 ().(A)ysin xC1 ；(B)ysin xcosxC1 ；(C)ysin xcosxC1 ；(D)yC1 sin xC2 cos xC3 .17. 求方程y6y9yxe

7、3 x 的特解时，应令（）( A)y( axb)e 3 x ；( B) yx 2 (axb)e 3x ；(C ) yaxe 3 x ；(D ) yx( ax b)e 3x 。18函数 1 (x) ,2 ( x) 在区间 a,b 上的朗斯基行列式恒为零，是它们在 a, b 上线性相关的 ().(A) 充分条件；(B)必要条件；(C) 充分必要条件；(D)充分非必要条件 .19设函数1 ( x) ,2 ( x) 方程 xp(t) xq(t )0在区间 a,b 上的两个解，则其朗斯基行列式不为零，是它们在 a, b 上线性无关的 ().(A) 充分条件；(B)必要条件；(C) 充分必要条件；(D)充

8、分非必要条件 .20设函数1 ( x) ,2 ( x) 方程 xp(t) xq(t )0在区间 a,b 上的两个解，则其朗斯基行列式区间 a,b 上某一点不为零，是它们在 a, b 上线性无关的 ().(A) 充分条件；(B)必要条件；(C) 充分必要条件；(D)充分非必要条件 .21函数 1 (x) ,2 ( x) 在区间 a,b 上的朗斯基行列式在 a, b 上某一点处不为零，是它们在 a, b 上线性无关的 ()(A) 充分条件；(B)必要条件；(C) 充分必要条件；(D)充分非必要条件 .22n 阶线性非齐次微分方程的所有解是否构成一个线性空间 ?( )(A) 是；(B)不是；(C)

9、也许是；(D)也许不是 .23. 两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的基本解组?()(A) 不可以(B)可以(C) 也许不可以(D)也许可以24. 若 (x) 是线性齐次方程组 dYAY 的一个基解矩阵，T为非奇异常数矩阵，( x)n ndx那么 ( x) T 是否还是此方程的基解矩阵.()(A) 是(B)不是(C) 也许是(D)也许不是25. 方程组 xA(t )x （）(A) n 个线性无关的解x1 (t ), x2 (t ),xn (t ) 称之为方程组的一个基本解组(B) n 个解 x1 (t ), x2 (t ),xn (t ) 称之为方程组的一个基本解组(C) n 个线性无

10、关的解x1 (t ), x2 (t ),xn (t ) 称之为方程组的一个基解矩阵(D) n 个线性相关的解x1 (t ), x2 (t ),xn (t ) 称之为方程组的一个基本解组26. 若(t) 和(t ) 都是xA(t ) x 的基解矩阵，则（）（ A）(t) (t)+c其中 c 为非奇异常数矩阵 （ B）(t) (t )+c其中 c 常数矩阵（ C）(t) (t)c其中 c 为非奇异常数矩阵（ D）(t ) (t )c 其中 c 为常数矩阵27. 若(t) 是 xA(t) x 的基解矩阵，则xA(t)xf (t) 满足 x(t0 )的解（）（ A）(t)t1 (s) f ( s) d

11、s（ B） (t )1 (t0 )(t)t(t ) f (s)dst0t0（ C）(t)(t)t1( s) f ( s)ds（ D）(t )1 (t0 )(t )t1 (s) f (s)dst 0t 028. 方程组 xA(t) x 的（）称之为x A(t) x 的一个基本解组。（ A）n 个线性无关解（ B） n 个不同解（ C） n 个解（D）n 个线性相关解29.n 阶齐线性微分方程的（）称方程的一个基本解组。（ A） n 个线性相关解（ B） n 个不同解（ C） n 个解（D）n 个线性无关解30.A 、B 为 nn 的常数矩阵，则下列式子错误的是（）（ A） eAAk（ B） (e

12、A ) 1e Ak 0k !（ C） eABeA eB（ D） eT 1 ATT 1(eA )TT为非奇异矩阵二 . 填空题1.以 y 4e3 x cos 2x 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为。2.若 X1(t), X2 (t ), X n (t ) 为 n 阶齐线性微分方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是_ 。3.形如 _ 的方程称为欧拉方程。4.若(t ) 和(t ) 都是 xA(t )x 的基解矩阵，则(t) 和(t) 具有的关系是 _5.以 y1e2x , y2xe2 x为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为。6.x(4)2xx0 的通解是7.若(t) 和(t) 都是 xA(

13、t ) x 的基解矩阵，则(t) 和(t) 具有的关系是 _8.若(t ) 是 xA(t )x 的基解矩阵，则x A(t ) x 满足 x(t 0 )的解9. 设 (t)是xAx的基解矩阵，(t)是 xA(t) x f (t) 的 某 一 解 ， 则 它 的 任 一 解(t)可表为 -。10. 若 xi (t)(i 1,2, , n) 为齐线性方程的 n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为11.若 X i(t )(i1,2, n) 为齐线性方程组的n 个线性无关解，则这一齐线性方程组的所有解可表为12.若 X i(t )(i1,2, n) 为齐线性方程组的n 个线性无关解，则这一齐线

14、性方程组的基解矩阵为13.若 (t) 是 xA(t) x 的基解矩阵，则 xA(t)xf (t) 满足 x(t0 )的解14函数组 et , e t , e2t的伏朗斯基行列式为_。15若 xi(t )(i1,2, n) 为 xA(t ) x 的一个基本解组， x(t) 为 xA(t ) x f (t) 的一个特解，则x A(t) x f (t )的所有解可表为 _ 。16若 xi (t )(i1,2, n)为齐线性方程的一个基本解组，x(t) 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为_。17若(t ) 是 xA(t) x 的基解矩阵，则向量函数(t ) = _ 是 xA(t )

15、xf (t ) 的满足初始条件 (t0 )0 的解；18. 若(t) 是 xA(t) x 的基解矩阵向量函数(t) = _是 xA(t) xf (t ) 的满足初始条件(t 0 )的解。19若矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量v1 , v2 , vn ，它们对应的特征值分别为1 , 2 ,n ，那么矩阵(t ) = _是常系数线性方程组xAx 的一个基解矩阵。20. 若 x1 (t ), x2 (t ),.x3 (t ) 为 n 阶 齐 线 性 方 程 的 n 个 解 ， 则 它 们 线 性 无 关 的 充 要 条 件 是_ 。21. 若 x1 (t ), x2 (t ),.x3 (t

16、) 为 一 阶 齐 线 性 方 程 组 的 n 个 解 ， 则 它 们 线 性 无 关 的 充 要 条 件 是_ 。22.方程组 x/A(t)x 的 _称之为 x /A(t) x 的一个基本解组。23.若 (t) 是常系数线性方程组 x/Ax 的基解矩阵，则expAt =_ 。24.形如的方程称为欧拉方程。25.n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个26.n 阶非齐次线性微分方程的任意两解必为其相应的齐次线性微分方程的解三求高阶微分方程的解1. 试验证 d 2 xtdx1x0 有基本解组 t ， et ，并求方程dt 21t dt1td 2 xtdx1x t-1 的通解。dt 21t

17、dt1tx2.2yy2y e3. xxsin tcos2t4. xxcost5. x6x 9 xet6. 求方程 x 6x 5xe2t 的解。7. 求微分方程yyy 20 的通解。8. y3y1029. 求 yay0, 满足 y x 00, y x 01的特解四求解下列方程组的解x2x3y1. 解方程组3x2yyx2x3ye5te2. 已知3x2 y的基解矩阵为eye5ttx2x3y5tt，求方程组3x2yt 的通解y8edx3y3dtdy2xydtdxyx4 dtdy3 y2xdtdxxy5dtdy4xydt216. 若 A试求方程组xAx 的解(t),(0)141并求 expAt27. 试

18、求方程组 x =Ax 的一个基解矩阵，并计算12expAt ，其中 A 为34五应用题1. 试求 yx 的经过点 M(01) 且在此点与直线y1 x 1 相切的积分曲线422.求微分方程y2y3y0 的一条积分曲线，使其在原点处与直线y4 x 相切。六综合题x1. 设 f (x) sin x( x t ) f (t) dt ，其中 f (x) 为连续函数，求 f ( x)02. 设 f (x) 具有二阶连续导数，f (0)0 , f (0)1 ，且为一全微分方程，求f (x) 及此全微分方程的通解。七证明题1.设 x1 (t ), x2 (t ),.,xn1 (t ) 是方程 x( n)a1( t) x( n 1).an1 (t )xan (t) xf (t ) 的 n+1个线性无关解 , 证明微分方程的任一解恒能表为:x( t)c1 x1 (t )c2 x2 (t ).cn xn ( t)cn 1 xn 1 (t ) 且 cn 112.n 阶线性齐次微分方程一定存在n 个线性无关解。t2t01x13.试验证t =是方程组 x =22 x,x=，在任何不包含原点的区间 a tb 上x22t1t2t